物理必修 第二册4 生活中的圆周运动学案

这是一份物理必修 第二册4 生活中的圆周运动学案，共17页。

(1)火车在弯道上的运动特点
火车转弯时做圆周运动，具有eq \(□,\s\up3(01))向心加速度，由于其质量太大，因此需要很大的eq \(□,\s\up3(02))向心力。
(2)铁路弯道内外轨一样高的缺点
如果铁路弯道内外轨一样高，火车转弯时eq \(□,\s\up3(03))外轨对轮缘的弹力是向心力的主要来源，会使轮缘与外轨间的相互作用力过大，不仅铁轨和车轮极易受损，还可能使火车侧翻。
(3)铁路弯道的特点
①弯道处eq \(□,\s\up3(04))外轨略高于eq \(□,\s\up3(05))内轨。
②火车转弯时铁轨对火车的支持力不再是竖直的，而是斜向弯道的eq \(□,\s\up3(06))内侧，它与重力的合力指向eq \(□,\s\up3(07))圆心，为火车转弯提供一部分向心力。
③火车以规定速度行驶时，转弯时所需的向心力几乎完全由eq \(□,\s\up3(08))重力和支持力的合力来提供。
2．汽车过拱形桥
3．航天器中的失重现象
(1)向心力分析
航天员受到的地球引力与飞船座舱对他的支持力的合力为他提供了绕地球做匀速圆周运动所需的向心力，即eq \(□,\s\up3(15))mg－FN＝meq \f(v2,R)，故FN＝eq \(□,\s\up3(16))meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(g－\f(v2,R)))。
(2)完全失重状态
当v＝eq \(□,\s\up3(17))eq \r(gR)时，座舱对航天员的支持力FN＝0，航天员处于eq \(□,\s\up3(18))完全失重状态。
(3)对失重现象的认识
航天器内的任何物体都处于eq \(□,\s\up3(19))完全失重状态，但并不是物体摆脱了地球引力。正是由于地球引力的存在，才使航天器连同其中的乘员有可能做环绕地球的eq \(□,\s\up3(20))圆周运动。
4．离心运动
(1)定义：做圆周运动的物体沿切线方向飞出或做逐渐eq \(□,\s\up3(21))远离圆心的运动。
(2)原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需的eq \(□,\s\up3(22))向心力。
典型考点一 火车转弯问题
1．铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，如图所示，已知内外轨道所在平面对水平面倾角为θ，弯道处的圆弧半径为R，在转弯时的速度为下列情况时，说法正确的是( )
A．v＝eq \r(gRtanθ)，火车在转弯时不挤压轨道
B．v>eq \r(gRtanθ)，火车在转弯时挤压内轨道
C．vD．无论速度为多少，火车都将挤压内轨道
答案 A
解析 火车以某一速度v0通过弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，火车所受的重力和支持力的合力提供向心力，Fn＝F合＝mgtanθ，故有：mgtanθ＝meq \f(v\\al(2,0),R)，解得v0＝eq \r(gRtanθ)，即当v＝eq \r(gRtanθ)时，火车在转弯时不挤压轨道，当v＞eq \r(gRtanθ)时，重力和支持力的合力不足以提供火车转弯所需的向心力，则火车在转弯时会挤压外轨，当v＜eq \r(gRtanθ)时，重力和支持力的合力大于火车转弯所需的向心力，则火车在转弯时会挤压内轨，故A正确，B、C、D错误。
2．有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。(g取10 m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。
答案 (1)1×105 N (2)0.1
解析 (1)v＝72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有：
FN＝meq \f(v2,r)＝105×eq \f(202,400) N＝1×105 N
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小FN′＝1×105 N。
(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，
