初中数学浙教版九年级上册第4章 相似三角形综合与测试复习练习题

浙教版初中数学九年级上册第四单元《相似三角形》

考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，在中，已知点在边上，连接，点在线段上，，且交于点，，且交于点，则下列结论一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 某校开展“展青春风采，树强国信念”科普阅读活动．小明看到黄金分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用时一般取特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接顶点，，的平分线交边于点，则点就是线段的一个黄金分割点，即，已知，那么该正五边形的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，，若，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

4. 如图，在中，，边在轴上，顶点，的坐标分别为和，将正方形沿轴向右平移，当点落在边上时，平移的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 给出下列个命题：
   相似三角形的周长之比等于其相似比；
   方程的两根之积为；
   在同一个圆中，同一条弦所对的圆周角都相等；
   圆的内接四边形对角互补．
   其中，真命题为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上的点，折痕为已知，，若以点、、为顶点的三角形与相似，那么的长度是(    )

A.  B. 或 C.  D. 或

7. 如图，四边形是平行四边形，点为边中点，点为对角线上一点，且，连接、、，则：(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

8. 对于题目“如图，在四边形中，，，，，点是上一个动点，过点作直线，交或其延长线于点以为折线，将四边形折叠，若重叠的部分的面积为，确定满足条件的所有的长”，甲的结果是：，乙的结果是：，则(    )

A. 甲的结果正确
B. 乙的结果正确
C. 甲、乙的结果合在一起才正确
D. 甲、乙的结果合在一起也不正确，因为还有其他的取值

9. 如图是小明做的一个风筝支架示意图，已知，：：，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，表示一个窗户的高，和表示，射入室内的光线，窗户的下端到地面距离米，已知某一时刻在地面的影长米，在地面的影长米，则高为米．(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，一张矩形纸片的长，宽将纸片对折，折痕为，所得矩形与矩形相似，则：(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

12. 如图所示，四边形与四边形位似，点为位似中心，若，则四边形与四边形的面积比为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，的直角边，，在数轴上，在上截取，以原点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则的中点对应的实数是______．

14. 如图，是的中线，是上一点，：：，的延长线交于，：为______．

15. 如图，已知，，，点为射线上一个动点，连接，将沿折叠，点落在点处，过点作的垂线，分别交，于点，当点为线段的三等分点时，的长为          ．
     

16. 如图，正方形中，点是对角线上的一点，，过点作，，垂足分别为点，，则正方形与正方形的相似比为          ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图所示，在中，于点，于点．
    

    ，，，这四条线段能否成比例？如果不能，请说明理由；如果能，请写出比例式．

    若，，，求的长．

18. 如图，在中，已知，，若、是边的两个黄金分割点，求的面积．

19. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，的延长线交于求证：．
     

20. 如图，在中，，点在边上，且，过，，三点的交于另一点，作直径，连结并延长交于点，连结，．
    求证：四边形是平行四边形．
    当，时，求的直径长．
     

21. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴和轴上，厘米，厘米，现有两动点，分别从，同时出发，点在线段上沿方向作匀速运动，点在线段上沿方向作匀速运动，已知点的运动速度为每秒厘米．设点的运动速度为每秒厘米，当和相似时，求运动时间．

22. 如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且．
     

试问：与相等吗为什么

试判断与是否相似并说明理由．

23. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量操场旗杆的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行并使直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知，，点到地面的距离，到旗杆的水平距离，求旗杆的高度．

24. 如图，矩形∽矩形，，分别为它们的短边，点在上，．

求证：

若两个矩形的面积之和为，求矩形的面积．

25. 如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点顶点是网格线的交点及平面直角坐标系．
    将绕点逆时针旋转得到，请画出；
    以点为位似中心，在第四象限将放大倍得到，请画出并求的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，故A错误；
，
．
，
∽，
，故B错误；
，
，
，故C错误；
，故D正确．
故选：．
根据，可得∽，根据，可得∽，再根据相似三角形的性质即可求解．
考查了相似三角形的判定与性质，关键是得到∽，∽．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意，点是线段的黄金分割点，
，，
，
，平分，
，，
，
五边形的周长为，
故选：．
证明，可得结论．
本题考查正多边形的性质，黄金分割等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：，若，
，
，
，
故选：．
利用平行线分线段成比例定理求解即可．
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．根据已知条件得到，，，求得，根据正方形的性质得到，求得，根据相似三角形的性质得到，从而求得平移的距离．

【解答】
解：如图，设正方形是正方形沿轴向右平移后的正方形，
顶点，的坐标分别为和，
，，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
∽，
 ，
，
，
，
当点落在边上时，平移的距离为，
故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查命题的判断，相似三角形性质，圆的性质，以及一元二次方程根与系数关系
根据相似三角形的性质进行判断；
根据一元二次方程根与系数的关系进行判断；
根据圆周角定理进行判断；
根据圆内接四边形的性质进行判断．
【解答】
解：
相似三角形的周长之比等于其相似比，说法正确，是真命题；
，所以方程没有实数根，是假命题；
在同圆中，同一条弧所对的圆周角相等，但同一条弦所对的圆周角不一定相等，是假命题；
圆的内接四边形对角互补，说法正确，是真命题．
故选C．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查相似三角形的性质，折叠问题，根据折叠得到，设，则，以点、、为顶点的三角形与相似，分两种情况：，由三角形相似的性质得出比例式，即可求出的长．
【解答】
解：沿折叠和重合，
，
设，则，
以点、、为顶点的三角形与相似，分两种情况：
若，
则，即
解得：；
若
则，即
解得：．
综上所述，的长为或．  

