高考数学二轮专题训练解题技巧思想导引3.2函数与方程课件

这是一份高考数学二轮专题训练解题技巧思想导引3.2函数与方程课件，共39页。

一 函数与方程思想在不等式中的应用【典例1】已知函数f(x)=ax2+(a+2)x+a2为偶函数,则不等式(x-2)f(x)<0的解集为(　　)A.(- , )∪(2,+∞)　　　B.(- ,+∞)C.(2,+∞)D.(- ,2)
【解析】选A.因为函数f(x)=ax2+(a+2)x+a2为偶函数,所以a+2=0,得a=-2,所以f(x)=-2x2+4.所以不等式(x-2)f(x)<0可转化为 解得- 2.故原不等式的解集为(- , )∪(2,+∞).
【技法点拨】函数与不等式的相互转化,把不等式问题转化为函数问题,借助函数的图象和性质可解决相关的问题.常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数,从而研究函数性质破解问题.
【变式训练】已知f(x)=lg2x,x∈[2,16],对于函数f(x)值域内的任意实数m,使x2+mx+4>2m+4x恒成立的实数x的取值范围为(　　)A.(-∞,-2]B.[2,+∞)C.(-∞,-2]∪[2,+∞)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
【解析】选D.因为x∈[2,16],所以f(x)=lg2x∈[1,4],即m∈[1,4]时,不等式x2+mx+4>2m+4x恒成立,即为m(x-2)+(x-2)2>0恒成立.构造函数g(m)=(x-2)m+(x-2)2,则此函数在区间[1,4]上恒大于0,所以 解得x<-2或x>2.
二 函数与方程思想在数列的应用【典例2】(1)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)=4f(x+2),当x∈[0,2)时,f(x)= 设f(x)在[2n-2,2n)上的最大值为an(n∈N*),且{an}的前n项和为Sn,若Sn【解析】选B.由题意得,当x∈[0,1)时,1≤f(x)≤ ;当x∈[1,2)时, ≤f(x)≤1,所以当x∈[0,2)时,f(x)的最大值为 ;又因为f(x+2)= f(x),所以当x∈[2,4)时,f(x)的最大值为 × ;当x∈[4,6)时,f(x)的最大值为 × ,…,所以当x∈[2n-2,2n)时,f(x)的最大值an= × .由等比数列的前n项和公式,得Sn= 若Sn(2)已知函数f(x)满足f(1+x)=1+ ,数列{an}满足a1=2,an+1=f (n∈N*).(ⅰ)求证:数列{an}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式;(ⅱ)若bn=an·2n-1,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn以及当Tn>100时n的最小值(n≥1).
【解析】(ⅰ)令t=1+x,则f(1+x)=1+ 可化简为f(t)=1+ .因为an+1=f ,所以an+1=1+ =an+1,所以an+1-an=1,所以数列{an}是首项为2,公差为1的等差数列,an=a1+n-1=n+1.(ⅱ)由(ⅰ)得an=n+1,因为bn=an·2n-1=(n+1)·2n-1,所以Tn=2×20+3×21+4×22+…+(n+1)·2n-1①,
2Tn=2×21+3×22+4×23+…+(n+1)·2n②,由①-②可得:-Tn=2+(21+22+23+…+2n-1)-(n+1)·2n=2+ -(n+1)·2n=-n·2n,所以Tn=n·2n.通过计算可得:当n≤4时,Tn<100;当n≥5时,Tn>100.综上,当Tn>100时n的最小值为5.
【技法点拨】数列是定义在正整数集上的特殊函数,等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式都具有函数关系,都可以看成关于n的函数,在解等差数列、等比数列问题时,有意识地寻找其函数关系,从而用函数思想或函数方法研究、解决问题,不仅能获得简便的解法,而且能促进科学思维的培养,提高发散思维的水平.
【变式训练】已知数列{an}是各项均为正数的等差数列.(1)若a1=2,且a2,a3,a4+1成等比数列,求数列{an}的通项公式an;(2)在(1)的条件下,数列{an}的前n项和为Sn,设bn= 若对任意的n∈N*,不等式bn≤k恒成立,求实数k的最小值.
【解析】(1)因为a1=2, =a2(a4+1),又因为{an}是正项等差数列,故d≥0,所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d),解得d=2或d=-1(舍去),所以数列{an}的通项公式an=2n.(2)因为Sn=n(n+1),则 所以bn=
令f(x)=2x+ (x≥1),则f′(x)=2- >0恒成立,所以f(x)在[1,+∞)上是增函数,所以当x=1时,f(x)min=f(1)=3,即当n=1时,(bn)max= ,要使对任意的正整数n,不等式bn≤k恒成立,则需使k≥(bn)max= ,所以实数k的最小值为 .
三 函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用【典例3】(1)已知函数y=f(x)对任意x∈R,都有2f(x)-3f(-x)=5sin 2x+cs 2x,将曲线y=f(x)向左平移 个单位长度后得到曲线y=g(x),则曲线y=g(x)的一条对称轴方程为(　　)
(2)已知在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=120°,C是OB的中点,P为弧AB上任意一点,且 则λ+μ的最大值为________. 
