2021-2022学年贵州省遵义市高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年贵州省遵义市高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 若复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若直线过点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知直线过椭圆的两个顶点，则椭圆的标准方程为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 命题“，”的否定是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6. 已知，，则“”是“曲线为双曲线”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

7. 函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是

A. 函数在，上单调递增
B. 函数在，上单调递减
C. 函数存在两个极值点
D. 函数有最小值，但是无最大值

8. 函数的大致图象是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，某三角形直观图是面积的等边三角形，则原三角形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 若直线：始终平分圆：的周长，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，某加工厂要在一圆柱体材料中打磨出一个直三棱柱模具，已知该圆柱底面圆面积为，高为，则能截得直三棱柱体积最大为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 椭圆：左、右焦点分别为，，为上除左右端点外一点，若，，则椭圆的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 直线与直线的距离为______．
14. 曲线在处的切线方程为          ．
15. 过点且与双曲线：的渐近线垂直的直线方程为______．
16. 已知过原点的直线与曲线和各有一个公共点，则的取值范围为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 为了解尿酸单位：过高人群与血糖浓度单位：关系，通过对名志愿者体检数据两种数据均在空腹状态下测量进行统计，得下表：
    正常空腹血糖浓度范围；
    正常空腹尿素酸范围：

根据所给数据，完成下面的列联表：

根据中的列联表，判断是否有的把握认为尿酸高与血糖高有关？
附：

18. 在平面直角坐标系中，光线过点，经轴反射后与圆：有交点．
    当反射后光线经过圆心，求光线的方程；
    当反射后光线与圆相切，求光线的方程．
19. 椭圆：左、右焦点为，，离心率为，点在椭圆上．
    求椭圆的标准方程；
    经过点，倾斜角为直线与椭圆交于，两点，求．
20. 如图，菱形中，，，为上一点，满足，将菱形沿对折，形成四面体，满足．
    
    设折叠前的面积为，折叠后的面积为，求的值；
    求三棱锥的体积．
21. 已知函数．
    当，讨论函数的单调性；
    若恒成立，求的取值范围．
22. 抛物线焦点为，过斜率为的直线交抛物线于，两点，且．
    求抛物线的标准方程；
    过直线上一点作抛物线两条切线，切点为，，猜想直线与直线位置关系，并证明猜想．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：直线过点，
，，
故选：．
把点的坐标代入直线的方程，可得结论．
本题主要考查直线经过某个点，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：在空间直角坐标系中，
与点关于平面对称的点为．
故选：．
在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为．
本题考查在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点的坐标等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的标准方程的求法，考查计算能力，是基础题．
求出椭圆的顶点坐标，求得，，然后可得椭圆的标准方程．

【解答】

解：直线过椭圆的两个顶点，
可得，，所以椭圆的标准方程为：椭圆．
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：“，”的否定是，．
故选：．
存在该为任意，再将结论否定，即可求解．
本题主要考查命题的否定，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：当时，若，则，此时曲线等价为，表示焦点在轴上的双曲线，
若，则，此时曲线等价为，表示焦点在轴上的双曲线，此时充分性成立，
若曲线为双曲线，则曲线等价为，则满足，即，即必要性成立，
综上“”是“曲线为双曲线”的充要条件，
故选：．
根据双曲线的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据双曲线方程的性质是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图像可知在，上，，单调递减，
在，上，，单调递增，故A、B正确；
在，处函数取得极小值，
在处函数取得极大值，故C错误；
函数的最小值为和中的最小值，
因为时，函数，
所以函数无最大值，故D正确，
故选：．
由导函数的图像，分析原函数的单调性，最值，极值，即可得出答案．
本题考查原函数与导函数的关系，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，则为偶函数，其图象关于轴对称，排除选项BC；
又，故排除选项A．
故选：．
判断函数的奇偶性可排除选项BC；由可排除选项A，由此可得答案．
本题根据函数性质判断函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：设三角形的面积为，其斜二测直观图的面积为，则根据斜二测直观图的画法有，
，
，
故选：．
根据斜二测直观图的面积与原图形面积之间的关系直接求解．
本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：圆的圆心为，由题意可知，直线过圆心，则，
因为，则且，
因此，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为．
故选：．
分析可知直线过圆心，则，且有且，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值．
本题考查了直线与圆的位置关系以及基本不等式的应用，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可得，底面半径为，
直三棱柱是各侧面高相等，底面是三角形，上表面和下表面平行且全等，
所有侧棱平行且垂直于两底面的棱柱，
故要底面圆的内接三角形面积最大，





