2021-2022学年甘肃省武威市凉州区高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

2021-2022学年甘肃省武威市凉州区高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 年北京冬奥会的顺利召开，引起了大家对冰雪运动的关注．若，，三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

3. 有位男生和位女生在周日去参加社区志愿活动，从该位同学中任取人，至少有名女生的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知二项式的展开式中，项的系数为，则(    )

A.  B.  C. 或 D.

5. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6. 若函数存在极值点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 若直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则直线与平面的位置关系是(    )

A.  B.  C. 或 D. 不确定

8. 若函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知随机变量服从正态分布，如果，则为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 设，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面．命题：若，则，有，命题：若，则，有则下列命题正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

12. 设，若，，，，，，则数列(    )

A. 是递增的 B. 是递减的
C. 奇数项递增，偶数项递减 D. 偶数项递增，奇数项递减

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知函数的图象经过坐标原点，则曲线在点处的切线方程是______．
14. 若是定义在上函数，且的图形关于直线对称，当时，，且，则不等式的解集为______．
15. 已知随机变量服从正态分布且，则            ．
16. 根据下列数据：

求得关于的关系，则时，的估计值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 年月日时分，在太空遨游半年的神舟十三号飞船在东风着陆场成功着陆，这标志着中国空间站关键技术验证阶段的最后一次飞行任务取得圆满成功．为了让师生关注中国航天事业发展，某校组织航天知识竞赛活动，比赛共道必答题，答对一题得分，答错一题倒扣分，学生甲参加了这次活动，假设每道题甲能答对的概率都是，且每道题答对与否互不影响．
    Ⅰ求甲前题得分之和大于的概率；
    Ⅱ设甲的总得分为，求．
18. 如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，．
    求证：；
    求二面角的大小．

19. 已知函数．
    若，求曲线在处的切线方程；
    若在上单调递增，求的取值范围．
20. 疫苗是全球最终战胜新冠肺炎疫情的关键，自觉接种疫苗，构筑防疫屏障，是公民应尽的责任．接种新冠疫苗后可能会有一些不良反应，这与个人的体质有关系．在接种新冠疫菌后的不良反应中，主要有发热、疲乏、头痛，接种部位出现红晕，肿胀、酸痛等表现．为了解某地接种新冠疫苗后有不良反应与性别的关系，某机构随机抽取了该地区名疫苗接种者进行调查，得到统计数据如表不完整；

Ⅰ求列联表中的数据，，，的值，并判断是否有的把握认为有不良反应与性别有关；
Ⅱ用频率估计概率，现从该地区的疫苗接种者中随机抽取人对疫苗接种进行独立评分，其中无不良反应记分，有不良反应记分，记人所得评分之和为求的分布列和数学期望．
附：，其中．

21. 已知函数．
    若时，求在区间上的最大值与最小值；
    若函数仅有一个零点，求实数的取值范围．
22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
    求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
    设，曲线与交于，两点，求．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意，可知每一人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成，根据分步乘法原理，不同的选法共有种，
故选：．
根据分步乘法原理求解即可．
本题考查了分步乘法计数原理，属基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：有位男生和位女生在周日去参加社区志愿活动，从该位同学中任取人，
基本事件总数，
至少有名女生包含的基本事件个数．
至少有名女生的概率为．
故选：．
基本事件总数，至少有名女生包含的基本事件个数由此能求出至少有名女生的概率．
本题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：展开式的通项公式为，
令，解得，
所以项的系数为，解得，
故选：．
求出展开式的通项公式，然后令的指数为，由此建立方程即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：直线的方向向量为，平面的法向量为，当，时满足，
对于、、显然不存在向量共线的条件，故错误
故选：．
直接利用向量的线性运算，法向量，线面垂直的应用求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，法向量，线面垂直的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为函数，
所以，
又函数存在极值点，
则，解得或，
故选：．
求出导函数，通过，解得实数的取值范围即可．
本题考查了函数的极值，二次函数的性质的应用，属简单题．
 

7.【答案】 

【解析】解：直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，
且，
，可得直线与平面的位置关系是或．
故选：．
由数量积为可得，即可得到直线与平面的位置关系．
本题考查空间向量的应用，考查数量积与斜率垂直的关系，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：函数的定义域是，
，
若在单调递增，
则在恒成立，
即，故的取值范围是，
故选：．
求出函数的导数，问题转化为，求出的取值范围即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于命题，：若，则，有或与异面，故命题是假命题；
对于命题，若，则，有或或与相交，故命题是假命题，所以为真．
故选：．
分别判断命题，的真假，再由复合命题的真假即可得出答案．
本题考查了复合命题真假的判断，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：利用幂函数的性质可得：，
利用指数函数性质可得：，即，，
构造函数，则，当时，，
故函数在在上为增函数，
因为，则，
，可得，
即，故，因此，
故选：．
利用幂函数和指数函数性质可得，，再构造函数，可解．
本题考查幂函数，指数函数性质，以及构造法解决问题的能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，因为，则，
，而，则，
于是，
依次类推得，
，则，
依此类推得
故数列奇数项增，偶数项减．
故答案为：．
观察数列的增减情况，即可得到正确结论．
本题主要考查了数列的函数特性，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，
，，
所求切线方程为，即．
故答案为：．
求函数的导数，利用导数的几何意义求出，再利用点斜式方程求解即可．
本题考查导数的计算公式，几何意义，考查直线的点斜式方程．
 