则mgtanθ＝meq \f(v2,r)。
由此可得tanθ＝eq \f(v2,rg)＝eq \f(202,400×10)＝0.1。
典型考点二 汽车过拱形桥问题
3．如图所示，汽车车厢顶部悬挂一根轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m的小球。当汽车以某一速率在水平面上匀速行驶时弹簧的长度为L1，当汽车以同一速率匀速通过一个桥面为圆弧形的凸桥最高点时，弹簧长度为L2，则下列选项中正确的是( )
A．L1＝L2 B．L1>L2
C．L1答案 B
解析 当汽车在水平面上做匀速直线运动时，设弹簧原长为L0，劲度系数为k，根据平衡条件可得：
mg＝k(L1－L0)，
解得：L1＝eq \f(mg,k)＋L0①
当汽车以同一速率匀速通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，由牛顿第二定律得：mg－k(L2－L0)＝meq \f(v2,R)，
解得：L2＝eq \f(mg,k)＋L0－eq \f(mv2,kR)②
①②两式比较可得：L1＞L2，故A、C、D错误，B正确。
4．一辆质量m＝2.0 t的小汽车驶过半径R＝90 m的一段圆弧形桥面，重力加速度g取10 m/s2。
(1)若桥面为凹形，则汽车以20 m/s的速度通过桥面最低点时对桥面的压力是多大？
(2)若桥面为凸形，则汽车以10 m/s的速度通过桥面最高点时对桥面的压力是多大？
(3)汽车以多大的速度通过凸形桥面最高点时对桥面刚好没有压力？
答案 (1)2.89×104 N (2)1.78×104 N (3)30 m/s
解析 (1)若桥面为凹形，汽车通过凹形桥面最低点时，在水平方向受到牵引力F1和阻力f1，在竖直方向受到桥面向上的支持力FN1和向下的重力G＝mg，如图甲所示。
圆形轨道的圆心在汽车上方，支持力FN1与重力G的合力为FN1－mg，这个合力就是汽车通过桥面最低点时的向心力，
即Fn1＝FN1－mg，
由向心力公式有FN1－mg＝eq \f(mv\\al(2,1),R)，
解得FN1≈2.89×104 N。
根据牛顿第三定律可知，
汽车对桥面的压力为FN1′＝2.89×104 N。
(2)若桥面为凸形，汽车通过凸形桥面最高点时，在水平方向受到牵引力F2和阻力f2，在竖直方向受到桥面向上的支持力FN2和向下的重力G＝mg，如图乙所示。
圆形轨道的圆心在汽车下方，支持力FN2与重力G的合力为mg－FN2，这个合力就是汽车通过桥面最高点时的向心力，
即Fn2＝mg－FN2，
由向心力公式有mg－FN2＝eq \f(mv\\al(2,2),R)，
解得FN2≈1.78×104 N。
根据牛顿第三定律可知，
汽车对桥面的压力为FN2′＝1.78×104 N。
(3)当汽车通过凸形桥面最高点对桥面刚好没有压力时，汽车所需的向心力全部由重力提供，即此时有mg＝eq \f(mv\\al(2,0),R)，
所以此时的速度为v0＝eq \r(Rg)＝30 m/s。
5．如图所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20 m。如果桥面承受的压力不得超过3.0×105 N，则：
(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以允许的最大速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s2)
答案 (1)10 m/s (2)105 N
解析 (1)汽车在凹形桥底部时对桥面压力最大，
由牛顿第二定律得：FN－mg＝meq \f(v2,R)，
代入数据解得v＝10 m/s。
(2)汽车在凸形桥顶部时对桥面压力最小，
由牛顿第二定律得：mg－FN′＝meq \f(v2,R)，
代入数据得FN′＝105 N。
由牛顿第三定律知汽车对桥面的最小压力是105 N。
典型考点三 航天器中的失重现象
6．(多选)2013年6月11日至26日，“神舟十号”飞船圆满完成了太空之行，期间还成功进行了人类历史上第二次太空授课，女航天员王亚平做了大量失重状态下的精美物理实验。关于失重状态，下列说法正确的是( )
A．航天员仍受重力的作用
B．航天员受力平衡
C．航天员所受重力等于所需的向心力
D．航天员不受重力的作用
答案 AC
解析 做匀速圆周运动的空间站中的航天员，所受重力全部提供其做圆周运动的向心力，处于完全失重状态，并非航天员不受重力作用，A、C正确，B、D错误。
