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华师大版九年级上册1. 相似三角形练习题
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这是一份华师大版九年级上册1. 相似三角形练习题，文件包含第11讲相似三角形九年级数学精品课程华师大版解析版doc、第11讲相似三角形九年级数学精品课程华师大版原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
第11讲 相似三角形
【学习目标】
1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；
2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.
【基础知识】
考点一、相似三角形的应用
1.测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
考点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
2.测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
考点诠释：
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
考点二、相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
考点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
3. 相似三角形周长的比等于相似比.
∽，则
由比例性质可得：
4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
∽，则分别作出与的高和，则
考点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
【考点剖析】
考点一：相似三角形的性质
例1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
【思路】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到=，==，结合图形得到=，得到答案．
【答案】B．
【解析】
解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，
∴=，
∵DE∥AC，
∴==，
∴=，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，
故选：B．
【总结】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
举一反三
【变式】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4 B． 9：16 C． 9：1 D． 3：1
【答案】B．
提示：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=1=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故选：B．
例2.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.
【思路】相似三角形对应的高，中线，角分线对应成比例.
【答案】∵ 四边形EFGH是矩形，∴ EH∥BC，
∴ △AEH∽△ABC.
∵ AD⊥BC，
∴ AD⊥EH，MD=EF.
∵ 矩形两邻边之比为1：2，
设EF=xcm，则EH=2xcm.
由相似三角形对应高的比等于相似比，得，
∴ ，
∴ ，
∴.
∴ EF=6cm，EH=12cm..
∴.
【总结】解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高.
举一反三：
【变式】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.
【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.
∴ △ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2
且，，
∴，
∴.
考点二：相似三角形的应用
例3．如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？
【答案】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？
∵AB⊥BC，CD⊥BC,
∴∠ABO=∠DCO=90°.
又 ∵ ∠AOB=∠DOC,
∴△AOB∽△DOC.
∴.
∵BO=50m，CO=10m，CD=17m,
∴AB=85m.
即河宽为85m．
【总结】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.
例4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．
(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?
(2)求古塔的高度．
【思路】本题考查的是相似三角形的实际应用，要注意的是小明和古塔都与地面垂直，是平行的.
【答案】(1)△ABC∽△ADE．
∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°.
∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE .
(2)由(1)得△ABC∽△ADE,
∴.
∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，
∴.
∴DE=16m,
即古塔的高度为16m.
【总结】解决相似三角形的实际应用题的关键是题中相似三角形的确定.
举一反三
【变式】小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？
【答案】
如图，∵AB=1.8米，AP=2米，PC=7米，作PQ⊥AC,
根据物理学原理知∠BPQ=∠QPD,则∠APB=∠CPD，
∠BAP=∠DCP=90°，
∴ △ABP∽△CDP,
∴,
即,
∴DC=6.3米.
即球能碰到墙上离地6.3米高的地方.
【真题演练】
1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】∵S△BDE：S△CDE=1：3，∴BE：EC=1：3；∴BE：BC=1：4；
∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，
∴=，∴S△DOE：S△AOC==，
故选D．
2. 如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（ ）
A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2
【答案】D．
【解析】∵两个相似三角形的面积比是1：4，
∴两个相似三角形的相似比是1：2，
∴两个相似三角形的周长比是1：2.
3．某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9∶4，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（ ）．
A．24米 B．54米 C．24米或54米 D．36米或54米
【答案】C.
4. 图为△ABC与△DEC重叠的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB// DE.若△ABC与△DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=( ).
A．3 B．7 C．12 D．15
【答案】B.
5．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ）.
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
【答案】B.
【解析】提示：入射角等于反射角，所以△ABP∽△CDP．
6. 要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（ ）倍.
A.2 B.4 C.2 D.64
【答案】C．
【解析】提示：面积比等于相似比的平方．
二、填空题
7. 如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD＝2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD＝20m，FD＝4m，EF＝1.8m，则树AB的高度为______m．
【答案】3.
8. 已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为25，则较大三角形的面积为______.
【答案】45cm2.
9．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为 m．
【答案】12．
10.如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为 ．
【答案】1：4．
【解析】∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE=BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=（）2=.
11.如图，在平行四边形ABCD中，点E为CD上一点，DE:CE=2:3，连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F，则________________.
【答案】4:10:25
【解析】∵ 平行四边形ABCD，∴△DEF∽△BAF,∴∵DE:EC=2:3,∴DE:DC=2:5,即DE:AB=2:5，∴∵△DEF与△BEF是同高的三角形，∴
12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，那么边长应缩小到原来的________倍.
【答案】.
