高考数学一轮复习第1章集合与逻辑用语第1讲集合的含义与基本关系课件

这是一份高考数学一轮复习第1章集合与逻辑用语第1讲集合的含义与基本关系课件，共42页。

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.
A B 或B A
1.(2018 年新课标Ⅰ) 已知集合A ＝{0,2} ，B ＝{ －2 ，
－1,0,1,2}，则 A∩B＝(
D.{－2,－1,0,1,2}
2.(2017 年新课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，
3.(2016 年新课标Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)·
(x－2)<0，x∈Z}，则 A∪B＝(
A.{1}C.{0,1,2,3}
B.{1,2}D.{－1,0,1,2,3}
4.(2019 年新课标Ⅱ)已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，
A.(－1，＋∞)C.(－1,2)
B.(－∞，2)D.∅
对描述法表示集合的元素属性的解读
例 1：(1)(2015 年新课标Ⅰ)已知集合 A＝{x|x＝3n＋2，n∈
N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合 A∩B 中的元素个数为(
解析：由条件知，当 n＝2 时，3n＋2＝8；当 n＝4 时，3n＋2＝14.故 A∩B＝{8,14}.故选 D.答案：D
(2)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，
则 A*B 中的所有元素之和为(
解析：由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，又x∈N，故合A＝{0,1,2,3}.∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，∴A*B中的元素有 0＋1＝1，0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6.∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}.∴A*B中的所有元素之和为 21.答案：D
(3)(2018 年山东枣庄模拟)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝
{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则 B 中所含元素的个数为(
∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，故选 D.答案：D
引申：若将本例(3)中B 改为 B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，xy∈
解析：x＝1 时，y＝1,2,3,4,5，满足 xy∈A；x＝2 时，y＝1,2，满足 xy∈A；
x＝3,4,5 时，y＝1，满足 xy∈A，故选 D.
【规律方法】(1)用描述法表示集合，先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合.
(2)集合中元素的三个特征中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
例 2：(1)(2017 年浙江杭州模拟)设a，b∈R，集合{1，a＋
(2)(2017年新课标Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m
＝0}.若 A∩B＝{1}，则 B＝(A.{1，－3}C.{1,3}
)B.{1,0}D.{1,5}
解析：由 A∩B＝{1}，得 1∈B，即 x＝1 是方程x2－4x＋m＝0 的根.∴1－4＋m＝0.解得 m＝3.则 B＝{1,3}.故选 C.答案：C
(3)(2018年新课标Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，
y∈Z}，则 A 中元素的个数为(
解析：A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}＝{(0,0)，(0,1)，(0,－1)，(1,0)，(－1,0)，(1,1)，(1,－1)，(－1,1)，(－1,－1)}，元素的个数为 9.答案：A
例 3：(1)已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，若A∩B
＝B，则实数 a 的取值集合为(
(3)已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B⊆A，则实数 m 的取值范围为________.解析：若B⊆A，则①当B＝∅时，有m＋1>2m－1，即m<2，此时满足 B⊆A；
由①②得，m 的取值范围是(－∞，3].答案：(－∞，3]
(4)已知两个集合A，B，其中A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|2a∴a 的取值范围是(－∞，－4]∪[1，＋∞).
解析：∵A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，则A∩B＝∅知，
答案：(－∞，－4]∪[1，＋∞)
【规律方法】(1)含n个元素的集合有2n个子集，(2n－1)个真子集；(2)注意∅的特殊性.∅是任何集合的子集.当B⊆A 时，需考虑B＝∅的情形；当 A∩B＝∅时，也需考虑B(或A)＝∅的情形；一般地，当集合B≠∅时，可以利用数轴，既直观又简洁.
例 4：(1)(2019 年新课标Ⅰ)已知集合 M＝{x|－4N＝{x|x2－x－6<0}，则 M∩N＝(A.{x|－4)B.{x|－4解析：集合 M＝{x|－4(2)(2019 年天津)设集合 A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，
C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝(
A.{2}C.{－1,2,3}
B.{2,3}D.{1,2,3,4}
解析：A∩C＝{1,2}，(A∩C)∪B＝{1,2,3,4}.答案：D
(3)(2017 年浙江)已知 P＝{x|－1B.(0,1)D.(1,2)
A.(－1,2)C.(－1,0)答案：A
(4)(2019年新课标Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝
{x|x－1<0}，则 A∩B＝(A.(－∞，1)C.(－3，－1)
B.(－2,1)D.(3，＋∞)
解析：集合 A ＝{x|x2－5x ＋6>0} ＝{x|x<2 或 x>3} ，B ＝{x|x<1}，则 A∩B＝{x|x<1}.答案：A【方法与技巧】在进行集合运算时要尽可能借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn 图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍.对于端点值的取舍，应单独检验.
