2021-2022学年广西梧州市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年广西梧州市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知，则下列四个角中与角终边相同的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在复平面内，复数对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 函数是在上的周期为的奇函数，当时，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知平面向量，，若，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 计算(    )

A.  B.  C.  D.

6. 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若，则使不等式成立的的取值范围为(    )

A.  B.
C.  D.

8. 在长方体中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 给出下列命题：
   长方体是四棱柱；
   直四棱柱是长方体；
   底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥；
   延长一个棱台的各条侧棱，它们相交于一点．
   则正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知为两个单位向量，下列四个命题中正确的是(    )

A. 与相等
B. 如果与同向，那么与相等
C.
D.

11. 设，是两条不同的直线，，是不同的平面，则下列结论正确的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则

12. 把函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍横坐标不变后得到函数，则下列结论正确的是(    )

A. 函数的解析式为
B. 函数图象关于直线对称
C. 函数在区间上单调递减
D. 若函数在区间上的最小值为，则

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知一个圆柱形的锅炉，底面直径，高，则锅炉的侧面积______精确到
14. 已知为虚数单位，则______．
15. 已知是平面内所有向量的一组基底，且，若，则______．
16. 如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为，，且、两点之间的距离为，则树的高度为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知，且为第二象限角．
    求的值；
    求的值．
18. 已知向量，满足，，且．
    求和的夹角的大小；
    在中，若，，求
19. 在中，角，，的对边分别为，，，为边上的中线．
    若，，，求边的长；
    若，求角的大小．
20. 如图，四棱锥中，为正方形，为的中点，平面平面，，．
    证明：平面；
    证明：；
    求三棱锥的体积．

21. 已知函数
    求函数的单调递增区间；
    若，且，求的值．
22. 已知函数的最小值为，其图象经过点，且图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为．
    Ⅰ求函数的解析式；
    Ⅱ若关于的方程在上有且仅有两个实数根，，求实数的取值范围，并求出的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：与角终边相同的角的集合为，
取，得，
在之间，与角终边相同的角是．
故选：．
写出与角终边相同的角的集合，然后取的值得答案．
本题考查了终边相同的角的概念，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：复数对应的点的坐标为，位于第二象限．
故选：．
直接由已知复数得到对应点的坐标得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础的计算题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数是在上的周期为的奇函数，则，
又由当时，，则，
故，
故选：．
根据题意，由函数的奇偶性和周期性可得，结合函数的解析式计算可得答案．
本题考查函数的奇偶性和周期性的应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
又，
，解得．
故选：．
可求出，然后根据即可求出的值．
本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，向量平行的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，
所以．
故选：．
由，利用两角和的正切公式可求的值，即可计算得解．
本题考查了两角和的正切公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．
由题意，为球的直径，求出，可得球的半径，即可求出球的表面积．
【解答】
解：由题意，如图所示：

为球的直径，，
球的半径为，
球的表面积为，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：不等式，
由正切函数的性质可得
和，，
，
使不等式成立的的集合为：．
故选：．
根据正切函数的图象和性质，即可求出不等式的解集．
本题考查了利用正切函数的图象和性质解不等式的应用问题，是基础题目．
 

8.【答案】 

【解析】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
故有，，
设异面直线与所成角为，
，．
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．
本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于：长方体满足有两个面互相平行且全等，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，故长方体是四棱柱，故正确；
对于：如果直四棱柱的底面不是矩形，则这样的直四棱柱不是长方体，故错误；
对于：如果棱锥的底面是正多边形，但顶点在底面的射影不是底面的中心，这样的棱锥不是正棱锥，故错误；
对于：用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面与底面之间的部分为棱台，故延长一个棱台的各条侧棱，它们必相交于一点，故正确；
故选：．
根据棱柱、棱锥及棱台的定义判断即可．
本题考查棱锥棱柱的结构特征，考查学生的推理能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：为两个单位向量，则，
对于选项A，由于与的夹角不确定，即选项A错误；
对于选项B，与同向，则与相等，即选项B正确；
对于选项C，为向量，即选项C错误；
对于选项D，由已知可得选项D正确，
故选：．
由单位向量的定义逐一判断即可．
本题考查了单位向量，属基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，属于中档题．
对于，与相交、平行或异面；对于，由线面垂直的判定定理得；对于，与相交、平行或异面；对于，由面面垂直的判定定理得．