三、解答题
13. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得树高是多少？
【解析】作CE∥DA交AB于E，设树高是xm，
∵ 长为1m的竹竿影长0.9m
∴
即 x＝4.2m
14.小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）．
【解析】解：如图，
∵根据反射定律知：∠FEB=∠FED，
∴∠BEA=∠DEC
∵∠BAE=∠DCE=90°
∴△BAE∽△DCE
∴；
∵CE=2.5米，DC=1.6米，
∴；
∴AB=12.8
答：大楼AB的高为12.8米．
15. 在正方形中，是上一动点，(与不重合)，使为直角，交正方形一边所在直线于点.
(1)找出与相似的三角形.
(2)当位于的中点时，与相似的三角形周长为，则的周长为多少？
【解析】(1)与△BPC相似的图形可以是图(1)，(2)两种情况：
△PDE∽△BCP，△PCE∽△BCP，△BPE∽△BCP．
(2)①如图(1)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与AD交于点E，
则
∵ △PDE∽△BCP
∴ △PDE与△BCP的周长比是1:2
∴ △BCP的周长是2a．
②如图(2)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点E时，
则，
∵ △PCE∽△BCP
∴ △PCE与△BCP的周长比是1:2
∴ △BCP的周长是2a．
③如图(2)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点E时，
∴
∵ △BPE∽△BCP
∴ △BPE与△BCP的周长比是:2，
∴ △BCP的周长是．
【过关检测】
一、选择题
1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）.
A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上，但有限 D．有无数个
【答案】B.
【解析】x可能是斜边，也可能是直角边.
2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（ ）
A．= B． = C． = D．=
【答案】C.
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BF，BE∥DC，AD=BC，
∴，，，
故选C．
3. 如图，已知D、E分别是的AB、 AC边上的点，且 那么等于（ ）.
A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2
【答案】B.
4．如图G是△ABC的重心，直线过A点与BC平行.若直线CG分别与AB、交于D、E两点，直线BG与AC交于 F点，则△AED的面积 ：四边形ADGF的面积=( ).
A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2
【答案】D.
5. 如图，将△ABC的高AD四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S1、S2、S3、S4，则S1︰S2︰S3︰S4等于（ ）.
A.1︰2︰3︰4 B.2︰3︰4︰5 C.1︰3︰5︰7 D.3︰5︰7︰9
【答案】C.
【解析】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方。由，
所以，又由，可得，下略．
6．如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则
S△DEF：S△EBF：S△ABF等于( ).
A.4：10：25 B.4：9：25 C.2：3：5 D.2：5：25
【答案】 A.
【解析】 □ABCD中，AB∥DC，△DEF∽△ABF，
(△DEF与△EBF等高，面积比等于对应底边的比)，所以答案选A.
二、填空题
7.将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于 ．
【答案】1：3.
【解析】∵∠ABC=90°，∠DCB=90°
∴AB∥CD，∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，
∴△AOB∽△COD；又∵AB：CD=BC：CD= 1：
∴△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．
8.如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ADC=∠ACB,若AC=2，AD=1，则DB=_________.
【答案】3.
【解析】 ∵∠ADC=∠ACB，∠DAC=∠BAC,∴△ACD∽△ABC,∴AB=
∴BD=AB-AD=4-1=3.
9.如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是
_______________.
【答案】120°.
【解析】∵ △BPM∽△PAN，∴ ∠BPM＝∠A，
∵ △PMN是等边三角形，∴ ∠A+∠APN＝60°，即∠APN+∠BPM＝60°，
∴ ∠APB＝∠BPM+∠MPN+∠APN＝60°+60°=120°．
10.如图，△ABC中，DE∥BC,BE,CD交于点F，且=3，则：=______________.
【答案】1:9 .
【解析】∵=3，∴FC:DF=3:1，又∵DE∥BC,∴△BFC∽△EFD,即BC：DE=FC:FD=3:1，
由△ADE∽△ABC，即：=1:9.
11. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是_________________.
【答案】30m.
12.如图，锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2，
则AC边上的高为______________.
【答案】 6.
【解析】∵AD,CE分别为BC,AB边上的高,
∴∠ADB=∠BEC=90°，∠ABD=∠EBC
∴Rt△ABD∽Rt△CBE.
∴，
∴△ABC∽△DBE.
∵相似三角形面积比为相似比的平方，
∴= 9, ∴=3 ,
∴AC=3DE=3×2=6.
∴h=2S△ABC/AC=2×18/6=6
即AC边上的高是6 .
