高考数学二轮专题训练高考大题专项练14函数与导数b组课件

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1.已知函数f(x)= +aln x,g(x)= ,(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)证明:a=1时,f(x)+g(x)- ln x>e.
【解析】(1)f(x)= +aln x,(x∈(0,+∞)).f′(x)=- + = .当a≤0时,f′(x)<0,函数f(x)在x∈(0,+∞)上单调递减.a>0时,由f′(x)<0,得00,得x> ,所以函数f(x)在 上单调递减,在 上单调递增.
(2)a=1时,要证f(x)+g(x)- ln x>e.即要证: + ln x-e>0⇔ex-ex+1> ,x∈(0,+∞).令F(x)=ex-ex+1,F′(x)=ex-e,当x∈(0,1)时,F′(x)<0,此时函数F(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,F′(x)>0,此时函数F(x)单调递增.可得x=1时,函数F(x)取得最小值,F(1)=1.令G(x)= ,G′(x)= ,
当00,此时G(x)单调递增,当x>e时,G′(x)<0,此时G(x)单调递减,所以x=e时,函数G(x)取得最大值,G(e)=1.x=1与x=e不同时取得,因此F(x)>G(x),即ex-ex+1> ,x∈(0,+∞).故原不等式成立.
2.已知函数f(x)= -2ln x的图象在x=1处的切线过点(0,2-2a),a,b∈R.(1)若a+b= ,求函数f(x)的极值点.(2)设x1,x2(x1≠x2)是函数f(x)的两个极值点,若 【解析】因为f′(x)= ,所以f′(1)=a+b-2.又f(1)=a-b,曲线y=f(x)在x=1处的切线过点(0,2-2a),所以 =a+b-2,得a=b.(1)因为a+b= ,所以a=b= ,令f′(x)=0,得2x2-5x+2=0,解得x= 或2,所以f(x)的极值点为 或2.
(2)因为x1,x2是方程f′(x)= =0的两个根,且a=b,所以x1x2=1,a= ,因为 1,a>0,所以f(x1)是函数f(x)的极大值,f(x2)是函数f(x)的极小值,所以要证|f(x2)-f(x1)|<1,只需f(x1)-f(x2)<1,f(x1)-f(x2)=ax1- -2ln x1-(ax2- -2ln x2)=2(ax1- -2ln x1)=4( -ln x1)=4( - ln ),