高考数学一轮复习第3章三角函数与解三角形第8讲解三角形应用举例课件

这是一份高考数学一轮复习第3章三角函数与解三角形第8讲解三角形应用举例课件，共41页。PPT课件主要包含了海问题等，图3-8-1，2方向角，4坡角，km此时发现，则两条船相距，图D20，答案D，测量问题，考向1等内容，欢迎下载使用。

1.解三角形的常见类型及解法
在三角形的 6 个元素中要已知三个(除三个角外)才能求解，
常见类型及其解法如下表所示：
2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航
3.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角[如图 3-8-1(1)].
相对于某正方向的水平角，如南偏东 30°，北偏西 45°等.(3)方位角：
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的
方位角为α[如图 3-8-1(2)].
坡面与水平面所成的二面角的度数.
1.某船只在海面上向正东方向行驶了 x km 迅速将航向调整
为南偏西 60°，然后沿着新的方向行驶了
离出发点恰好 3 km，那么 x 的值为__________.
2.如图 3-8-2，某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点 A，B，观察对岸的点 C，测得∠CAB＝75°，∠CBA
＝45°，且 AB＝200 m.则 A，C 两点的距离为(图 3-8-2
3.江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 45°和 30°，且两条船与炮台底部连线成 30°角，
解析：如图 D20，过炮台顶点 A 作水平面的垂线，垂足为 B.
例 1：(1)(2018 年宁夏银川一中月考)如图3-8-3，设 A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 m 米，∠BAC＝α，∠ACB＝β，
则A，B 两点间的距离为(　　)
(2)(2014 年四川)如图3-8-4，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，
则河流的宽度 BC＝(
(3)(2017 年江西赣州模拟)如图 3-8-5，为了测量 A，B 处岛屿的距离，小明在 D 处观测，A，B 分别在 D 处的北偏西 15°、北偏东 45°方向，再往正东方向行驶 40 海里至 C 处，观测 B 在C 处的正北方向，A 在 C 处的北偏西 60°方向，则 A，B 两处岛
解析：由题意，可知∠BDC＝90°－45°＝45°，又∠BCD＝90°，∴BC＝CD＝40 海里.在△ADC中，∠ADC＝105°，∠ACD＝90°－60°＝30°，
【规律方法】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在
有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.
(2)利用正弦、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学
例 2：(1)(2015 年湖北)如图 3-8-6，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD＝________m.图 3-8-6
(2)(2014 年新课标Ⅰ)如图 3-8-7，为测量山高 MN，选择点A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从点 A 测得点 M 的仰角为∠MAN＝60°，点 C 的仰角为∠CAB＝45°，以及∠MAC＝75°；从点 C 测得∠MCA＝60°.已知山高 BC＝100 m，则山高
MN＝________m.
(3)(2017 年河南郑州模拟)在地平面上有一旗杆 OP(O 在地面)，为了测得它的高度 h，在地平面上取一基线 AB，测得其长为 20 m，在 A 处测得 P 点的仰角为 30°，在 B 处测得 P 点的仰角为 45°，又测得∠AOB＝30°，则旗杆的高 h 等于________.解析：如图 D21 及根据题意有∠PAO ＝30°，△ABO 中，利用余弦定理求得 h＝20(m).
【规律方法】(1)测量高度时，要准确理解仰角、俯角的
(2)分清已知量和待求量，分析(画出)示意图，明确在哪个
三角形内运用正弦或余弦定理.
思维点拨：根据题意在图中标注已知条件，先使用余弦定
理求 BC，再使用正弦定理求角度.
∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东 60°的方向行驶.又在△BCD 中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，
∴缉私船应沿北偏东 60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分.
【规律方法】角度问题的解题方法
首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.
提醒：方向角是相对于某点而言的，因此确定方向角时，
首先要弄清是哪一点的方向角.
【跟踪训练】1.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站北偏东 40°，灯塔 B 在观察站南偏东 60°，则灯塔 A 在
A.北偏东 10°C.南偏东 10°
B.北偏西 10°D.南偏西 10°
难点突破⊙解三角形中的最值问题
思维点拨：(1)“化边”用余弦定理求 A；
sin B＋sin C 的取值范围，也可用余弦定理及均值不等式构造关于 b＋c 的不等关系求解.
【规律方法】三角函数中最值(或范围)问题：在△ABC 中，若已知∠C 及其对边 c.
①可用“化角”的方法求形如 a＋b＝
(sin A＋sin B)的
式子的取值范围； ②可用余弦定理得含有a＋b，ab及a2＋b2的等式，再利用均值定理化为以a＋b 或ab 为变量的不等式求得a＋b 或ab 的最值，从而可得三角形周长或面积的最值.