物理必修 第二册1 圆周运动导学案

第1节　圆周运动

1．圆周运动：把轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动称为圆周运动。

2．线速度

(1)定义：物体沿圆弧经过某点附近时，一段很短的时间Δt内通过的弧长为Δs，则弧长Δs与时间Δt之比称为线速度的大小，用符号v表示。

(2)定义式：v＝。

(3)标矢性：线速度是矢量，方向为物体做圆周运动时该点的切线方向。

(4)物理意义：描述做圆周运动的物体在某点时运动的快慢。

3．匀速圆周运动

(1)定义：沿着圆周，并且线速度的大小处处相等的运动。

(2)性质：线速度的方向是时刻变化的，所以是一种变速运动，“匀速”是指速率不变。

4．角速度

(1)定义：物体沿圆弧经过某点附近时，一段很短的时间Δt内半径转过的角为Δθ，则角Δθ与所用时间Δt之比叫作角速度，用符号ω表示。

(2)定义式：ω＝。

(3)单位：角的单位是弧度，符号是rad，所以角速度的单位是弧度每秒，符号是rad/s或s－1。

(4)物理意义：描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢。

(5)匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。

5．周期与转速

6．线速度与角速度的关系

(1)两者关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积。

(2)关系式：v＝ωr。

典型考点一　　　匀速圆周运动的理解

1．(多选)质点做匀速圆周运动，则(　　)

A．在任何相等的时间里，质点的位移都相同

B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等

C．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同

D．在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等

答案　BD

解析　如图所示，经，质点由A到B，再经，质点由B到C，由于线速度大小不变，根据线速度的定义，Δs＝v·，所以相等时间内通过的路程相等，B正确；但位移xAB、xBC大小相等，方向并不相同，故平均速度不同，A、C错误；由角速度的定义ω＝知Δt相同，Δθ＝ωΔt相同，D正确。

典型考点二　　　描述圆周运动的物理量间的关系

2．甲、乙两物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为1∶2，在相等时间里都转过60°圆心角。则(　　)

A．线速度之比为1∶2    B．线速度之比为2∶1

C．角速度之比为2∶1    D．角速度之比为1∶2

答案　A

解析　根据角速度定义式ω＝，角速度之比为1∶1，故C、D错误；甲、乙两物体转动半径之比为1∶2，角速度之比为1∶1，根据线速度与角速度的关系式v＝ωr，可知线速度之比为1∶2，故A正确，B错误。

3．教师在黑板上画圆，圆规脚之间的距离是25 cm，他保持这个距离不变，用粉笔在黑板上匀速地画了一个圆，粉笔的线速度是2.5 m/s。关于粉笔的运动，有下列说法：①角速度是0.1 rad/s；②角速度是10 rad/s；③周期是10 s；④周期是0.628 s；⑤频率是10 Hz；⑥频率是1.59 Hz；⑦转速小于2 r/s；⑧转速大于2 r/s。下列哪个选项中的结果是全部正确的(　　)

A．①③⑤⑦    B．②④⑥⑧

C．②④⑥⑦    D．②④⑤⑧

答案　C

解析　根据描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系得：角速度ω＝＝ rad/s＝10 rad/s，周期T＝＝ s≈0.628 s，频率f＝＝ Hz≈1.59 Hz，转速n＝f＝1.59 r/s<2 r/s，故C正确。

4．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是(　　)

A．根据T＝，线速度越大，则周期越小

B．根据T＝，角速度越大，则周期越小

C．角速度越大，速度的方向变化越快

D．线速度越大，速度的方向变化越快

答案　BC

解析　R一定时，线速度越大，则周期越小，由于R不确定，A错误。根据T＝可知，B正确。线速度描述物体沿圆周运动的快慢，角速度描述物体沿圆周转动的快慢，C正确，D错误。

5．静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法中正确的是(　　)