典型考点四 离心运动
7．(多选)如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法中正确的是( )
A．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动
C．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做近心运动
答案 BC
解析 若拉力突然变大，则小球将沿轨迹Pc做近心运动，不会沿轨迹Pb做离心运动，A错误；若拉力突然变小，则小球将做离心运动，但由于力与速度有一定的夹角，故小球将做曲线运动，B正确，D错误；若拉力突然消失，则小球将沿着P点处的切线运动，C正确。
8．(多选)如图所示，洗衣机的脱水桶采用带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中正确的是( )
A．脱水过程中，衣物是紧贴桶壁的
B．水会从桶中甩出是因为水滴受到的向心力很大的缘故
C．加快脱水桶转动的角速度，脱水效果会更好
D．靠近中心的衣物的脱水效果不如周边的衣物的脱水效果好
答案 ACD
解析 脱水过程中，衣物做离心运动而甩向桶壁，所以衣物是紧贴桶壁的，A正确；水滴依附的附着力是一定的，当水滴因做圆周运动所需的向心力大于该附着力时，水滴被甩掉，B错误；由Fn＝mω2R，ω增大会使所需向心力Fn增大，直到水滴的附着力不足以提供所需的向心力，水滴就会被甩出去，因此增大ω，会使更多水滴被甩出去，C正确；靠近中心的衣服，做圆周运动的半径比较小，当角速度ω相同时所需的向心力小，因此脱水效果差，D正确。
1．(多选)在铁路转弯处，往往使外轨略高于内轨，这是为了( )
A．增加火车轮子对外轨的挤压
B．增加火车轮子对内轨的挤压
C．使火车车身倾斜，利用重力和支持力的合力提供转弯所需的向心力
D．限制火车向外脱轨
答案 CD
解析 火车轨道外高内低，火车转弯时，轨道的支持力与火车的重力的合力指向弧形轨道的圆心，为火车转弯提供了(部分)向心力，减轻了轮缘与外轨的挤压，同时在一定程度上限制了火车转弯时发生离心运动，即限制火车向外脱轨，故A、B错误，C、D正确。
2．在水平路面上转弯的汽车，提供向心力的是( )
A．重力和支持力的合力
B．静摩擦力
C．滑动摩擦力
D．重力、支持力和牵引力的合力
答案 B
解析 汽车在水平路面上转弯时，由路面对汽车的静摩擦力提供汽车转弯所需的向心力，B正确。
3．如图所示，在盛满水的试管中装有一个小蜡块，小蜡块所受浮力略大于重力，当用手握住A端让试管在竖直平面内左右快速摆动时，关于蜡块的运动，以下说法正确的是( )
A．与试管保持相对静止
B．向B端运动，可以到达B端
C．向A端运动，可以到达A端
D．无法确定
答案 C
解析 试管快速摆动，试管中的水和浸在水中的蜡块都有做离心运动的趋势(尽管试管不是做完整的圆周运动，且运动的方向也不断变化，但并不影响问题的实质)，但因为蜡块的密度小于水的密度，蜡块被水挤压向A端运动。只要摆动速度足够大且时间足够长，蜡块就能一直运动到手握的A端，故C正确。
4．铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于eq \r(gRtanθ)，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于eq \f(mg,csθ)
D．这时铁轨对火车的支持力大于eq \f(mg,csθ)
答案 C
解析 由牛顿第二定律F合＝meq \f(v2,R)，解得F合＝mgtanθ，此时火车只受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，FNcsθ＝mg，则FN＝eq \f(mg,csθ)，内、外轨道对火车均无侧压力，故C正确，A、B、D错误。
5．一汽车通过拱形桥顶点时速度为10 m/s，车对桥顶的压力为车重的eq \f(3,4)，如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速至少为( )
A．15 m/s B．20 m/s
C．25 m/s D．30 m/s
答案 B
解析 当FN＝eq \f(3,4)G时，因为G－FN＝meq \f(v2,r)，所以eq \f(1,4)G＝meq \f(v2,r)，当FN＝0时，G＝meq \f(v′2,r)，所以v′＝2v＝20 m/s，B正确。