【解答】

解：设，是两条不同的直线，，是不同的平面，则：
对于，若，，则与相交、平行或异面，故A错误；
对于，若，，，则由线面垂直的判定定理得，故B正确；
对于，若，，，则与相交、平行或异面，故C错误；
对于，若，，，则由面面垂直的判定定理得，故D正确．
故选：．

12.【答案】 

【解析】解：对于，将函数的图象向左平移个单位得到，
再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍横坐标不变后得到函数的图象，
故A错误，
对于，，令，
，
当时，，故B正确，
对于，当时，，
故函数在区间上单调递减，故C正确，
对于，当时，，
函数在区间上的最小值为，所以，故D正确．
故选：．
根据图象变换可判断选项A，由余弦函数的性质可判断，，．
本题主要考查余弦型函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：一个圆柱形的锅炉，底面直径，高，
由题意得锅炉的侧面积，
故答案为：
根据圆柱的侧面积公式，即可求得答案．
本题考查圆柱的结构特征、侧面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用复数的运算法则即可得出．
本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，，
若，
，
，得，
．
故答案为：．
利用平面向量基本定理表示出与的关系．
本题考查平面向量基本运算，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：在，，，，
．
由正弦定理得：，
，
树的高度为．
故答案为：．
要求树的高度，需求长度，要求的长度，在由正弦定理可得．
本题考查正弦定理和特殊角的三角函数值，考查学生利用数学知识解决实际问题，正确求是关键．
 

17.【答案】解：由，得．
为第二象限角，
，
．
． 

【解析】由题意，利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，计算求得结果．
由题意，利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，计算求得结果．
本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．
 

18.【答案】解：，
，
，则，
，
又，
；
，
，
． 

【解析】由题意求出和，再计算向量、的夹角；
用、表示出，利用模的计算公式计算即可．
本题考查了平面向量的数量积与模长和夹角的计算问题，是基础题．
 

19.【答案】解：在中，因为，
由余弦定理：．
故在中，由余弦定理，得，
所以．
因为为边上的中线，所以，
所以，
 
，． 

【解析】在中根据余弦定理计算，再在中计算；
把代入化简即可得出，故AB．
本题考查了余弦定理解三角形，平面向量的应用，属于中档题．
 

20.【答案】证明：连接，交于点，则为的中点，连接，
为的中点，，
又平面，平面，
平面；
证明：四边形为正方形，，
平面平面，平面平面，且平面，
平面，
而平面，；
解：取的中点，连接，
，，
平面平面，平面平面，
平面，平面，即点到底面的距离为．
由，，
得，
又，． 

【解析】连接，交于点，连接，可得，则平面；
由四边形为正方形，得，再由已知结合平面与平面垂直的性质可得平面，从而得到；
取的中点，连接，证明平面，则点到底面的距离为，再由等体积法求三棱锥的体积．
本题考查直线与平面平行与垂直的判定，训练了利用等体积法求多面体的体积，考查推理论证能力与运算求解能力，是中档题．
 

21.【答案】解：因为


，
令，
可得，
可得，
可得函数的单调递增区间是，．
由知．
又，即，．
因为，
所以，
所以，
所以． 

【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，利用正弦函数的单调性即可求解．
由及已知可得结合范围，利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用两角差的正弦公式即可求解．
本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的单调性的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

22.【答案】解：Ⅰ由题意，得，．
，．
．
又函数的图象经过点，则．
由，得．
．
Ⅱ由题意，关于的方程在上有且仅有两个实数根，，
即函数与的图象在上有且仅有两个交点．
由Ⅰ知令，则．
，
．
则其函数图象如图所示．由图可知，实数的取值范围为．

当时，，，关于对称，则．
解得．
当时，，关于对称，则．
解得．
综上，实数的取值范围为，的值为或． 

【解析】Ⅰ由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得的解析式．
Ⅱ由题意可得的图象和直线在区间上有且仅有两个交点，再根据函数的图象和性质，求得实数的取值范围，并求出的值．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，函数的图象变换规律，函数的图象和性质，属于中档题．