高考数学二轮专题训练解题技巧思想导引3.3分类与整合课件

这是一份高考数学二轮专题训练解题技巧思想导引3.3分类与整合课件，共37页。

　　 一　由概念、法则、公式引起的分类讨论【典例1】在直角坐标系xOy中,已知圆C1:x2+y2=r2(r>0)与直线l0:y=x+2 相切,点A为圆C1上一动点,AN⊥x轴于点N,且动点M满足 ,设动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设P,Q是曲线C上两动点,线段PQ的中点为T,OP,OQ的斜率分别为k1,k2,且k1k2=- ,求|OT|的取值范围.
【解析】(1)设动点M(x,y),A(x0,y0),由于AN⊥x轴于点N,所以N(x0,0),又圆C1:x2+y2=r2(r>0)与直线l0:y=x+2 相切,所以r= =2,则圆C1:x2+y2=4.由题意, 得(x,y)+(x-x0,y-y0)=(x0,0),所以 又点A为圆C1上的动点,所以x2+4y2=4,即 +y2=1.
(2)当PQ的斜率不存在时,设直线OP为y= x,不妨取点P（ ），则Q（ ），T( ，0)，所以|OT|= .当PQ的斜率存在时,设直线PQ为y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立 可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.所以x1+x2= x1x2= 因为k1k2=- ,所以4y1y2+x1x2=0.
所以4(kx1+m)(kx2+m)+x1x2=(1+4k2)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=4m2-4- +4m2=0.化简得:2m2=1+4k2,所以m2≥ .Δ=64k2m2-4(4k2+1)(4m2-4)=16(4k2+1-m2)=16m2>0.设T(x3,y3),则x3= y3=kx3+m= .所以|OT|2= 所以|OT|∈ 综上,|OT|的取值范围是
【技法点拨】解决由概念、法则、公式引起的分类整合问题的步骤第一步:确定需分类的目标与对象,即确定需要分类的目标,一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标.第二步:根据公式、定理确定分类标准.运用公式、定理对分类对象进行区分.第三步:分类解决“分目标”问题.对分类出来的“分目标”分别进行处理.第四步:汇总“分目标”.将“分目标”问题进行汇总,并作进一步处理.
【变式训练】 1.若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m) 在[0,+∞)上是增函数,则a=________. 【解析】若a>1,有a2=4, a-1=m.解得a=2,m= .此时g(x)=- 为减函数,不合题意.若02.设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,3,…),则q的取值范围是________. 【解析】由{an}是等比数列,Sn>0,可得a1=S1>0,q≠0,当q=1时,Sn=na1>0.当q≠1时,Sn= >0,即 >0(n=1,2,3,…), 由①得-11.故q的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).答案:(-1,0)∪(0,+∞)
　　 二 　由参数的取值范围引起的分类讨论【典例2】已知函数f(x)=ex(ax2+x+a)(其中常数a≥0).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)≤ex(ax2+2x)+1恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】(1)函数f(x)的定义域为R,且f′(x)=(ax+a+1)(x+1)ex,①当a=0时,f′(x)=ex(x+1),当x>-1时,f′(x)>0,当x<-1时,f′(x)<0,所以函数f(x)的单调增区间为(-1,+∞),单调减区间为(-∞,-1).②当a>0时,f′(x)=a(x+1) ex,则方程f′(x)=0有两根-1,- ,且-1>- .
所以函数f(x)的单调增区间为 和(-1,+∞),单调减区间为 综上可知,当a>0时,函数f(x)的单调增区间为 和(-1,+∞),单调减区间为 当a=0时,函数f(x)的单调增区间为(-1,+∞),单调减区间为(-∞,-1).
(2)函数f(x)≤ex(ax2+2x)+1恒成立转化为a≤x+ 在R上恒成立.令h(x)=x+ ,则h′(x)= ,易知h(x)在(0,+∞)上为增函数,在(-∞,0)上为减函数.所以h(x)min=h(0)=1,则a≤1.又依题设知a≥0,故实数a的取值范围为[0,1].
【技法点拨】　若遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论,此种题目为含参型,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想,分类要做到分类标准明确、不重不漏.
【变式训练】　已知函数f(x)=x2-(2m+1)x+ln x(m∈R).(1)当m=- 时,若函数g(x)=f(x)+(a-1)ln x恰有一个零点,求a的取值范围;(2)当x>1时,f(x)<(1-m)x2恒成立,求m的取值范围.
【解析】(1)函数g(x)的定义域为(0,+∞).当m=- 时,g(x)=aln x+x2,所以g′(x)= ①当a=0时,g(x)=x2,在x∈(0,+∞)上,g(x)=0无解.所以x>0时无零点,即a≠0.②当a>0时,g′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,取x0= ,则 =-1+ <0,因为g(1)=1,所以g(x0)·g(1)<0,此时函数g(x)恰有一个零点,即a>0.