三、解答题
13. 为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：
图（1）：测得竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米．
图（2）：测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）和图（2）中的树高各是多少？
【解析】（1）∵△CDE∽△ABE，∴，
又竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米，
∴ AB=1.92米．即图1的树高为1.92米．
（2）设墙上的影高落在地面上时的长度为x，树高为h，
∵竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，
∴.
解得x=1.5（m），
∴树的影长为：1.5+2.8=4.3（m），
∴
解得h=3.44（m）．
14.（1）阅读下列材料，补全证明过程：
已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连结DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．求证：点G是线段BC的一个三等分点．
证明：在矩形ABCD中，OE⊥BC，DC⊥BC，
∴ OE∥DC．∵ ＝，∴ ＝＝．∴ ＝．
……
（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．
【解析】（1）补全证明过程:
∵ FG⊥BC，DC⊥BC，
∴ FG∥DC．
∴ ＝＝．
∵ AB＝DC，
∴ ＝．
又 FG∥AB，
∴ ＝＝．
∴ 点G是BC的一个三等分点．
（2）如图，连结DG交AC于点H，作HI⊥BC于I，则点I是线段BC的一个四等分点.
15. 某车库出口处设置有“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点，当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图1所示（图2为其几何图形）．其中AB⊥BC，DC⊥BC，EF∥BC，∠EAB=150°，AB=AE=1.2m，BC=2.4m．
（1）求图2中点E到地面的高度（即EH的长．≈1.73，结果精确到0.01m，栏杆宽度忽略不计）；
（2）若一辆厢式货车的宽度和高度均为2m，这辆车能否驶入该车库？请说明理由．
【解析】解：（1）如图，作AM⊥EH于点M，交CD于点N，
则四边形ABHM和MHCN都是矩形，
∵∠EAB=150°，∴∠EAM=60°，
又∵AB=AE=1.2米，
∴EM=0.6≈0.6×1.73=1.038≈1.04（米），
∴EH≈2.24（米）；
（2）如图，在AE上取一点P，过点P分别作BC，CD的垂线，垂足分别是Q，R，PR交EH于点K，不妨设PQ=2米，
下面计算PR是否小于2米；
由上述条件可得EK=EH﹣PQ=0.24米，AM=0.6米，
∵PK∥AM，∴△EPK∽△EAM，
∴=，即=，
∴PK=0.08（米），
∴PR=PK+MN=PK+BC﹣AM=0.08+2.4﹣0.6
=1.8+0.08
≈1.94（米），
∵PR＜2米，∴这辆车不能驶入该车库．
第11讲 相似三角形
【学习目标】
1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；
2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.
【基础知识】
考点一、相似三角形的应用
1.测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
考点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
2.测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
考点诠释：
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
考点二、相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
考点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
3. 相似三角形周长的比等于相似比.
∽，则
由比例性质可得：
4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
∽，则分别作出与的高和，则
考点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
【考点剖析】
考点一：相似三角形的性质
例1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
【思路】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到=，==，结合图形得到=，得到答案．
【答案】B．
【解析】
解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，
∴=，
∵DE∥AC，
∴==，
∴=，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，
故选：B．
【总结】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
举一反三
【变式】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4 B． 9：16 C． 9：1 D． 3：1
【答案】B．
提示：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=1=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故选：B．
例2.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.
【思路】相似三角形对应的高，中线，角分线对应成比例.
【答案】∵ 四边形EFGH是矩形，∴ EH∥BC，
∴ △AEH∽△ABC.
∵ AD⊥BC，
∴ AD⊥EH，MD=EF.
∵ 矩形两邻边之比为1：2，
设EF=xcm，则EH=2xcm.
由相似三角形对应高的比等于相似比，得，
∴ ，
∴ ，
∴.
∴ EF=6cm，EH=12cm..
∴.
【总结】解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高.
举一反三：
【变式】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.
【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.
∴ △ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2
且，，
∴，
∴.
考点二：相似三角形的应用
例3．如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？
【答案】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？
∵AB⊥BC，CD⊥BC,
∴∠ABO=∠DCO=90°.
又 ∵ ∠AOB=∠DOC,
∴△AOB∽△DOC.
∴.
∵BO=50m，CO=10m，CD=17m,
∴AB=85m.
即河宽为85m．
【总结】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.
例4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．
(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?
(2)求古塔的高度．
【思路】本题考查的是相似三角形的实际应用，要注意的是小明和古塔都与地面垂直，是平行的.
【答案】(1)△ABC∽△ADE．
∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°.
∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE .
(2)由(1)得△ABC∽△ADE,
∴.
∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，
∴.
∴DE=16m,
即古塔的高度为16m.
【总结】解决相似三角形的实际应用题的关键是题中相似三角形的确定.