交集、并集、补集的混合运算
例 5：(1)(2018 年浙江)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，
则∁UA＝(　　)A.∅C.{2,4,5}
B.{1,3}D.{1,2,3,4,5}
解析：全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁UA＝{2,4,5}.答案：C
(2)(2019 年新课标Ⅰ)已知集合 U ＝{1,2,3,4,5,6,7} ，A ＝
{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁U A＝(　　)
A.{1,6}C.{6,7}
B.{1,7}D.{1,6,7}
解析：∁U A＝{1,6,7}，B＝{2,3,6,7}，∴B∩(∁U A)＝{6,7}.答案：C
(3)(2017年新课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，
A.A∩B＝{x|x<0}C.A∪B＝{x|x>1}
B.A∪B＝RD.A∩B＝∅
解析：由3x<1，得3x<30，则x<0，即B＝{x|x<0}.∴A∩B＝ {x|x<1}∩{x|x<0} ＝ {x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}∪{x|x<0}＝{x|x<1}.故选 A.答案：A
(4)(2018 年鄂东南示范高中联盟)设全集 I 是实数集R，M＝{x|x≥3}，N＝{x|(x－3)(x－1)≤0}都是I的子集(如图1­1­1)，
则阴影部分所表示的集合为(A.{x|1解析：阴影部分表示的集合为N∩(∁I M)，又∁I M＝{x|x<3}，N＝{x|1≤x≤3}，∴N∩(∁I M)＝{x|1≤x<3}.故选B.答案：B
ln (1－x)的定义域为 B，则 A∩B＝(
A.(1,2)C.(－2,1)
B.(1,2]D.[－2,1)
解析：由4－x2≥0，得－2≤x≤2.由1－x>0，得x<1，故A∩B＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1}＝{x|－2≤x<1}.故选D.答案：D
(6)设集合M＝{x|x＜2}，N＝{x|x2－x＜0}，则下列关系中
A.M∪N＝RC.N∪(∁RM)＝R
B.M∪(∁RN)＝RD.M∩N＝M
解析：N＝ {x|0＜x＜1}，∴M∪N＝{x|x＜2}，∁RN＝{x|x≤0，或x≥1}，M∪(∁RN)＝R.故选B.答案：B
【方法与技巧】本题主要考查集合的交集、并集、补集运算，属于容易题，解此类题时一定要看清楚是求“∩”还是求“∪”，否则很容易出现错误；注意数形结合思想的应用.在进行集合运算时要尽可能借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn 图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍.对于端点值的取舍，应单独检验.
难点突破⊙集合的新定义问题的理解例题：(1)在如图 1-1-2 所示的 Venn 图中，A，B 是非空集合，定义集合 A#B 为阴影部分表示的集合.若 x，y∈R，A＝{x|y
A.{x|0B.{x|12}
(2)(2017 年广东深圳二模)设 X 是平面直角坐标系中的任意点集，定义X*＝{(1－y，x－1)|(x，y)∈X}.若X*＝X，则称点集X“关于运算*对称”.给定点集A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x－1}，C＝{(x，y)||x－1|＋|y|＝1}，其中“关于运算 * 对
称”的点集个数为(A.0 个C.2 个
解析：将(1－y，x－1)代入x2＋y2＝1，整理，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，显然不行，故集合 A 不满足关于运算*对称；将(1－y，x－1)代入 y＝x－1，即 x－1＝1－y－1，整理，得 x＋y＝1，显然不行，故集合 B 不满足关于运算*对称；将(1－y，x－1)代入|x－1|＋|y|＝1，即|1－y－1|＋|x－1|＝1，化简，得|x－1|＋|y|＝1.故集合 C 满足关于运算*对称，故只有一个集合满足关于运算*对称.故选 B.
【规律方法】(1)注意用描述法给出集合的元素. 如{y|y＝
2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合.
(2)根据图形语言知，定义的 A#B 转化为原有的运算应该是表示为∁A∪B(A∩B)，所以需要求出A∪B和A∩B，借助数轴求出并集与交集.解题的关键是利用图形语言把新定义的运算转化为原有的普通运算，从而解出.
(3)正确理解新定义.耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外衣，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.
【跟踪训练】(多选)非空集合 G 关于运算⊕满足：(1)对任意 a，b∈G，都有 a⊕b∈G；(2)存在 c∈G，使得对一切 a∈G，都有 a⊕c＝c⊕a＝a，则称集合 G 关于运算⊕为“融洽集”.现给出下列集合和运算.①G＝{非负整数}，⊕为整数的加法；②G＝{偶数}，⊕为整数的乘法；③G＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法；④G＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法.
其中 G 关于运算⊕为“融洽集”的是(
解析：对于①，①中集合 G 显然满足题目中的两个条件，所以①中 G 为“融洽集”；对于②，②中集合 G 不满足条件(2)，所以②中 G 不是“融洽集”；对于③，因为向量加向量还是向量，又存在 0∈G，使对一切 a∈G，都有 a＋0＝0＋a＝a，所以③中集合 G 满足题目中的两个条件，所以③中 G 为“融洽集”；对于④，因为x2＋2x＋3＋(－x2－2x＋1)＝4不是二次三项式，即不满足条件(1)，所以④中 G 不是“融洽集”.故选 AC.
解答集合问题时应注意四点：
(1)注意集合中元素的性质——互异性的应用，解答时注意
(2)集合问题解题时要认清描述法给出的集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.注意集合的元素.如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合.