【解析】(1)选C.由 ①×2+②×3,得-5f(x)=-5sin 2x+5cs 2x,即f(x)=sin 2x-cs 2x= 将曲线y=f(x)向左平移 个单位长度后得到g(x)= 的图象.
令2x+ = +kπ,k∈Z,求得x= ,k∈Z,则g(x)的图象的对称轴方程为x= ,k∈Z.经计算,选项C符合题意.
(2)建立如图所示的平面直角坐标系,则O(0,0),A(2,0),C 则 =(2,0), 设P(2cs θ,2sin θ),
则λ(2,0)+μ =(2cs θ,2sin θ),则λ+μ= sin θ+cs θ= sin(θ+φ),其中tan φ= 据此可知,当sin(θ+φ)=1时,λ+μ取得最大值答案:
【技法点拨】(1)含参数的三角函数方程问题的两种处理思路:一是分离参数构建函数,将方程有解转化为求函数的值域.二是换元,将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程,进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决.(2)解决平面向量问题的常用方法:对平面向量的模进行平方处理,把模问题转化为数量积问题,再利用函数与方程思想进行分析与处理.
【变式训练】1.若方程cs2x-sin x+a=0在x∈ 上有解,则a的取值范围是________. 【解析】方法一:把方程cs2x-sin x+a=0变形为a=-cs2x+sin x,设f(x)=-cs2x+sin x,x∈ ,f(x)=-(1-sin2x)+sin x= 由x∈ 可得sin x∈(0,1],易求得f(x)的值域为(-1,1],故a的取值范围是(-1,1].答案:(-1,1]
方法二:令t=sin x,由x∈ ,可得t∈(0,1].依题意得1-t2-t+a=0,即方程t2+t-1-a=0在t∈(0,1]上有解,设f(t)=t2+t-1-a,其图象是开口向上的抛物线,对称轴为直线t=- ,如图所示.
因此,f(t)=0在(0,1]上有解等价于 即 所以-12.设向量a,b满足|a|=|b|=1,a·b= ,则|a+xb|(x∈R)的最小值为(　　)【解析】选B.|a+xb|2=a2+2xa·b+x2b2=x2+x+1= 所以当x=- 时,|a+xb|取得最小值
四 函数与方程思想在解析几何中的应用【典例4】已知点A,B的坐标分别是(- ,0),( ,0),动点M(x,y)满足直线AM和BM的斜率之积为-3,记M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)直线y=kx+m与曲线E相交于P,Q两点,若曲线E上存在点R,使得四边形OPRQ为平行四边形(其中O为坐标原点),求m的取值范围.
【解析】(1)kAM·kBM= =-3,(y≠0),化简得曲线E的方程: =1(y≠0).(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立 得(3+k2)x2+2kmx+m2-6=0,x1+x2=- ,y1+y2=k(x1+x2)+2m= Δ=(2km)2-4×(3+k2)(m2-6)=-12m2+24k2+72>0,即-m2+2k2+6>0,①
若四边形OPRQ为平行四边形,则PQ的中点也是OR的中点,所以点R的坐标为 又点R在曲线E上,所以 化简得2m2=k2+3,②将②代入①得m2>0,所以m≠0,由②得2m2≥3,所以m≥ 或m≤- ,所以m的取值范围为
【技法点拨】解决解析几何中的范围问题的关键是抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数的性质来使问题得以解决,这是求面积、线段长、最值(范围)问题的基本方法.
【变式训练】1.已知M,N分别是椭圆 +y2=1和圆C:x2+(y-4)2=1上的动点,则|MN|的最大值为(　　)
【解析】选D.圆心C为(0,4),设M(x,y),则|MC|= 又因为-1≤y≤1,所以当y=- 时,|MC|max=3 ,则|MN|max=3 +1.
2.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,直线l与抛物线C交于P,Q两点.(1)若l过点F,抛物线C在点P处的切线与在点Q处的切线交于点G.证明:点G在定直线上.(2)若p=2,点M在曲线y=- 上,MP,MQ的中点均在抛物线C上,求△MPQ面积的取值范围.
【解析】(1)易知F(0, ),设P(x1, ),Q(x2, ).由题意可知直线l的斜率存在,故设其方程为y=kx+ .由 得x2-2pkx-p2=0,所以x1x2=-p2.由x2=2py,得y= ,y′= ,则kPG= ,直线PG的方程为y- = (x-x1),即 x-y- =0,①同理可得直线QG的方程为 x-y- =0,②
联立①②,可得(x1-x2)y= 因为x1≠x2,所以y= 故点G在定直线y=- 上.
(2)设M(x0,y0),MP,MQ的中点分别为因为MP,MQ的中点均在抛物线C上,所以x1,x2为方程 的解,即为方程x2-2x0x+8y0-x02=0的两个不同的实根,则x1+x2=2x0,x1x2=8y0-x02,Δ=(-2x0)2-4(8y0-x02)>0,即x02>4y0,
所以PQ的中点N的横坐标为x0,纵坐标为 则 = [(x1+x2)2-2x1x2]-y0= -3y0,|x1-x2|= 所以△MPQ的面积S= |MN|·|x1-x2|= 由y0=- ,得x02=1-y02(-1≤y0≤0),所以x02-4y0=-y02-4y0+1=-(y0+2)2+5,