举一反三
【变式】小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？
【答案】
如图，∵AB=1.8米，AP=2米，PC=7米，作PQ⊥AC,
根据物理学原理知∠BPQ=∠QPD,则∠APB=∠CPD，
∠BAP=∠DCP=90°，
∴ △ABP∽△CDP,
∴,
即,
∴DC=6.3米.
即球能碰到墙上离地6.3米高的地方.
【真题演练】
1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】∵S△BDE：S△CDE=1：3，∴BE：EC=1：3；∴BE：BC=1：4；
∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，
∴=，∴S△DOE：S△AOC==，
故选D．
2. 如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（ ）
A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2
【答案】D．
【解析】∵两个相似三角形的面积比是1：4，
∴两个相似三角形的相似比是1：2，
∴两个相似三角形的周长比是1：2.
3．某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9∶4，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（ ）．
A．24米 B．54米 C．24米或54米 D．36米或54米
【答案】C.
4. 图为△ABC与△DEC重叠的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB// DE.若△ABC与△DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=( ).
A．3 B．7 C．12 D．15
【答案】B.
5．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ）.
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
【答案】B.
【解析】提示：入射角等于反射角，所以△ABP∽△CDP．
6. 要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（ ）倍.
A.2 B.4 C.2 D.64
【答案】C．
【解析】提示：面积比等于相似比的平方．
二、填空题
7. 如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD＝2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD＝20m，FD＝4m，EF＝1.8m，则树AB的高度为______m．
【答案】3.
8. 已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为25，则较大三角形的面积为______.
【答案】45cm2.
9．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为 m．
【答案】12．
10.如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为 ．
【答案】1：4．
【解析】∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE=BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=（）2=.
11.如图，在平行四边形ABCD中，点E为CD上一点，DE:CE=2:3，连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F，则________________.
【答案】4:10:25
【解析】∵ 平行四边形ABCD，∴△DEF∽△BAF,∴∵DE:EC=2:3,∴DE:DC=2:5,即DE:AB=2:5，∴∵△DEF与△BEF是同高的三角形，∴
12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，那么边长应缩小到原来的________倍.
【答案】.
三、解答题
13. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得树高是多少？
【解析】作CE∥DA交AB于E，设树高是xm，
∵ 长为1m的竹竿影长0.9m
∴
即 x＝4.2m
14.小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）．
【解析】解：如图，
∵根据反射定律知：∠FEB=∠FED，
∴∠BEA=∠DEC
∵∠BAE=∠DCE=90°
∴△BAE∽△DCE
∴；
∵CE=2.5米，DC=1.6米，
∴；
∴AB=12.8
答：大楼AB的高为12.8米．
15. 在正方形中，是上一动点，(与不重合)，使为直角，交正方形一边所在直线于点.
(1)找出与相似的三角形.
(2)当位于的中点时，与相似的三角形周长为，则的周长为多少？
【解析】(1)与△BPC相似的图形可以是图(1)，(2)两种情况：
△PDE∽△BCP，△PCE∽△BCP，△BPE∽△BCP．
(2)①如图(1)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与AD交于点E，
则
∵ △PDE∽△BCP
∴ △PDE与△BCP的周长比是1:2
∴ △BCP的周长是2a．
②如图(2)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点E时，
则，
∵ △PCE∽△BCP
∴ △PCE与△BCP的周长比是1:2
∴ △BCP的周长是2a．
③如图(2)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点E时，
∴
∵ △BPE∽△BCP
∴ △BPE与△BCP的周长比是:2，
∴ △BCP的周长是．
【过关检测】
一、选择题
1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）.
A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上，但有限 D．有无数个
【答案】B.
【解析】x可能是斜边，也可能是直角边.
2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（ ）
A．= B． = C． = D．=
【答案】C.
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BF，BE∥DC，AD=BC，
∴，，，
故选C．
3. 如图，已知D、E分别是的AB、 AC边上的点，且 那么等于（ ）.
A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2
【答案】B.
4．如图G是△ABC的重心，直线过A点与BC平行.若直线CG分别与AB、交于D、E两点，直线BG与AC交于 F点，则△AED的面积 ：四边形ADGF的面积=( ).
A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2
【答案】D.
5. 如图，将△ABC的高AD四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S1、S2、S3、S4，则S1︰S2︰S3︰S4等于（ ）.
A.1︰2︰3︰4 B.2︰3︰4︰5 C.1︰3︰5︰7 D.3︰5︰7︰9
【答案】C.
【解析】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方。由，
所以，又由，可得，下略．
6．如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则
S△DEF：S△EBF：S△ABF等于( ).