6．以下情景描述不符合物理实际的是( )
A．火车轨道在弯道处设计成外轨高内轨低，以便火车成功地转弯
B．汽车通过拱形桥最高点时对桥的压力小于汽车重力，但汽车通过凹面时超重
C．在轨道上飞行的航天器中的物体处于“完全失重状态”，悬浮的液滴是平衡状态
D．离心趋势也是可以利用的，洗衣机脱水时利用离心运动把附着在衣物上的水份甩掉
答案 C
解析 火车轨道在弯道处设计成外轨高内轨低，以便火车成功地转弯，故A正确；汽车通过拱形桥最高点时：mg－FN＝meq \f(v2,r)，可得：FN＝mg－meq \f(v2,r)7．圆周运动在生活中处处可见，下列四幅图用圆周运动的知识解释正确的是( )
A．图1表示荡秋千，小孩在竖直平面内做圆周运动，由小孩的重力和秋千作用力的合力提供向心力
B．图2表示一列拐弯的火车，火车拐弯时速度越小，则铁路路基磨损就越小
C．图3表示杂技演员骑着摩托车在光滑的圆锥形筒内壁上做水平面内的圆周运动，则演员在不同高度处所受向心力大小相等
D．图4表示在室内自行车比赛中，自行车在赛道上做匀速圆周运动，将运动员和自行车看作一个整体，则该整体受四个力作用
答案 C
解析 在小孩荡秋千的过程中，小孩的重力和秋千作用力的合力沿绳子方向的分力提供向心力，故A错误；火车转弯时，如果速度v＝eq \r(gRtanθ)，是由重力与支持力的合力提供向心力，火车的速度小于该值时，火车拐弯时速度越小，则铁路路基磨损就越大，故B错误；在不同高度处，杂技演员和摩托车整体受重力和支持力，支持力方向与竖直方向夹角相同，竖直方向受力平衡，则支持力大小相等，则向心力等于支持力的水平分力，大小相等，故C正确；在室内自行车比赛中，自行车在赛道上做匀速圆周运动，将运动员和自行车看作一个整体，受重力、支持力以及摩擦力三个力作用，故D错误。
8．如图所示，质量为m的小汽车驶上半径为R的拱桥的过程，说法正确的是( )
A．若汽车到桥顶的压力为eq \f(mg,2)，汽车的速度大小为eq \f(\r(gR),2)
B．若拱桥的半径一定，汽车行驶到桥顶的速度越大越安全
C．在汽车到桥顶的速度相同的情况下，拱桥的半径越大，汽车越安全
D．若拱桥的半径增大到与地球半径相同，汽车速度多大都不可能腾空飞起来
答案 C
解析 汽车到桥顶的压力为eq \f(mg,2)时，汽车所受合力为eq \f(mg,2)，根据合力提供向心力有eq \f(mg,2)＝meq \f(v2,R)，汽车的速度：v＝ eq \r(\f(gR,2))，故A错误；当汽车在桥顶的速度大于eq \r(gR)，汽车将做离心运动而离开桥面发生危险，故汽车在桥顶的速度不是越大越安全，故B错误；汽车离开桥顶做离心运动的临界条件是速度大于eq \r(gR)，可知半径越大时，临界速度越大，故汽车在行驶速度相同的情况下，半径越大汽车离临界速度越远，汽车行驶越安全，故C正确；汽车做离心运动离开桥顶时的临界速度为eq \r(gR)，当R为地球半径R地时，汽车速度达到eq \r(gR地)就能腾空飞起来，故D错误。
9．如图所示，在室内自行车比赛中，运动员以速度v在倾角为θ的赛道上做匀速圆周运动。已知运动员的质量为m，做圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．将运动员和自行车看作一个整体，整体受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用
B．运动员受到的合力为meq \f(v2,R)，是一个恒力
C．若运动员加速，则可能沿斜面上滑
D．若运动员减速，则一定加速沿斜面下滑
答案 C
解析 向心力是按照效果命名的力，进行受力分析时，不能分析向心力，将运动员和自行车看作一个整体，受到重力、支持力、摩擦力作用，A错误；运动员骑自行车在倾斜赛道上做匀速圆周运动，合力提供向心力，大小为meq \f(v2,R)，方向指向圆心，时刻在改变，B错误；若运动员加速，有离心运动的趋势，可能沿斜面上滑，C正确；若运动员减速，有近心运动的趋势，可能沿斜面下滑或有向下运动的趋势，D错误。
10．铁路转弯的圆弧半径是300 m，轨距是1435 mm，规定火车通过这里的速度是72 km/h，内外轨的高度差该是多大时才能使铁轨不受轮缘的挤压？(g取9.8 m/s2)
答案 0.195 m
解析 铁轨不受轮缘挤压时，火车在转弯时所需的向心力由火车所受的重力和轨道对火车的支持力的合力提供，如图所示，图中h为内外轨的高度差，d为轨距。