A．它们的运动周期都是相同的

B．它们的线速度都是相同的

C．它们的线速度大小都是相同的

D．它们的角速度是不同的

答案　A

解析　如图所示，地球绕自转轴转动时，地球上各点的运动周期及角速度都是相同的，A正确，D错误。地球表面上的物体，随地球做圆周运动的平面是物体所在纬线平面，其圆心分布在整条自转轴上，不同纬线上的物体圆周运动的半径是不同的，只有同一纬线上的物体转动半径相等，线速度的大小才相等，但即使物体的线速度大小相同，方向也各不相同，所以B、C错误。

6．关于匀速圆周运动的线速度v、角速度ω和半径r，下列说法中正确的是(　　)

A．若r一定，则v与ω成正比

B．若r一定，则v与ω成反比

C．若ω一定，则v与r成反比

D．若v一定，则ω与r成正比

答案　A

解析　根据v＝ωr知，若r一定，则v与ω成正比；若ω一定，则v与r成正比；若v一定，则ω与r成反比。故只有A正确。

典型考点三　　　同轴转动与皮带传动问题分析

7. 如图所示是一个玩具陀螺。A、B和C是陀螺上的三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述中正确的是(　　)

A．A、B和C三点的线速度大小相等

B．A、B和C三点的角速度相等

C．A、B的角速度比C的大

D．C的线速度比A、B的大

答案　B

解析　A、B和C均是同一陀螺上的点，它们做圆周运动的角速度都为陀螺旋转的角速度ω，B正确，C错误；三点的运动半径关系rA＝rB＞rC，据v＝ωr可知，三点的线速度大小关系vA＝vB＞vC，A、D错误。

8．如图所示，皮带传动装置上有A、B、C三点，OA＝O′C＝r，O′B＝2r，则皮带轮转动时，下列关系成立的是(　　)

A．vA＝vB，vB＝vC    B．ωA＝ωB，vB＞vC

C．ωB＝ωC，vA＝vB    D．ωA＞ωB，vB＝vC

答案　C

解析　根据同轮轴上的点角速度相等，可得ωB＝ωC，同皮带上的点线速度大小相等，可得vA＝vB，由v＝ωr，即有角速度相等时，半径越大，线速度越大，则得vB>vC，线速度相等时，角速度与半径成反比，则得ωA>ωB，综上可得：ωA>ωB＝ωC，vA＝vB>vC，故C正确，A、B、D错误。

9. 如图所示的齿轮传动装置中，主动轮和从动轮的齿大小相同，主动轮的齿数z1＝24，从动轮的齿数z2＝8，当主动轮以角速度ω逆时针转动时，从动轮的转动情况是(　　)

A．顺时针转动，周期为    B．逆时针转动，周期为

C．顺时针转动，周期为    D．逆时针转动，周期为

答案　A

解析　齿轮不打滑，说明接触点线速度大小相等，主动轮逆时针转动，故从动轮顺时针转动。因为齿的大小相等，主动轮的齿数z1＝24，从动轮的齿数z2＝8，故主动轮与从动轮的角速度之比＝＝＝，解得从动轮的角速度ω2＝3ω1＝3ω。根据ω＝得从动轮的周期T＝＝，故A正确。

典型考点四　　　匀速圆周运动的多解问题

10. 如图所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为R，顶部有入口A，在A的正下方h处有出口B。一质量为m的小球从入口A沿圆筒壁切线方向水平射入圆筒内，要使小球从出口B飞出，小球进入入口A处的速度v0应满足什么条件？(已知重力加速度为g)

答案　v0＝nπR(n＝1,2,3，…)

解析　该题中小球的运动轨迹是空间螺旋曲线，可将其分解为两个简单的分运动：一个是以初速度v0沿圆筒内壁做匀速圆周运动(水平方向)，如图甲所示；另一个是在重力作用下做自由落体运动(竖直方向)。因此若将圆筒沿直线AB展开为平面，则小球沿圆筒壁的运动是平抛运动，如图乙所示。据此得小球在筒内运动的时间t＝。

