人教版 (2019)必修 第二册3 向心加速度导学案

第3节　向心加速度

1．匀速圆周运动的加速度方向

(1)向心加速度的定义：物体做匀速圆周运动时总指向圆心的加速度。

(2)向心加速度的方向：与向心力的方向相同，与线速度方向垂直。

2．匀速圆周运动的加速度大小

根据牛顿第二定律F＝ma和向心力表达式Fn＝m，可得出向心加速度的大小an＝或an＝ω2r。

典型考点一　　　向心加速度的理解

1．关于做匀速圆周运动物体的向心加速度方向，下列说法正确的是(　　)

A．与线速度方向始终相同

B．与线速度方向始终相反

C．始终指向圆心

D．始终保持不变

答案　C

解析　做匀速圆周运动的物体，它的向心加速度始终与线速度垂直且指向圆心，加速度的大小不变，方向时刻变化，所以C正确，A、B、D错误。

2．(多选)关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法正确的是(　　)

A．向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量

B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小

C．向心加速度恒定

D．向心加速度的方向时刻发生变化

答案　ABD

解析　向心加速度只改变线速度的方向，所以向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，故A正确；向心加速度的方向与线速度的方向始终垂直，所以向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，故B正确；向心加速度大小a＝，由于v的大小不变，故向心加速度的大小不变，但向心加速度的方向始终指向圆心，所以向心加速度方向时刻改变，故C错误，D正确。

典型考点二　　　向心加速度公式的理解和应用

3. (多选)如图所示是甲、乙两球做圆周运动的向心加速度随轨迹半径变化的关系图像，下列说法中正确的是(　　)

A．甲球线速度大小保持不变

B．乙球线速度大小保持不变

C．甲球角速度大小保持不变

D．乙球角速度大小保持不变

答案　AD

解析　从图像知，对甲：a与R成反比，由a＝知，当v一定时，a∝，故甲球线速度大小保持不变，A正确，C错误；对乙：a与R成正比，由a＝ω2R知，当ω一定时，a∝R，故乙球角速度大小保持不变，B错误，D正确。

4．(多选)小球做匀速圆周运动，轨迹半径为R，向心加速度为a，下列说法正确的是(　　)

A．小球的角速度ω＝

B．t时间内小球通过的路程s＝t

C．小球运动的周期T＝2π

D．t时间内小球转过的角度φ＝

答案　ABC

解析　小球做匀速圆周运动的向心加速度a＝ω2R，所以角速度ω＝，A正确；小球做匀速圆周运动的向心加速度a＝，所以线速度v＝，t时间内小球通过的路程s＝vt＝t，B正确；小球做匀速圆周运动的周期T＝，所以T＝2π，C正确；t时间内小球转过的角度φ＝ωt＝t，D错误。

5．一质点沿着竖直面内半径r＝1 m的圆周以n＝2 r/s的转速逆时针匀速转动，如图所示。试求：

(1)OA水平，从A点开始计时，经过 s的时间质点速度的变化；

(2)质点的向心加速度的大小。

答案　(1)4π m/s，方向与水平方向成45°角斜向左下方

(2)16π2 m/s2

解析　(1)角速度ω＝2πn＝4π rad/s，线速度v＝ωr＝4π m/s

经过 s质点转过的角度：

θ＝ωt＝

Δv的大小和方向如图所示，

由几何知识可得：Δv＝v＝4π m/s，方向与水平方向成45°角斜向左下方。

(2)由an＝ω2r可得：an＝ωv＝16π2 m/s2。

典型考点三　　　传动装置中的向心加速度分析

6. 如图，自行车的大齿轮A、小齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径RA＝2RB、RC＝5RB，正常骑行时，A、B、C三轮边缘的向心加速度的大小之比aA∶aB∶aC等于(　　)

A．1∶1∶6    B．3∶1∶6

C．1∶2∶10    D．1∶3∶6

答案　C

解析　A、B边缘的线速度大小相等，RA∶RB＝2∶1，根据a＝知，aA∶aB＝1∶2；B、C角速度大小相等，RB∶RC＝1∶5，根据a＝Rω2知，aB∶aC＝1∶5。所以aA∶aB∶aC＝1∶2∶10，C正确，A、B、D错误。

1．下列关于匀速圆周运动的性质的说法，正确的是(　　)

