高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第13讲抽象函数课件

这是一份高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第13讲抽象函数课件，共30页。PPT课件主要包含了B偶函数D不确定，考点1，正比例函数型抽象函数，答案ABC，考点2，对数函数型抽象函数，∴fx为偶函数，考点3，指数函数型抽象函数，跟踪训练等内容，欢迎下载使用。

1.下列四类函数中，有性质“对任意的 x>0，y>0，函数 f(x)
满足 f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是(
A.幂函数C.指数函数
B.对数函数D.余弦函数
2. 已知 f(x ＋y) ＋f(x －y) ＝2f(x)·f(y) ，且 f(x)≠0 ，则 f(x)是
A.奇函数C.非奇非偶函数
4.已知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，并且对任意正数 x，y 都有 f(xy)＝f(x)＋f(y).(1)f(1)＝_______；
例 1：(1)(多选)已知定义在R上的函数 f(x)满足 f(x＋y)＝
f(x)＋f(y)，则下列判断正确的是(
解析：∵f(0)＝f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.
f(x)f(－x)＝－[f(x)]2≤0.故选ABC.
(2)设函数 f(x)对任意 x，y∈R，都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且
当 x>0 时，f(x)<0，f(1)＝－2.
①求证：f(x)是奇函数；
②试问当－3≤x≤3 时，f(x)是否有最值？如果有，求出最
值；如果没有，说出理由.
①证明：令 x＝y＝0，
则有 f(0)＝2f(0)⇒f(0)＝0.
令 y＝－x，则有 f(0)＝f(x)＋f(－x)，即 f(－x)＝－f(x).∴f(x)是奇函数.
②解：当－3≤x≤3 时，f(x)有最值，理由如下：
任取x10⇒f(x2－x1)<0.且f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)＝－f(x2－x1)>0.∴f(x1)>f(x2).∴y＝f(x)在R上为减函数.因此f(3)为函数的最小值，f(－3)为函数的最大值.f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.∴函数f(x)的最大值为6，最小值为－6.
【规律方法】(1)利用赋值法解决抽象函数问题时需把握如下三点：一是注意函数的定义域，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f ”.
(2)解决正比例函数型抽象函数的一般步骤为：f(0)＝0⇒f(x)
是奇函数⇒f(x－y)＝f(x)－f(y)⇒单调性.
(3)判断单调性小技巧：设x10⇒f(x2－x1)<0⇒f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)例 2：已知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且满足条件：①f(x·y)＝f(x)＋f(y)；②f(2)＝1；③当 x>1 时，f(x)>0.(1)求 f(1)，f(－1)；(2)求证：函数 f(x)为偶函数；
(5)判断函数 f(x)的单调性；
(6)求不等式 f(x)＋f(x－3)≤2 的解集.
(1)解：在①中令 x＝y＝1，得 f(1)＝ f(1)＋ f(1)⇒f(1)＝0，令 x＝y＝－1，得 f(1)＝ f(－1)＋ f(－1)⇒f(－1)＝0.
(2)证明：再令 y＝－1，得 f(－x)＝ f(x)＋ f(－1)＝ f(x)，
(6)解：∵f(x(x－3))＝f(x)＋f(x－3)≤2，由①②得 2＝1＋1＝f(2)＋f(2)＝f(4)＝f(－4)，ⅰ)若 x(x－3)>0，∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
ⅱ)若 x(x－3)<0，∵f(x)在(－∞，0)上为减函数；由 f(x(x－3))≤f(－4)
∴原不等式的解集为： {x|－1≤x<0}∪{x|0例 3：定义在 R 上的函数 y＝f(x)，f(0)≠0，当 x＞0 时，f(x)>1，且对任意的 a，b∈R，有 f(a＋b)＝f(a)·f(b).(1)求证：f(0)＝1；(2)求证：对任意的 x∈R，恒有 f(x)＞0；
(5)求证：f(x)是 R 上的增函数；(6)若 f(x)·f(2x－x2)＞1，求实数 x 的取值范围.
(1)证明：令 a＝b＝0，则 f(0)＝[f(0)]2.∵f(0)≠0，∴f(0)＝1.(2)证明：∵当x＜0 时，－x＞0，
又∵当 x≥0 时，f(x)≥1＞0，∴x∈R 时，恒有 f(x)＞0.(3)证明：f(0)＝f(x－x)＝f(x)·f(－x)＝1，
(6)解：由f(x)·f(2x－x2)＞1，f(0)＝1，
∵x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＞1.又f(x1)＞0，∴f(x2－x1)·f(x1)＞f(x1).∴f(x2)＞f(x1).∴f(x)是R上的增函数.
得f(3x－x2)＞f(0).∵f(x)是R上的增函数，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.∴实数x的取值范围是{x|0【规律方法】(1)解决指数函数型抽象函数的一般步骤为：
(2)判断单调性小技巧：设x1>x2，x1－x2>0，则f(x1－x2)>1，f(x1)＝f(x2＋x1－x2)＝f(x2)f(x1－x2)>f(x2)，得到函数f(x)是增函数.
⊙利用转化与化归思想解答抽象函数