高考数学二轮专题训练高考大题专项练12解析几何d组课件

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1.已知动点M到定点F(1,0)的距离比M到定直线x=-2的距离小1.(1)求点M的轨迹C的方程;(2)过点F任意作互相垂直的两条直线l1和l2,分别交曲线C于点A,B和K,N.设线段AB,KN的中点分别为P,Q,求证:直线PQ恒过一个定点.
【解析】(1)由题意可知:动点M到定点F(1,0)的距离等于M到定直线x=-1的距离,根据抛物线的定义可知,点M的轨迹C是抛物线.因为p=2,所以抛物线方程为:y2=4x.(2)设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则点P的坐标为 .
由题意可设直线l1的方程为y=k(x-1)(k≠0),由 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,Δ=(2k2+4)2-4k4=16k2+16>0,因为直线l1与曲线C交于A,B两点,所以x1+x2=2+ ,y1+y2=k(x1+x2-2)= ,所以点P的坐标为 .
由题知,直线l2的斜率为- ,同理可得点Q的坐标为(1+2k2,-2k).当k≠±1时,有1+ ≠1+2k2,此时直线PQ的斜率kPQ= .所以,直线PQ的方程为y+2k= (x-1-2k2),整理得yk2+(x-3)k-y=0,于是,直线PQ恒过定点E(3,0);当k=±1时,直线PQ的方程为x=3,也过点E(3,0).综上所述,直线PQ恒过定点E(3,0).
2.已知椭圆C1: =1(a>b>0)的左、右顶点分别是双曲线C2: -y2=1的左、右焦点,且C1与C2相交于点( ).(1)求椭圆C1的标准方程;(2)设直线l:y=kx- 与椭圆C1交于A,B两点,以线段AB为直径的圆是否恒过定点?若恒过定点,求出该定点;若不恒过定点,请说明理由.
【解析】(1)将 代入 -y2=1,解得m2=1,所以a2=m2+1=2.将 代入 =1,解得b2=1,所以椭圆C1的标准方程为 +y2=1.(2)设 ,由 整理得 x2-12kx-16=0,所以x1+x2= ,x1x2= ,Δ=144k2+64 >0.
方法一:由对称性可知,以AB为直径的圆若恒过定点,则定点必在y轴上.设定点为M ,则 , =x1x2+(y1-y0)(y2-y0)=x1x2+y1y2-y0 =x1x2+k2x1x2-
所以 解得y0=1,所以M(0,1),所以以线段AB为直径的圆恒过定点(0,1).
方法二:设定点为M ,则 =(x1-x0,y1-y0), =(x2-x0,y2-y0), =(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y)(y2-y0)=x1x2-x0(x1+x2)+ +y1y2-y0(y1+y2)+ =x1x2-x0 + + =