A．匀速圆周运动是匀速运动

B．匀速圆周运动是匀加速运动

C．匀速圆周运动是加速度不变的曲线运动

D．匀速圆周运动是变加速曲线运动

答案　D

解析　匀速圆周运动是变速运动，它的加速度大小不变，方向始终指向圆心，时刻发生变化，故匀速圆周运动是变加速曲线运动，A、B、C错误，D正确。

2．关于地球上的物体由于地球自转而具有的向心加速度，下列说法正确的是(　　)

A．方向都指向地心

B．两极处最小

C．赤道处最小

D．同一地点质量大的物体向心加速度也大

答案　B

解析　向心加速度指向做圆周运动的圆心，随地球自转的物体的向心加速度指向所在纬线的圆的圆心，轨道半径在赤道上最大，两极处最小，由a＝ω2r知，向心加速度在赤道处最大，两极处最小，与质量无关，B正确，A、C、D错误。

3．如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么(　　)

A．加速度为零

B．加速度恒定

C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心

D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心

答案　D

解析　木块做的是匀速圆周运动，加速度大小不变，但方向时刻指向圆心，加速度时刻改变，故A、B、C错误，D正确。

4．下列关于质点做匀速圆周运动的说法中，正确的是(　　)

A．由a＝知a与r成反比

B．由a＝ω2r知a与r成正比

C．由ω＝知ω与r成反比

D．由ω＝2πn知ω与转速n成正比

答案　D

解析　由a＝知，只有当v一定时，a才与r成反比，A错误；由a＝ω2r知，只有当ω一定时，a才与r成正比，B错误；由ω＝知，只有当v一定时，ω才与r成反比，C错误；而ω＝2πn中，2π是定值，ω与转速n成正比，D正确。

5．(多选)一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为r的匀速圆周运动，则关于老鹰的向心加速度的说法正确的是(　　)

A．大小为    B．大小为g－

C．方向在水平面内    D．方向在竖直面内

答案　AC

解析　根据an＝可知A正确；由于老鹰在水平面内运动，向心加速度始终指向圆心，所以向心加速度的方向在水平面内，C正确。

6．甲、乙都做匀速圆周运动，转动半径之比为3∶4，在相同的时间内甲转动60圈，乙转动45圈，则它们的向心加速度之比为(　　)

A．3∶4    B．4∶3 

C．4∶9    D．9∶16

答案　B

解析　根据ω＝2πn和a＝ω2r知，向心加速度之比＝＝2×＝，故B正确。

7．如图所示，A、B为啮合传动的两齿轮，rA＝2rB，则A、B两轮边缘上两点的(　　)

A．角速度之比为2∶1

B．向心加速度之比为1∶2

C．周期之比为1∶2

D．转速之比为2∶1

答案　B

解析　根据两轮边缘线速度大小相等，由v＝ωr，得角速度之比为ωA∶ωB＝rB∶rA＝1∶2，故A错误；由an＝，得向心加速度之比为aA∶aB＝rB∶rA＝1∶2，故B正确；由T＝，得周期之比为TA∶TB＝rA∶rB＝2∶1，故C错误；由n＝，得转速之比为nA∶nB＝ωA∶ωB＝1∶2，故D错误。

8．如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点和轮4边缘的c点相比(　　)

A．线速度之比为1∶4

B．角速度之比为4∶1

C．向心加速度之比为8∶1

D．向心加速度之比为1∶8

答案　D

解析　由题意知2va＝2v3＝v2＝vc，其中v2、v3为轮2和轮3边缘的线速度，所以va∶vc＝1∶2，故A错误；设轮4的半径为r，则aa＝＝＝＝ac，即aa∶ac＝1∶8，故C错误，D正确；＝＝，故B错误。

9．运用纳米技术能够制造出超微电机，英国的一家超微研究所宣称其制造的超微电机转子的半径只有30 μm，转速高达2000 r/min，试估算位于转子边缘的一个质量为10×10－26 kg的原子的向心加速度大小。(保留两位有效数字)

答案　1.3 m/s2

解析　周期T＝＝ s＝0.03 s，原子的角速度ω＝＝ rad/s，原子的向心加速度a＝ω2r＝2×30×10－6 m/s2≈1.3 m/s2。

10．为了使航天员适应飞行要求，在如图所示的仪器中对航天员进行训练，航天员坐在一个在竖直平面内做匀速圆周运动的舱内，若要使航天员的向心加速度为an＝6g，则角速度需为多少？(R＝20 m，g取10 m/s2)

答案　 rad/s

解析　由向心加速度公式an＝ω2R得

ω＝＝  rad/s＝ rad/s。