初中数学浙教版九年级上册第1章 二次函数综合与测试同步练习题

浙教版初中数学九年级上册第一单元《二次函数》

考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为(    )

A.  B. 且
C.  D. 且

2. 下列函数表达式中，一定为二次函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 已知函数与轴有交点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

4. 二次函数的与的部分对应值如下表：

则当时，的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 二次函数的图象如图所示，已知其对称轴为，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过(    )

A. 第一、二、三象限
B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限
D. 第二、三、四象限

7. 若二次函数的解析式为若函数过点和点，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 过点，点的抛物线与轴只有一个公共点，则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，已知二次函数的图象经过，，顶点坐标为，则下列说法中错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 若二次函数的图象经过点，则不等式的解集为(    )

A.  B.
C.  D. 或

11. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，交轴于点，有如下结论：；；若，在该函数的图象上，则；关于的不等式的解集为或其中结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 抛物线与轴交于点，点，交轴于点，直线经过点，点，它们的图象如图所示，有以下结论：
    抛物线对称轴是直线；
    ；
    时，；
    若，则其中正确的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 将抛物线向上平移个单位长度后，经过点，则的值是______．
14. 若函数的顶点在轴上，则______．
15. 写一个当时，随的增大而增大的函数解析式          ．
16. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加_____．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 已知关于的函数．
    当函数是一次函数时，求的值．
    当函数是二次函数时，求的值．
18. 我们把和不相等的函数称为非对称函数看下面一道例题：
    判断函数是不是非对称函数．
    解：，，
    ，函数为非对称函数．
    判断函数是不是非对称函数，并说明理由．
19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：分别与轴，轴交于点和点，将线段绕点逆时针旋转至．

求点的坐标及抛物线的解析式；

将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线，请你判断点是否在抛物线上，并说明理由．

20. 已知二次函数的图象的顶点坐标为．

写出，的值．

判断点是否在这个函数的图象上．

21. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是，与轴交于，两点，与轴交于点点的坐标是．
    求，两点的坐标，并根据图象直接写出当时的取值范围．
    平移该二次函数的图象，使点恰好落在点的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

22. 在平面直角坐标系中，设二次函数，是实数，．
    若函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求函数的表达式．
    若函数的图象经过点，其中，求证：函数的图象经过点．
    设函数和函数的最小值分别为和，若，求，的值．
23. 某书店销售儿童书刊，一天可售出套，每套盈利元为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施若一套书每降价元，平均每天可多售出套设每套书降价元时，书店一天可获利润元．

  求关于的函数表达式

  若要书店每天盈利元，则需降价多少元

当每套书降价多少元时，书店可获最大利润最大利润为多少

24. 如图，用长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，设垂直于墙的一边长为，平行于墙的一边长为．
    直接写出与满足的函数关系式及的取值范围______；
    求菜园面积的最大值；
    如图，在菜园内修建两横一竖且宽均为的小路，其余部分种菜，若种菜部分的面积随的增大而减小，则的取值范围为______．
     

25. 如图，直线与二次函数的图象交于点，已知该二次函数图象的对称轴为直线．
    

求的值及二次函数解析式；

若直线与二次函数的图象的另一个交点为，求的面积；

根据函数图象回答：为何值时该一次函数值大于二次函数值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的定义和二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象和性质，解题时要抓住二次函数与轴无交点的特点进行求解．的图象与轴无交点，当图象在轴上方时，，当图象在轴下方时，，由此能够求出的取值范围．
【解答】
解：的图象与轴无交点，
当图象在轴上方时，
，无解．
当图象在轴下方时，

，
的取值范围是，
故选C．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了二次函数定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为这个关键条件．根据二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数进行分析即可．

【解答】

解：是一次函数，故A错误； 

B.当时，是二次函数，故B错误；
C.是二次函数，故C正确；
D.含有分式，不是二次函数，故D错误；
故选C．

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次函数与一元二次方程，二次函数的概念，一次函数的概念的有关知识，分函数为一次函数和二次函数讨论，当时，满足题意，当时，利用二次函数的图象与轴有交点故，再结合二次项系数不为，进而得出答案．
【解答】
解：若函数的图象与轴有交点，
当时即时，函数为，令，则，满足题意；
当即时，
，
所以且．
综上可得，
故选B．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数，抛物线是轴对称图形，由表看出抛物线的对称轴为是本题的关键．由表可知，抛物线的对称轴为，再对称即可求得时的值．
【解答】
解：设二次函数的解析式为，