由题设条件得水平方向的位移应是圆周长的整数倍，

即l＝v0t＝2nπR(n＝1,2,3，…)。

联立以上两式得v0＝nπR(n＝1,2,3，…)。

1．(多选)下列关于匀速圆周运动的说法中，正确的是(　　)

A．是线速度不变的运动    B．是角速度不变的运动

C．是周期不变的运动    D．是位移不变的运动

答案　BC

解析　匀速圆周运动中线速度的大小不变，方向不断变化；角速度的大小和方向都不变，周期不变，位移的大小和方向时刻改变，故A、D错误，B、C正确。

2．如图所示，小强同学正在荡秋千，某时刻关于绳上a点和b点的线速度和角速度，下列关系正确的是(　　)

A．va＝vb

B．va>vb

C．ωa＝ωb

D．ωa<ωb

答案　C

解析　小强同学绕O点转动，绳子上各点的角速度相等，故ωa＝ωb，由于ra<rb，由v＝ωr可知，va<vb，故C正确，A、B、D错误。

3．如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω转动，O为球心，则(　　)

A．若θ＝30°，则vA∶vB＝1∶2

B．若θ＝30°，则vA∶vB＝2∶1

C．A、B两点的角速度相等

D．A、B两点的线速度相等

答案　C

解析　同轴转动的各点角速度相等，故A、B两点的角速度相等；设球的半径为R，若θ＝30°，则A点的转动半径为Rcos30°＝R，B点的转动半径为R，根据公式v＝Rω，线速度之比vA∶vB＝RA∶RB＝R∶R＝∶2，故A、B、D错误，C正确。

4．(多选)甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是(　　)

A．它们的半径之比为2∶9

B．它们的半径之比为1∶2

C．它们的周期之比为2∶3

D．它们的周期之比为1∶3

答案　AD

解析　由v＝ωr，所以r＝，＝＝，A正确，B错误；由T＝，得T甲∶T乙＝∶＝1∶3，D正确，C错误。

5．两小球固定在一根长为L的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动，如图所示。当小球1的速度为v1时，小球2的速度为v2，则O点到小球2的距离是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　由题意知两小球角速度相等，即ω1＝ω2，设球1、2到O点的距离分别为r1、r2，则＝，又r1＋r2＝L，所以r2＝，B正确。

6．变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度。如图是某一变速自行车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则(　　)

A．该车可变换两种不同挡位

B．该车可变换五种不同挡位

C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝1∶4

D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝4∶1

答案　C

解析　A轮通过链条分别与C、D轮连接，自行车可有两种不同的挡位，B轮分别与C、D轮连接，又可有两种不同的挡位，所以该车可变换四种不同挡位，故A、B错误；皮带类传动边缘点线速度相等，又齿轮的齿数与齿轮的半径大小成正比，故前齿轮的齿数与转动角速度的乘积等于后齿轮齿数与转动角速度的乘积，当A轮与D轮组合时，两轮边缘线速度大小相等，则有：NA·ωA＝ND·ωD，解得：ωA∶ωD＝ND∶NA＝12∶48＝1∶4，故C正确，D错误。

7．(多选)如图所示的皮带传动装置中，左边两轮同轴，A、B、C分别是三个轮边缘的质点，且RA＝RC＝2RB，则下列说法中正确的是(　　)

A．三质点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC＝2∶2∶1

B．三质点的线速度之比vA∶vB∶vC＝2∶1∶1

C．三质点的周期之比TA∶TB∶TC＝2∶2∶1

D．三质点的转速之比nA∶nB∶nC＝2∶2∶1

答案　ABD

解析　同一转轴的点角速度相等，同一皮带上的点线速度相等。由题可知ωA＝ωB，vB＝vC，由v＝ωR，T＝与n＝＝，可得ωA∶ωB∶ωC＝2∶2∶1，vA∶vB∶vC＝2∶1∶1，TA∶TB∶TC＝1∶1∶2，nA∶nB∶nC＝2∶2∶1，故A、B、D正确，C错误。