③当a<0时,令g′(x)=0,解得x= .当0 时,g′(x)>0,所以g(x)在 上单调递增.要使函数g(x)有一个零点,则 =0,即a=-2e.综上所述,若函数g(x)恰有一个零点,则a=-2e或a>0.
(2)令h(x)=f(x)-(1-m)x2=mx2-(2m+1)x+ln x,根据题意,当x∈(1,+∞)时,h(x)<0恒成立.又h′(x)=2mx-(2m+1)+ ①若00恒成立,所以h(x)在 上是增函数,且h(x)∈ 所以不符合题意.②若m≥ ,则x∈(1,+∞)时,h′(x)>0恒成立,所以h(x)在(1,+∞)上是增函数,且h(x)∈(h(1),+∞),所以不符合题意.
③若m≤0,则x∈(1,+∞)时,恒有h′(x)<0,故h(x)在(1,+∞)上是减函数,于是“h(x)<0对任意x∈(1,+∞)都成立”的充要条件是h(1)≤0,即m-(2m+1)≤0,解得m≥-1,故-1≤m≤0.综上,m的取值范围是[-1,0].
　　 三　由图形位置或形状引起的分类讨论【典例3】(1)已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π,则两平行截面间的距离是(　　)A.1　　　　B.2　　　　C.1或7　　　　D.2或6
【解析】选C.画出球的截面图.如图所示.是一个球的大圆,两平行直线是球的两个平行截面的直径,m= =4,n= =3,当两个平行截面在球心的两侧时,两平行截面间的距离是m+n=7;当两个平行截面在球心的同侧时,两平行截面间的距离是m-n=1.
(2)设F1,F2为椭圆 =1的两个焦点,P为椭圆上一点.已知P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求 的值.
【解析】①若∠PF2F1=90°,则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,又因为|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 ,解得|PF1|= ,|PF2|= ,所以 = .②若∠F1PF2=90°,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2.所以|PF1|2+(6-|PF1|)2=20,所以|PF1|=4,|PF2|=2,所以 =2.综上知, = 或2.
【技法点拨】　六类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类整合(1)二次函数对称轴的变化;(2)函数问题中区间的变化;(3)函数图象形状的变化;(4)直线由斜率引起的位置变化;(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化;(6)立体几何中点、线、面的位置变化等.
【变式训练】1.已知实数x,y满足约束条件 如果目标函数z=x+ay的最大值为 ,则实数a的值为(　　)
【解析】选D.先画出线性约束条件所表示的可行域,如图中阴影部分所示,目标函数化为y=- x+ z,当a>0时,- <0,只需目标函数截距最大.①若 ,即a>2,最优解为 a=3,符合题意;②若 ,即00,只需目标函数截距最小.
③若 ,即a<-2,最优解为C(-2,-2),z=-2-2a= ,a=- ,符合题意;④若 ,即-21,即-12.设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R,求函数f(x)的最小值.【解析】f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,函数图象的对称轴为x=1.当t+1<1,即t<0时,函数图象如图(1)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为减函数,所以最小值为f(t+1)=t2+1;当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,函数图象如图(2)所示,在对称轴x=1处取得最小值,最小值为f(1)=1;
当t>1时,函数图象如图(3)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,所以最小值为f(t)=t2-2t+2.综上可知,f(x)min=
　　 四 　由运算、性质引起的分类讨论【典例4】设{an}是无穷等差数列,公差为d,前n项和为Sn.(1)设a1=40,a6=38,求Sn的最大值;(2)设S9=0,且a2+a3+a4+a5=-18,令bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)数列{an}是无穷等差数列,公差为d,由于a1=40,a6=38,所以a6=a1+5d,a6-a1=-2=5d,解得d=- .当n=100或101时,Sn取得最大值2 020;
(2)由题意知, 解得 故an=3n-15,所以当n≤5时,an≤0,故Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-an 当n>5时, Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=(-a1-a2-…-a5)+a6+…+an=Sn-2S5= 所以Tn=
【技法点拨】　计算时,常遇到需要分类讨论的问题,这时一般是根据绝对值的性质、函数奇偶性、指数性质、对数性质等进行分类讨论,在处理分段函数问题时,首先要确定自变量的取值属于哪个区间段,再选取相应的对应法则.离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一.
【变式训练】1.已知a>0,b>0且a≠1,b≠1,若lgab>1,则(　　)A.(a-1)(b-1)<0B.(a-1)(a-b)>0C.(b-1)(b-a)<0D.(b-1)(b-a)>0
【解析】选D.因为a>0,b>0且a≠1,b≠1,所以当a>1,即a-1>0时,不等式lgab>1可化为 >a1,即b>a>1,所以(a-1)(a-b)<0,(a-1)(b-1)>0,(b-1)(b-a)>0.当01可化为 0,(b-1)(b-a)>0.
2.已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y= 与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则 (xi+yi)=(　　)A.0　　　　B.m　　　　C.2m　　　　D.4m