2021学年23.5 位似图形巩固练习

第13讲 位似图形

       【学习目标】

1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；

2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.

        【基础知识】

考点一、位似多边形

1.位似多边形定义:

如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.

考点诠释：

位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.

 2.位似图形的性质:

（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；

　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：

图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．

4. 作位似图形的步骤

　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；

　　第二步：作位似中心与各关键点连线；

　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；

　　第四步：顺次连接各对应点.

考点诠释：

位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.

考点二、坐标系中的位似图形

    在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.

考点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.

   【考点剖析】

考点一：位似多边形

例1．下列每组的两个图形不是位似图形的是（　　）.

A.      B.    C.   D.

【思路】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．

【答案】D

【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．

据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；

而D的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．

故选D．

【总结】位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．

举一反三

【变式】在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物AB长的   （  ）.

A.  3倍      B.   C.   D.不知AB的长度，无法判断

【答案】C

例2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1.5倍.

【答案】即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE相似且相似比

为1.5.   

画法是：

    1．在平面上任取一点O.

    2．以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE.

3．在射线OA、OB、OC、OD、OE上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′:OA＝ OB′:OB＝OC′:OC＝OD′:OD＝OE′:OE＝1.5.

    4．连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.

这样：＝＝＝＝＝1.5.

   则五边形A′B′C′D′E′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.

【总结】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.

举一反三

【变式】在已知三角形内求作内接正方形．

【答案】

作法：

（1）在AB上任取一点G′，作G′D′⊥BC；

（2）以G′D′为边，在△ABC内作一正方形D′E′F′G′；

（3）连接BF′，延长交AC于F；

（4）作FG∥CB，交AB于G，从F、G分别作BC的垂线FE， GD；

∴四边形DEFG即为所求．

考点二：坐标系中的位似图形

例3．如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2．

（1）在图中画出四边形AB′C′D′；

（2）填空：△AC′D′是　     　三角形．

【思路】

（1）延长AB到B′，使AB′=2AB，得到B的对应点B′，同样得到C、D的对应点C′，D′，再顺次连接即可；

（2）利用勾股定理求出AC′2=42+82=80，AD′2=62+22=40，C′D′2=62+22=40，那么AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形．

【答案】

解：（1）如图所示：

（2）∵AC′2=42+82=16+64=80，AD′2=62+22=36+4=40，C′D′2=62+22=36+4=40，

∴AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，

∴△AC′D′是等腰直角三角形．

故答案为：等腰直角．

【总结】本题考查了作图﹣位似变换．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．同时考查了勾股定理及其逆定理等知识．熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键．

例4. 如图△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）．

（1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2．

（2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为　                       　．

【思路】

（1）把点A、B、C的横、纵坐标都乘以2可得到对应点D、E、F的坐标，再描点可得△DEF；把点A、B、C的横、纵坐标都乘以﹣2可得到对应点D′、E′、F′的坐标，然后描点可得△D′E′F′；

（2）利用以原点为位似中心的位似变换的对应点的坐标特征求解．

【答案】

解：（1）如图，△DEF和△D′E′F′为所作；

（2）点M对应的点M′的坐标为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．

故答案为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．

【总结】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．

举一反三：

【变式】如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？

【答案】

解：图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的.

        【真题演练】

一. 选择题

1.下面给出了相似的一些命题：

（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相

似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（　　）.

A．2个     B．3个      C．4个     D．5个

【答案】B

【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误；

（2）（3）（5）符合相似的定义，故正确；

（4）对应边的比不一定相等．故错误．

 故正确的是：（2）（3）（5）．故选B．

2.下列说法错误的是（　　 ）.

A.位似图形一定是相似图形.

B.相似图形不一定是位似图形.

C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.

【答案】D.

3.下列说法正确的是（　　 ） .

  A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE    

是ABC放大后的图形.     

B.两位似图形的面积之比等于相似比.

C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.

D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.

【答案】C.

4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　）

A．（﹣1，2）             B．（﹣9，18） 

C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）

【答案】D.

【解析】∵A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标为（﹣3×，6×）或[﹣3×（﹣），6×（﹣）]，即A′点的坐标为（﹣1，2）或（1，﹣2）．

5. 下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有(    ).

A.1个 　　　B.2个　　　 C.3个 　　　D.4个

【答案】B

【解析】由位似图形的概念可知③和④对，故选B.

6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（　　）.

A. AB：AC=AC：BC    B. AC=    C.AB=   D.BC≈0.618AB

【答案】D.

【解析】∵AC＞BC，

∴AC是较长的线段，

 根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，AC=, AB=

AC≈0.618AB．故选D．

A.       B.      C.      D.2

【答案】B.

【解析】∵AB=1，

设AD=x，则FD=x-1，FE=1，

∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，

∴，

 ，

解得,,（负值舍去），

经检验是原方程的解．故选B．

二. 填空题

8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为__________.

【答案】50cm.

9. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=　   　．

【答案】4.5．

【解析】∵△ABC与DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A点坐标为（1，0），D点坐标为（3，0），

∴AO=2，DO=5，

∴==，

∵AB=1.5，

∴DE=4.5．

故答案为：4.5．

10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形的周长的比值是__________．

【答案】1：2．

【解析】∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm，OA′=20cm，

　　　　∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA：OA′=10：20=1：2，

　　　　∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA：OA′=1：2．

　　　　  故答案为：1：2．

11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.

【答案】 .

【解析】由BC∥DE可得△ADE∽△ABC，所以，故.

12. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为____________________.

【答案】.

【解析】矩形ABCD对折后所得矩形与原矩形相似，则矩形ABCD∽矩形BFEA，设矩形的长为a，宽为b．则AB=CD=b，AD=BC=a，BF=AE=，根据矩形相似，对应边的比相等得到：即：，则b2=

∴∴

13.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第，三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n=　    　．

【答案】16.

【解析】由图形的变化规律可得

×256=，

解得n=16．

14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.

【答案】.

【解析】∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

又BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD=36°，

∴∠BDC=72°，

∴BC=BD=AD，

∵D点是AC的黄金分割点，

∴BC=AD=4×=.

三． 综合题

15.如图，D、E分别AB、AC上的点.

　(1)如果DE∥BC，那么△ADE和 △ABC是位似图形吗？为什么？

　(2)如果△ADE和 △ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？

【答案与解析】

(1)△ADE和 △ABC是位似图形.理由是：

　  DE∥BC，所以∠ADE=∠B， ∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以.

    又因为 点A是△ADE和 △ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C

是对应点，直线BD与CE交于点A，所以△ADE和 △ABC是位似图形.

　 (2)DE∥BC.理由是：

　  因为△ADE和△ABC是位似图形，

　  所以△ADE∽△ABC

　  所以∠ADE=∠B

　  所以DE∥BC.

16.如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，

（1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；

（2）若AB=2，CD=3，求EF的长．

【答案与解析】

解：（1）△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形，

理由：∵AB∥CD∥EF，

∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，且对应边都交于一点，

∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形；

（2）∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB=2，CD=3，

∴==，

∴==，

解得：EF=．

17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4．

（1）求矩形ODEF的面积；

（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．

【答案与解析】

（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，

∴S矩形ODEF=S矩形ABCO=×4×4=；

（2）存在．

∵OE=

所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，

设点O到AC的距离为h，

AC=

∴8h=4×4，

解得h=2，

∴当点E到AC的距离为2+2时，△ACE的面积有最大值，

当点E到AC的距离为2-2时，△ACE的面积有最小值，

S最大=

S最小=