8．如图所示，半径为20 cm的轻质定滑轮固定在天花板上，轻绳一端系一质量m＝2 kg的物体，另一端跨过定滑轮并施一恒定的竖直向下的拉力F＝25 N，已知A为滑轮边缘上的点，B到滑轮中心的距离等于滑轮半径的一半。设在整个运动过程中滑轮与轻绳没有相对滑动，不计一切阻力，那么(g取10 m/s2)(　　)

A．A、B均做匀速圆周运动

B．在F作用下，物体从静止开始运动，2 s末A点的线速度是2.5 m/s

C．在F作用下，物体从静止开始运动，2 s末B点的角速度是25 rad/s

D．在任何时刻，A点的角速度总是大于B点的角速度

答案　C

解析　对物体受力分析知F－mg＝ma，物体及轻绳以共同的加速度a＝2.5 m/s2做匀加速运动，轻绳和滑轮没有相对滑动，2 s末A点的线速度vA＝v绳＝at＝5 m/s，A、B同轴转动，故有相同的角速度，因为A、B两点的线速度在变化，所以不是做匀速圆周运动，A、B、D错误；根据v＝ωr可知2 s末B点的角速度ωB＝ωA＝＝ rad/s＝25 rad/s，故C正确。

9．如图所示为一自行车的局部结构示意图，设连接脚踏板的连杆长为L1，由脚踏板带动半径为r1的大轮盘(牙盘)，通过链条与半径为r2的小轮盘(飞轮)连接，小轮盘带动半径为R的后轮转动，使自行车在水平路面上匀速前进。

(1)自行车牙盘的半径一般要大于飞轮的半径，想想看，这是为什么？

(2)设L1＝18 cm，r1 ＝12 cm，r2 ＝6 cm，R＝30 cm，为了维持自行车以v＝3 m/s的速度在水平路面上匀速行驶，请你计算一下每分钟要踩脚踏板几圈。

答案　(1)见解析　(2)48圈

解析　(1)通过链条相连的牙盘和飞轮边缘的线速度相同，当牙盘的半径大于飞轮的半径时，由v＝ωr知，牙盘的角速度小于飞轮的角速度，即人踩脚踏板的角速度小于后轮的角速度，这样即使脚蹬得慢，自行车也能获得较快的速度。

(2)自行车行进的速度等于后轮边缘上某点绕转轴转动的线速度。设牙盘转动的角速度为ω1，自行车后轮转动的角速度，即飞轮的角速度为ω2，人踩脚踏板的转速为n，则ω2＝＝ rad/s＝10 rad/s，由ω2r2＝ω1r1，得ω1＝5 rad/s，n＝＝ r/s＝ r/min≈48 r/min，即每分钟要踩脚踏板48圈。

10. 如图所示，小球A在光滑的半径为R的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中a点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，求：

(1)B球抛出时的水平初速度；

(2)A球运动的线速度最小值；

(3)试确定A球做匀速圆周运动的周期的可能值。

答案　(1)R　

(2)2πR　

(3)(n＝1,2,3，…)

解析　(1)小球B做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，则R＝v0t①

在竖直方向上做自由落体运动，则h＝gt2②

由①②式得v0＝＝R。

(2)A球的线速度取最小值时，A球刚好转过一圈的同时，B球落到a点与A球相碰，则A球做圆周运动的周期正好等于B球的飞行时间，即T0＝，所以vA＝＝2πR。

(3)A、B球在a点相碰，则A球在平抛的B球的飞行时间t内又回到a点。即B球平抛运动的时间t等于A球周期T的整数倍，所以t＝＝nT，T＝，n＝1,2,3，…。