14.【答案】 

【解析】解：的图形关于直线对称，
的图象关于直线对称，
设，则，故函数为奇函数，
当时，，
函数在为减函数，
又为奇函数，
函数在为减函数，
又，，
当时，不等式可化为，解得，
当时，不等式可化为，解得．
故答案为：．
设，依题意可得函数为奇函数且在，上为减函数，再分类讨论利用单调性转化求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数不等式的求解，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正态分布的性质，属于基础题．
结合正态分布的对称性进行计算求解即可．

【解答】

解：因为随机变量服从正态分布，故对称轴为．
由得：．
则．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】解：由表中数据可得，，
，
关于的关系，
，解得，
故，
当时，．
故答案为：．
根据已知条件，求出，的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解线性回归方程，再将代入，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．
 

17.【答案】解：Ⅰ由题意，甲前题得分之和大于，为分和分，
分别是答对道答错道和道都答对，
设得分为概率，得分为概率，
，，
甲前题得分之和大于的概率为：；
Ⅱ甲一共答题，每题甲答对的概率为，设甲答对道，
则服从二项分布，
道，
甲道题道正确，道错误，
分． 

【解析】Ⅰ由题意，甲前题得分之和大于，为分和分，分别计算出概率相加即可；Ⅱ甲一共答题，每题甲答对的概率为，设甲答对道，求出，再求即可．
本题考查了二项分布的期望，属于中档题．
 

18.【答案】解：证明：在直三棱柱中．
因，是棱的中点，所以．
故在中，．
同理：，．
，．
．
面．
面．
．
在直三棱柱中，平面．
又平面，所以．
又因，．
所以平面，则，，两两垂直．
如图以点为原点建系，设：

则，，，．
，，．
设为平面的法向量，为平面的法向量．
则有，可取．
同理可取．
设二面角的平面角为．
则，所以．
所以二面角的大小为． 

【解析】证，只需证明面，即证明，；
由可证得，，两两垂直，如图以点为原点建系，，利用向量法即可求得答案．
本题主要考查相线垂直的判定定理和二面角的平面角的余弦的求法，属于中档题．
 

19.【答案】解：，则，
可得，
则，
曲线在处的切线方程为，即；
由，
得，
在上单调递增，在上恒成立，
即在上恒成立，
在上单调递增，，可得．
即的取值范围是． 

【解析】把代入，求得导函数，可得，再由直线方程的点斜式得答案；
求出原函数的导函数，利用导函数大于等于在上恒成立，可得在上恒成立，进一步求解得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：  由题意得，，，，，
所以，
故没有的把握认为有不良反应与性别有关；
用频率估计概率，接种疫苗后有不良反应的概率是，
无不良反应的概率是，
由题意可得，的取值是，，，，，，
则，
，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：

故E． 

【解析】  由题意求出列联表中的数据，计算的值，对照临界表中的数据，比较即可得到答案；
先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．
本题考查了列联表的应用以及独立性检验的应用，解题的关键是由公式求出卡方的值，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
 

21.【答案】解：由题意得，
当时，，，
由，解得，
由，解得或，
所以函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减，
又，，，，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为．
函数只有一个零点，
因为，
当时，由，解得，
所以函数在区间上单调递增，
由，解得或，
所以函数在区间，上单调递减，
又，
所以只需要，解得，
所以实数的取值范围为．
当时，显然只有一个零点成立，
当时，由，解得，
即在区间上单调递增，
由，解得或，
即函数在区间，上单调递减，
又，
所以只需，解得，
综上，实数的取值范围为 

【解析】根据题意可得当时，，，分析的正负，的单调性，最值．
函数只有一个零点，又，分三种情况：当时，当时，当时，分析的零点，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

22.【答案】解：由为参数，消去参数，
可得直线的普通方程为．
由，得，
，即曲线的直角坐标方程为；
直线的参数方程的标准形式为为参数，
代入，整理可得．
，，
． 

【解析】直接把直线的参数方程中的参数消去，可得直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，可得曲线的直角坐标方程；
写出直线的参数方程的标准形式，代入曲线的直角坐标方程，化为关于参数的一元二次方程，利用参数的几何意义及根与系数的关系求解．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．