当或时，，
抛物线的对称轴为，由抛物线的对称性可知与对称，
当时，．
故选A．

 

5.【答案】 

【解析】

 【分析】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系．
由抛物线开口方向得到，由对称轴得到，由抛物线与轴的交点得到，由此可判断、；根据，则从而判断根据抛物线与轴有两个交点，由根的判别式，从而判断即可．
【解答】
解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
；；
，，
，
抛物线与轴有两个交点，
，即．
故选C．  

6.【答案】 

【解析】解：，
抛物线顶点坐标为，
抛物线顶点在第四象限，
，，
直线经过第一，二，四象限，
故选：．
由抛物线顶点式可得抛物线顶点坐标，由图象可得，的符号，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数及一次函数图象与系数的关系．
 

7.【答案】 

【解析】解：二次函数的解析式为，
该函数的对称轴为直线，
函数过点和点，
，
，
，
，
当时，取得最大值；当时，取得最小值，
的取值范围是，
故选：．
根据二次函数的解析式为，可以得到该函数的对称轴，再根据函数过点和点，可以得到，然后即可用含的代数式表示出，然后根据在该函数图象上，代入函数解析式，即可得到关于的二次函数，再根据的取值范围，即可得到的取值范围．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，得到和的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴只有一个交点，
当时，且，即，
点，，
点、关于直线对称，
，，
将点坐标代入抛物线解析式，得：，
，
．
故选：．
由“抛物线与轴只有一个交点”推知时，且，即，根据抛物线对称轴的定义知点、关于对称轴对称，则，；由二次函数图象上点的坐标特征知，把代入即可求得的值．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系；难度适中．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
，故选项A正确；
；，
图象开口向上，顶点为最低点，
，故选项C正确；
二次函数的图象经过，，
，
，得
，
即，
，
，故选项D正确；
二次函数的图象经过，，顶点坐标为，
，
即，故选项B错误；
故选：．
根据题意和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：将代入得，
抛物线，
将代入得，
解得，，
抛物线开口向下，
时，
故选：．
由抛物线经过可得抛物线解析式，将代入抛物线解析式可得抛物线与轴交点横坐标，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点为，

，正确，
，
，正确．
到对称轴的距离小于到对称轴的距离，抛物线开口向上，
，错误．
抛物线与轴的交点为，抛物线对称轴为直线，
抛物线与轴另一交点坐标为，
不等式的解集为或，正确．
故选：．
根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断，根据点，到对称轴的距离及抛物线开口方向可判断，由抛物线与轴的交点及开口方向可判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线经过点，点，
抛物线对称轴为直线，正确．
时，，正确．
时，抛物线在轴上方，
时，，正确．
抛物线对称轴为直线，
，
，，
，
，
将，代入得，
解得，
正确．
故选：．
由抛物线经过点，点可得抛物线对称轴，及，从而判断，由图象及点，坐标可判断，由，与的关系，可得的值，根据待定系数法可求直线解析式，从而判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

13.【答案】 

【解析】解：将抛物线向上平移个单位长度后，
表达式为：，
经过点，代入得：，
则，
故答案为：．
根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点代入，得到，最后将变形求值即可．
本题考查了二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出平移后的表达式．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次函数顶点在轴上的特点根据函数的顶点坐标在轴上，可以知函数顶点的纵坐标为，从而求解．
【解答】
解：二次函数的顶点在轴上，
顶点的纵坐标，
，
故答案为．  

15.【答案】或或等 

【解析】解：若为一次函数，当时，随的增大而增大，，如；
若为反比例函数，当时，随的增大而增大，，如；
若为二次函数，当时，随的增大而增大，，对称轴，如；
当时，随的增大而增大的函数解析式为或或等此题答案不唯一．
根据二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的性质作答．
本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性，是一道难度中等的题目．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解答】