，
当且仅当时，取“”，
，
故选：．
由题意，要底面圆的内接三角形面积最大，再利用均值不等式求最值，再求三棱柱的体积即可．
本题考查棱柱的体积，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，则，，，
可得，，化简消去可得：，
整理可得：，解得，
，
解得．
故选：．
利用椭圆的定义，结合余弦定理，转化求解离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：直线与直线互相平行，
它们之间的距离为，
故答案为：．
由题意，利用查两条平行直线间的距离公式，计算求得结果．
本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查切线方程，解题的关键是求出切点处切线的斜率，属于基础题．
求导数，确定处的切线的斜率，即可求得切线方程．

【解答】

解：求导数可得，
时，
又
曲线在处的切线方程为，即．
故答案为：．

15.【答案】或 

【解析】解：双曲线：的渐近线为：，
与双曲线的渐近线垂直的直线的斜率为：，
过点直线的方程为，即或．
故答案为：或．
求出双曲线的渐近线方程，得到所求直线的斜率，利用点斜式，即可求出直线的一般式方程．
本题考查双曲线的方程和性质，考查直线的一般式方程的求法，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意可以作出函数和如下：

将直线绕原点旋转可以观察得出过原点的直线与曲线和各有一个公共点需的取值范围为，
故答案为：．
作出函数和的图像，再将直线绕原点旋转观察即可得出．
本题考查了指数函数、对数函数的图像，直线的斜率，是基础题．
 

17.【答案】解：根据表中数据，可得列联表如下：

，
没有的把握认为尿酸高与血糖高有关． 

【解析】根据表中数据，可得列联表．
根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，属于基础题．
 

18.【答案】解：点关于轴对称的点为，
由光线的折射性质，反射光线经过圆心，所以，
易知，所以
所以光线的方程为；
设经过的直线方程为由于折射光线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，
化简得：，
解得或，
所光线的方程为或． 

【解析】求出点关于轴对称的点为，由光线的折射性质，反射光线经过圆心，由，代入可求出光线的斜率，即可求出光线的方程；
设反射光线方程为，由反射后光线与圆相切可求出，即可求出光线的方程．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．
 

19.【答案】由题意得，解得，
所以椭圆的方程为：；
又因为点在椭圆上，
可得，解得，，
所以椭圆的标准方程为：；
过点，倾斜角为直线的方程为：，即，
设，，
联立椭圆的方程，整理可得，
可得，，
代入直线的方程可得，，
即，，
所以弦长． 

【解析】由离心率的值及过点的坐标和，，之间的关系，可得，的值，进而求出椭圆的方程；
由题意可得直线的方程，与椭圆的方程联立，求出，的坐标，进而求出弦长的值．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：菱形中，，，
，
，
又将菱形沿对折，形成四面体，满足，
四面体为正四面体，
又，，又，
在中由余弦定理可得
，
同理可得，又，
等腰的底边边上的高为，
折叠后的面积，
；
如图，过作底面，垂足点为，则为正三角形的中心，
由正弦定理可得，，又，
，又，
，
故三棱锥的体积为． 

【解析】将折叠前的的面积转化为的面积计算即可得，折叠后，先由余弦定理计算，再计算折叠后的面积，从而得的值；
将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积的四分之三即可求解．
本题考查化归转化思想，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属中档题．
 

21.【答案】解：代入，得到．
则的导函数为：．
令，解得．
故当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
综上，函数在上单调递减，在单调递增．
因为函数，即等价于．
整理得到．
令，则导函数．
再令，解得．
故当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
所以函数
故． 

【解析】代入，再对求导讨论单调性即可．
把恒成立问题转化成函数最值问题，再求函数的最值，即可求出的取值范围．
本题主要考查利用导函数判断函数的单调性，属于中档题．
 

22.【答案】解：设直线的方程为，与抛物线交于，
联立抛物线方程，．
所以，
所以．
又由抛物线的定义知．
即，所以抛物线的方程为．
直线与直线垂直，理由如下：
由得，，
设，
所以直线方程为：，
又因为点在抛物线上，联立，
得到直线方程为，
同理可得方程为：，由两点可以瑞定一条直线，，经过点，
所以所在直线方程为：，
当时，显然成立，
当时，直线斜率，直线所在斜率，
账，
综上，直线与直线垂直． 

【解析】设直线的方程为，与抛物线较于，，将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系得，再结合抛物线的定义可求出，从而可得抛物的方程．
根据导数的几何意义求出切线，的方程，从而可得直线的方程，再求出直线的斜率，比较两直线斜率的关系可得结论．
该题考查了直线与抛物线的综合，较为考查计算能力，属于中档题．