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，点为边中点，
，
，
，
，
：：：．
故选：．
根据四边形是平行四边形，点为边中点，可得，根据，可得，进而可得结果．
本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
当时，翻折后重叠面积为四边形的面积，即，
时满足题意，如图．

设，重叠部分的面积为，
当时，如图，点落在的延长线上，重叠的部分为五边形，此时，，，过点作于点，

∽，
，
，，
，
令，
解得或，不符合题意．
当时，如图，点与点重合，点与点重合，重叠的部分为，

，，
重叠部分的面积为，符合题意．
当时，如图，重叠的部分为，
重叠部分的面积总小于的面积，即重叠部分的面积总小于，不符合题意．

综上所述，只有或时，重叠部分的面积等于．
故选C．
分类讨论，，和，设，重叠部分的面积为，结合图象求解．
本题考查图形的翻折变换，解题关键是掌握相似三角形的判定及性质，掌握解一元二次方程的方法．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
：：，
，
，
，
．
故选：．
根据相似三角形的判定和性质定理即可得到答案．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，，
∽，
，
，
解得：，
，
故选：．
阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线与仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出的长，即窗户的高度．
本题考查相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：矩形纸片对折，折痕为，
，
矩形与矩形相似，
，即，
，
．
故选：．
根据折叠性质得到，再根据相似多边形的性质得到，即，然后利用比例的性质计算即可．
本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
 

12.【答案】 

【解析】四边形与四边形位似，
四边形∽四边形，，
∽，
，
四边形与四边形的面积比，
故选C．
 

13.【答案】 

【解析】解：的直角边，，
，
又，
，
点是的中点，
，
即点所表示的数为：，
故答案为：．
根据勾股定理求出，进而求出，最后求出即可．
本题考查数轴表示数的意义和方法，求出的长是解决问题的关键．
 

14.【答案】： 

【解析】解：作交于，

是的中线，
，
，
，
，
：：，
故答案为：：．
作交于，根据三角形中位线定理得到，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．
本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系，根据中线为切入点作出辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查了翻折的性质，利用翻折的性质得出，是解题关键，又利用了相似三角形的判定与性质，要分类讨论，以防遗漏．
根据勾股定理，可得，根据相似三角形的性质，可得的的平方，根据勾股定理，可得答案．
【解答】
解：如图，易得
，
由翻折的性质，得
，．
当，时，设，得
．
易证∽，
，即，
解得，
．
当，时，设，得
，
易证∽，
，即，
解得，
，
故答案为：或．  

16.【答案】 

【解析】设，，则，
，
，
则正方形与正方形的相似比．
 

17.【答案】解：在中，，， 
 ．
．
又，
，，，四条线段能成比例，比例式为；
，
，
解得． 

【解析】此题主要考查了平行四边形的性质、面积求法、以及比例的基本性质，关键是熟练掌握平行四边形的面积公式：面积底高．
根据平行四边形的面积公式：底高，可得，再把进行变形可；
把已知的数据代入得到的式子即可求解．
 

18.【答案】解：过点作于点．

，， 
．
在中， ．
D、是边的两个黄金分割点，
 ．
．
同理可求．
．
 ． 

【解析】见答案
 

19.【答案】证明：如图，过点作，交于点．
是边上的中线，
．
又，
．
又是的中点，，
．
．
．
．

【解析】见答案
 

20.【答案】证明：连接，

，
是的直径，
，
，
是的直径，
，
即，
，
是的直径，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：由，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
即的直径长为． 

【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，平行四边形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
连接，由，得到是的直径，根据圆周角定理得到，即，推出，推出，于是得到结论；
设，，得到，于是得到，求得，求得，根据勾股定理得到，求得，在中，根据勾股定理即可得到结论．
 

21.【答案】解：和相似，有∽和∽两种情况：
当∽时：
则，
，
即，
解得，不合题意，舍去，．
；
当∽时：
则，
，
即
解得：，不合题意，舍去．
，
综上所述：或．
答：运动时间为秒或秒． 

【解析】利用三角形的相似，得到比例线段，解关于的方程即可．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解答的关键是对相似三角形的情况进行讨论．
 

22.【答案】解：与相等．
理由：，
∽，
，
；
与相似．
，
．
在与中，
，，
∽． 

【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
先根据题意得出∽，由相似三角形的性质即可得出结论；
先根据题意得出，再由即可得出结论．
 

23.【答案】解：，，
∽，
，
即，
解得，
，，，
，
四边形是矩形，
，
．
答：旗杆的高度是． 

【解析】【试题解析】
本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质有关知识，求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出，再求出，然后根据旗杆的高度代入数据计算即可得解．
 

24.【答案】证明：矩形∽矩形，
，，
，即，
∽，
．
解：，
，
，
，
解得： 

【解析】本题考查的是相似多边形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据相似多边形的性质得到，，证明∽，根据相似三角形的对应角相等证明结论；
根据相似多边形的面积比等于相似比的平方列出方程，解方程即可．
 

25.【答案】解：如图，即为所求；

如图，即为所求，的面积． 

【解析】利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可，再利用割补法求出三角形面积．
本题考查作图位似变换，旋转变换等知识，解题的关键是掌握位似变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．