解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过点，则通过画图可得知为原点，

抛物线以轴为对称轴，且经过，两点，和可求出为的一半米，抛物线顶点坐标为，
通过以上条件可设顶点式，代入点坐标到抛物线解析式得出：，所以抛物线解析式为，
当水面下降米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：
，
解得：，所以水面宽度增加到米，比原先的宽度增加了米，
故答案为：．
 

17.【答案】解：依题意，得，
解得．
又因为，
解得或，
因此．
依题意，得，
解得或．
又因为，
解得或，
因此． 

【解析】略
 

18.【答案】为非对称函数理由如下：
，
，
，
为非对称函数． 

【解析】见答案
 

19.【答案】解：和点，
，，
过作轴于，连接，

由题意得：，，
，
．
在于中，
，
≌，
，，
，
和点在抛物线：上，
，
解得：，
抛物线的解析式；

将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线，
，
抛物线的解析式为：，
当时，，
点在抛物线上． 

【解析】本题考查了二次函数的图象与图形变换，待定系数法求函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，是解题的关键．
由和点，得到，，过作轴于，推出≌，于是得到，，求出，把和点代入抛物线：，解方程组即可得到结果；
将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线，于是得到，求出的解析式，把点的坐标代入即可得到结论．
 

20.【答案】解：二次函数的图象的顶点坐标为，
，；
函数解析式为，
当时，，
所以，在这个函数的图象上． 

【解析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握利用二次函数顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．
根据二次函数顶点式解析式写出、的值即可；
把点代入函数解析式验证即可．
 

21.【答案】解：把代入，得，解得，
，
，
对称轴直线，，两点关于对称，
，
当时，．

，
点平移到，抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，可得抛物线的解析式为． 

【解析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
利用待定系数法求出，再求出点的坐标即可解决问题．
由题意点平移的，抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，由此可得抛物线的解析式．
 

22.【答案】解：由题意，得到，解得，
函数的图象经过，
，
解得或，
函数或．

函数的图象经过点，其中，
，
，
即，
是方程的根，
即函数的图象经过点．

由题意，，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
利用待定系数法解决问题即可．
函数的图象经过点，其中，可得，推出，即，推出是方程的根，可得结论．
由题意，，，根据，构建方程可得结论．
 

23.【答案】解：设每套书降价元时，所获利润为元，
则每天可出售套；
由题意得：

；
当时，，
整理得：，
解得或，
但为了尽快减少库存，所以只取，
答：若每天盈利元，为了尽快减少库存，则应降价元；

则当时，取得最大值；
即当将价元时，该书店可获得最大利润元． 

【解析】本题主要考查的是一元二次方程的应用，二次函数的应用的有关知识．
根据题意设出每天降价元以后，准确表示出每天书刊的销售量，列出利润关于降价的函数关系式；
根据题意列出关于的一元二次方程，通过解方程即可解决问题；
运用函数的性质即可解决．
 

24.【答案】   

【解析】解：由题意得：，
墙长为，篱笆长为，
，
，
，
，
；
，



，

开口向下，
对称轴为，
当时，随增大而减小．
当时，有最大值，最大值为；
由题意得：，



，
种菜部分的面积随的增大而减小，且，
，
，
，
，
又，
．
平行于墙的一边长等于减去垂直于墙的一边长的倍，由此可写出解析式，再根据墙长为，篱笆长为，可得，从而可求解的取值范围；
由及矩形的面积公式可得到关于的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
根据，可得出关于的二次函数，根据种菜部分的面积随的增大而减小及二次函数的性质可得答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：直线经过点，
，
直线为，
二次函数的图象经过点，且对称轴为直线．
，解得，
二次函数解析式为；
解
得或
，
的面积；
由图象可知：当或时，该一次函数值大于二次函数值． 

【解析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数与一次函数的交点问题以及二次函数与不等式，数形结合是解题的关键．
根据直线经过点，得；根据二次函数的图象经过点，且对称轴为直线，即可得到二次函数解析式；
解析式联立组成方程组，解方程组求得的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得；
根据图象即可求得当或时，该一次函数值大于二次函数值．．