高考数学二轮专题训练高考大题专项练5立体几何a组课件

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1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB,E为线段PB的中点,F为线段BC上的动点.(1)求证:AE⊥平面PBC;(2)试确定点F的位置,使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°.
【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PA⊥BC.因为ABCD为正方形,所以AB⊥BC,又PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB,因为AE⊂平面PAB,所以AE⊥BC.因为PA=AB,E为线段PB的中点,所以AE⊥PB.又 PB∩BC=B,PB,BC⊂平面PBC,所以AE⊥平面PBC.
(2)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 设正方形ABCD的边长为2,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,0,1),所以 =(1,0,1), =(2,2,-2), =(0,2,-2).设F(2,λ,0)(0≤λ≤2),所以 =(2,λ,0).
设平面AEF的一个法向量为n= ,则 所以 令y1=2,则 所以n=(-λ,2,λ).设平面PCD的一个法向量为m= ,则
所以 令y2=1,则 所以m=(0,1,1),因为平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°,所以cs 30°= ,解得λ=1,所以当点F为BC中点时,平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°.
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC= AD=1,CD= .(1)求证:平面MQB⊥平面PAD;(2)若BM⊥PC,求直线AP与BM所成角的余弦值;(3)若二面角M-BQ-C大小为60°,求QM的长.
【解析】(1)因为AD∥BC,BC= AD,Q为AD的中点,所以QD? BC,所以四边形BCDQ为平行四边形,所以CD∥BQ.又因为CD⊥AD,所以BQ⊥AD.又因为PQ⊥AD且平面PAD⊥底面ABCD,所以PQ⊥底面ABCD,所以PQ⊥BQ,所以BQ⊥平面ADP.又因为BQ⊂平面MQB,所以平面MQB⊥平面PAD.
(2)因为QA,QB,QP两两垂直,所以以Q为原点,QA,QB,QP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立坐标系.如图:
A(1,0,0),P(0,0, ),B(0, ,0),C(-1, ,0),设 =λ· =λ(-1, ,- ),0≤λ≤1,所以M(-λ, λ, - λ).
因为BM⊥PC,所以 · =7λ-6=0,所以λ= ,所以 = .设AP与BM所成角为θ,所以cs θ= ,所以直线AP与BM所成角的余弦值为 .