A.4：10：25 B.4：9：25 C.2：3：5 D.2：5：25
【答案】 A.
【解析】 □ABCD中，AB∥DC，△DEF∽△ABF，
(△DEF与△EBF等高，面积比等于对应底边的比)，所以答案选A.
二、填空题
7.将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于 ．
【答案】1：3.
【解析】∵∠ABC=90°，∠DCB=90°
∴AB∥CD，∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，
∴△AOB∽△COD；又∵AB：CD=BC：CD= 1：
∴△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．
8.如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ADC=∠ACB,若AC=2，AD=1，则DB=_________.
【答案】3.
【解析】 ∵∠ADC=∠ACB，∠DAC=∠BAC,∴△ACD∽△ABC,∴AB=
∴BD=AB-AD=4-1=3.
9.如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是
_______________.
【答案】120°.
【解析】∵ △BPM∽△PAN，∴ ∠BPM＝∠A，
∵ △PMN是等边三角形，∴ ∠A+∠APN＝60°，即∠APN+∠BPM＝60°，
∴ ∠APB＝∠BPM+∠MPN+∠APN＝60°+60°=120°．
10.如图，△ABC中，DE∥BC,BE,CD交于点F，且=3，则：=______________.
【答案】1:9 .
【解析】∵=3，∴FC:DF=3:1，又∵DE∥BC,∴△BFC∽△EFD,即BC：DE=FC:FD=3:1，
由△ADE∽△ABC，即：=1:9.
11. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是_________________.
【答案】30m.
12.如图，锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2，
则AC边上的高为______________.
【答案】 6.
【解析】∵AD,CE分别为BC,AB边上的高,
∴∠ADB=∠BEC=90°，∠ABD=∠EBC
∴Rt△ABD∽Rt△CBE.
∴，
∴△ABC∽△DBE.
∵相似三角形面积比为相似比的平方，
∴= 9, ∴=3 ,
∴AC=3DE=3×2=6.
∴h=2S△ABC/AC=2×18/6=6
即AC边上的高是6 .
三、解答题
13. 为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：
图（1）：测得竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米．
图（2）：测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）和图（2）中的树高各是多少？
【解析】（1）∵△CDE∽△ABE，∴，
又竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米，
∴ AB=1.92米．即图1的树高为1.92米．
（2）设墙上的影高落在地面上时的长度为x，树高为h，
∵竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，
∴.
解得x=1.5（m），
∴树的影长为：1.5+2.8=4.3（m），
∴
解得h=3.44（m）．
14.（1）阅读下列材料，补全证明过程：
已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连结DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．求证：点G是线段BC的一个三等分点．
证明：在矩形ABCD中，OE⊥BC，DC⊥BC，
∴ OE∥DC．∵ ＝，∴ ＝＝．∴ ＝．
……
（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．
【解析】（1）补全证明过程:
∵ FG⊥BC，DC⊥BC，
∴ FG∥DC．
∴ ＝＝．
∵ AB＝DC，
∴ ＝．
又 FG∥AB，
∴ ＝＝．
∴ 点G是BC的一个三等分点．
（2）如图，连结DG交AC于点H，作HI⊥BC于I，则点I是线段BC的一个四等分点.
15. 某车库出口处设置有“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点，当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图1所示（图2为其几何图形）．其中AB⊥BC，DC⊥BC，EF∥BC，∠EAB=150°，AB=AE=1.2m，BC=2.4m．
（1）求图2中点E到地面的高度（即EH的长．≈1.73，结果精确到0.01m，栏杆宽度忽略不计）；
（2）若一辆厢式货车的宽度和高度均为2m，这辆车能否驶入该车库？请说明理由．
【解析】解：（1）如图，作AM⊥EH于点M，交CD于点N，
则四边形ABHM和MHCN都是矩形，
∵∠EAB=150°，∴∠EAM=60°，
又∵AB=AE=1.2米，
∴EM=0.6≈0.6×1.73=1.038≈1.04（米），
∴EH≈2.24（米）；
（2）如图，在AE上取一点P，过点P分别作BC，CD的垂线，垂足分别是Q，R，PR交EH于点K，不妨设PQ=2米，
下面计算PR是否小于2米；
由上述条件可得EK=EH﹣PQ=0.24米，AM=0.6米，
∵PK∥AM，∴△EPK∽△EAM，
∴=，即=，
∴PK=0.08（米），
∴PR=PK+MN=PK+BC﹣AM=0.08+2.4﹣0.6
=1.8+0.08
≈1.94（米），
∵PR＜2米，∴这辆车不能驶入该车库．
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