由F＝mgtanα＝meq \f(v2,r)，得tanα＝eq \f(v2,gr)
由于轨道平面与水平面间的夹角α一般很小，可以近似地认为tanα≈sinα＝eq \f(h,d)，代入上式得eq \f(h,d)＝eq \f(v2,rg)，
所以内外轨的高度差为h＝eq \f(v2d,rg)＝eq \f(202×1.435,300×9.8) m≈0.195 m。
11．一辆质量为4 t的汽车驶过一半径为50 m的凸形桥面时，始终保持5 m/s的速率，汽车所受的阻力为车与桥面压力的0.05倍，通过桥的最高点时汽车的牵引力是多大？(g取10 m/s2)
答案 1900 N
解析 对汽车在拱桥的最高点受力分析如图所示，由于车速不变，所以在运动方向上有F＝Ff，
汽车在桥的最高点时，车的重力和桥对车的支持力的合力提供汽车做圆周运动的向心力，方向竖直向下，
根据牛顿第二定律有mg－FN＝meq \f(v2,r)。
由题意知Ff＝kFN，
联立以上三式解得F＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(mg－m\f(v2,r)))＝0.05×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4×103×10－4×103×\f(52,50))) N＝1900 N。
12．有一种叫作“魔盘”的娱乐设施，如图所示。当“魔盘”转动得很慢时，盘上的人都可以随“魔盘”一起转动而不至于被甩开。当“魔盘”的转速增大时，盘上的人逐渐向边缘滑去，离转动中心越远的人，这种滑动的趋势越厉害。设“魔盘”转速为6 r/min，一个体重为30 kg的小孩坐在距离轴心1 m处(盘半径大于1 m)随“魔盘”一起匀速转动(没有滑动)。问：
(1)小孩需要的向心力是由什么提供的？这个向心力是多少？
(2)假设人与“魔盘”间的动摩擦因数μ＝0.2，要使离轴心1 m处的小孩不发生滑动，求“魔盘”转动的最大角速
度(取人与“魔盘”间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2)。(计算结果均保留三位有效数字)
答案 (1)静摩擦力 11.8 N (2)1.41 rad/s
解析 (1)小孩随“魔盘”一起做圆周运动时，小孩受到重力、支持力和静摩擦力作用，小孩做圆周运动所需的向心力是由小孩与“魔盘”之间的静摩擦力提供的。
“魔盘”转动时的角速度为ω＝2πn＝0.2π rad/s，
由牛顿第二定律可得向心力Fn＝mrω2≈11.8 N。
(2)小孩受到的最大静摩擦力为fmax＝μmg①
由牛顿第二定律可得fmax＝mrωeq \\al(2,max)②
联立可得ωmax＝eq \r(2) rad/s≈1.41 rad/s。
13．在公路转弯处，常采用外高内低的斜面式弯道，这样可以使车辆经过弯道时不必大幅减速，从而提高通行能力且节约燃料。若某处有这样的弯道，其半径为r＝100 m，路面倾角为θ，且tanθ＝0.4，取g＝10 m/s2。
(1)求汽车的最佳通过速度，即不出现侧向摩擦力时的速度；
(2)若弯道处侧向动摩擦因数μ＝0.5，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求汽车的最大速度。
答案 (1)20 m/s (2)15eq \r(5) m/s
解析 (1)如图甲所示，当汽车通过弯道时，做水平面内的圆周运动，不出现侧向摩擦力时，汽车受到重力G和路面的支持力N′两个力作用，两力的合力提供汽车做圆周运动的向心力。
则有mgtanθ＝meq \f(v\\al(2,0),r)
所以v0＝eq \r(grtanθ)＝eq \r(10×100×0.4) m/s＝20 m/s。
(2)当汽车以最大速度通过弯道时的受力分析如图乙所示，将支持力N和摩擦力f进行正交分解，有
N1＝Ncsθ，N2＝Nsinθ，f1＝fsinθ，f2＝fcsθ
所以有G＋f1＝N1，N2＋f2＝F向，且f＝μN，
由以上各式可解得向心力为
F向＝eq \f(sinθ＋μcsθ,csθ－μsinθ) mg＝eq \f(tanθ＋μ,1－μtanθ) mg
根据F向＝meq \f(v2,r)可得
v＝ eq \r(\f(tanθ＋μ,1－μtanθ) gr)＝ eq \r(\f(0.4＋0.5,1－0.5×0.4)×10×100) m/s
＝15eq \r(5) m/s。