高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第17讲导数与函数的极值最值课件

这是一份高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第17讲导数与函数的极值最值课件，共45页。PPT课件主要包含了B－2D2，考点1，函数的极值，答案1a－1，考点2，函数的最值，a的值，证得题中的不等式，规律方法，值最小的为最小值等内容，欢迎下载使用。

利用导数解决实际生活中的优化问题的基本步骤(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式 y＝f(x)并确定定义域；(2)求导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0；(3)判断使 f′(x)＝0 的点是极大值点还是极小值点；(4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答，
即获得优化问题的答案.
1.(2016年四川)已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，
则 a＝(A.－4C.4
在(t，t＋1)上存在极值点，则实数 t 的取值范围为____________.
(0,1)∪(2,3)
3.(2019年黑龙江模拟)设函数f(x)＝xex，则(　　)
A.x＝1 为 f(x)的极大值点B.x＝1 为 f(x)的极小值点C.x＝－1 为 f(x)的极大值点D.x＝－1 为 f(x)的极小值点解析：f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex.令 f′(x)＝0，则 x＝－1.当 x<－1 时，f′(x)<0，当 x>－1 时，f′(x)>0，∴x＝－1 为 f(x)的极小值点.
4.(2018年四川南充一诊)若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间
(－1,1)内恰有一个极值点，则实数 a 的取值范围为(
A.(1,5)B.[1,5)C.(1,5]D.(－∞，1)∪(5，＋∞)解析：由题意知 f′(x)＝3x2＋2x－a＝0在区间(－1,1)内恰有一根( 且在根两侧 f′(x) 异号) ⇔ f′(1)f′(－1) ＝(5 －a)(1－a)<0⇔1∴实数 a 的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,0).
(2)5 (3)(－∞，－1)∪(－1,0)
【规律方法】(1)求可导函数单调区间的一般步骤和方法：①确定函数 f(x)的定义域；
②求 f′(x)，令 f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根；③把函数 f(x)的间断点[即 f(x)的无定义点]的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；
④确定 f′(x)在各个开区间内的符号，根据 f′(x)的符号判
定函数 f(x)在每个相应小开区间内的增减性.
(2)可导函数极值存在的条件：
①可导函数的极值点x0一定满足f′(x0)＝0，但当f′(x1)＝0时，x1不一定是极值点.如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点；②可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同.
例 2：(2019 年江苏)设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为 f(x)的导函数.(1)若 a＝b＝c，f(4)＝8，求 a 的值；(2)若 a≠b，b＝c，且 f(x)和 f′(x)零点均在集合{－3,1,3}中，求 f(x)的极小值；
思维点拨：(1)由题意得到关于 a 的方程，解方程即可确定
(2)由题意首先确定 a，b，c 的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小值.(3)由题意首先确定函数的极大值 M 的表达式，然后可用如
下方法证明题中的不等式：
方法一，由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可
方法二，由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值
此时f(x)＝(x－3)(x＋3)2，f′(x)＝3(x＋3)(x－1).令 f′(x)＝0，得 x＝－3 或 x＝1.列表如下：
∴f(x)的极小值为f(1)＝(1－3)(1＋3)2＝－32.
求函数 f(x)在[a，b]上的最大值、最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值 f(a)，f(b)；
(3)将函数 f(x)的极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大
1.(2019年新课标Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)当 0为 m，求 M－m 的取值范围.
利用导数解决生活中的优化问题
例 3：(2016 年江苏)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P­A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD­A1B1C1D1(如图2­17­1)，并要求正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1 的 4 倍.(1)若 AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO1
为多少时，仓库的容积最大？
【规律方法】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求f′(x)>0 和 f′(x)<0 时要注意.本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力.
(1)求 a，b 的值.
(2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t.
①请写出公路 l 长度的函数解析式 f(t)，并写出其定义域；②当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度.
⊙运用分类讨论思想讨论函数中的参数问题例题：已知f(x)＝x2＋ax－ln x＋e，g(x)＝x2＋e.
(1)若a＝－1，判断是否存在x0>0，使得f(x0)<0，并说明理
(2)设 h(x)＝f(x)－g(x)，是否存在实数 a，当 x∈(0，e](e＝2.718 28…为自然常数)时，函数 h(x)的最小值为 3，并说明理由.
解：(1)不存在x0>0使得f(x0)<0.理由如下：当a＝－1时，f(x)＝x2－x－ln x＋e，x∈(0，＋∞)，
f′(x), f(x)随x的变化情况如下表：
当x＝1时，函数f(x)有极小值，f(x)极小值＝f(1)＝e，此极小值也是最小值，故不存在x0>0，使得f(x0)<0.
1.注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必
须在函数的定义域内进行.
2.利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函
数的变化情况，直观而且条理，减少失分.
3.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，
4.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点处取得.