高考数学二轮复习第1部分方法篇素养形成文理第6讲文化文理学案含解析

第6讲　数学文化(文理)

JIE TI CE LUE MING FANG XIANG

解题策略·明方向　

⊙︱考情分析︱

数学文化题是近几年全国卷中出现的新题型．预计在高考中，数学文化题仍会以选择题或填空题的形式考查，也不排除以解答题的形式考查，难度适中或容易．

⊙︱真题分布︱

(理科)

(文科)

KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN

考点分类·析重点　

考点一　三角与传统文化

1．(2020·东城区二模)《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”(一步＝1.5米)意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为(　B　)

A．135平方米　　 B．270平方米

C．540平方米　　 D．1 080平方米

【解析】　根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为

S＝lr＝×45×＝270(平方米)．

故选B．

2．(2020·河南模拟)“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，M为ON的一个靠近点N的三等分点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面(扇环)部分的概率是(　D　)

A．　　 B．　

C．　　 D．

【解析】　设ON＝r，扇形的圆心角为α，

则整个扇形的面积为S＝αr2，扇环的面积为S＝αr2－α()2＝，

由几何概率公式可得P＝＝.故选D．

3．(2020·三明质检)我国古代数学家刘徽于公元263年在《九章算术注》中提出“割圆术”：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率．如果用圆的内接正n边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为πn，那么用圆的内接正2n边形逼近圆，算得圆周率的近似值π2n可表示成(　A　)

A．　　 B．

C．　　 D．

【解析】　令圆的半径为1，则圆内接正n边形的面积为

n××12×sin ＝ sin ＝nsin cos ，

圆内接正2n边形的面积为

2n××12×sin ＝nsin ，

用圆的内接正n边形逼近圆，

可得S圆＝nsin cos ＝πn；

用圆的内接正2n边形逼近圆，可得S圆＝nsin ＝π2n；

所以π2n＝.故选A．

4．(2020·沙坪坝区校级模拟)2020年新型冠状病毒肺炎蔓延全国，作为主要战场的武汉，仅用了十余天就建成了“小汤山”模式的火神山医院和雷神山医院，再次体现了中国速度．随着疫情发展，某地也需要参照“小汤山”模式建设临时医院，其占地是由一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400 m的等腰三角形组成的图形(如图所示)，为使占地面积最大，则等腰三角形的底角为(　D　)

A．　　 B．　

C．　　 D．

【解析】　设顶角为α；

由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：4××400×400×sin α＝320 000sin α，

由余弦定理可得正方形边长为：

＝400；

故正方形面积为：160 000(2－2cos α)＝320 000(1－cos α)

所以所求占地的面积为：320 000(sin α－cos α＋1)＝320 000，

∴当α－＝⇒α＝时，占地面积最大，此时底角为：＝.

三角与传统文化主要包括“欧拉公式”、“九章算术”、“赵爽弦图”、“割圆术”、“三斜公式”、“海伦公式”及以数学名人为背景数学知识的应用问题．

考点二　数列与传统文化

1．(2020·香坊区校级二模)对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n层货物的个数为an，则数列的前2 020项和为(　B　)

A．　　 B．　

C．　　 D．

【解析】　设从上而下各层货物的个数构成数列{an}，依题意有：a1＝2，a2－a1＝3，a3－a2＝4，…，an－an－1＝n＋1(n≥2)

由上面的式子累加可得：an＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝＝，n≥2，

又当n＝1时，a1＝2也适合，

所以an＝，＝＝2，

∴数列 的前2 020项和为2

＝2＝.故选B．

2．(2020·合肥三模)公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米(　B　)

A．斗　　 B．斗

C．斗　　 D．斗

【解析】　由题可得：每人所得玉米数构成公比为的等比数列；

且数列的前10项和为10；

设首项为a；

则有：＝10；

∴a＝＝；故选B．

3．(2020·合肥一中、马鞍山二中等六校二联)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝(　C　)

A．23　　 B．32　

C．35　　 D．38

【解析】　由题意可得儿子的岁数成等差数列，

设公差为d，其中公差d＝－3，S9＝207，

即S9＝9a1＋×(－3)＝207，解得a1＝35．故选C．

4．(2020·恩施质检)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．”其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人．”在该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为(　B　)

A．9　　 B．16　

C．18　　 D．20

【解析】　根据题意设每天派出的人数组成数列{an}，分析可得数列是首项a1＝64，公差d＝7的等差数列，该问题中的1 864人全部派遣到位的天数为n，则64n＋·7＝1 864，依次将选项中的n值代入检验得，n＝16满足方程．故选B．

数列与传统文化主要把传统文化与等差数列、等比数列和数列通项等数列知识相结合分类研讨．

考点三　不等式与传统文化

1．(2020·宜春模拟)太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在某个太极图案中，阴影部分可表示为A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2≤1或}；设点(x，y)∈A，则z＝3x＋4y的最大值与最小值之差为(　A　)

A．19　　 B．18　

C．－1　　 D．20

【解析】　如图，作直线3x＋4y＝0，当直线上移与圆x2＋(y－1)2＝1相切时，z＝3x＋4y取最大值，此时，圆心(0,1)到直线z＝3x＋4y的距离等于1，即＝1，

解得z的最大值为：4＋5＝9，

当下移与圆x2＋y2＝4相切时，z＝3x＋4y取最小值，

同理＝2，即z的最小值为－10．

所以：z＝3x＋4y的最大值与最小值之差是：9－(－10)＝19．

故选A．

2．(2020·中卫二模)《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青)．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a＋b，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3．设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，则下列推理正确的是(　A　)

①由图1和图2面积相等可得d＝；

②由AE≥AF可得≥；

③由AD≥AE可得≥；

④由AD≥AF可得a2＋b2≥2ab.

A．①②③④　　 B．①②④

C．②③④　　 D．①③

【解析】　由图1和图2面积相等ab＝(a＋b)d，

可得d＝，①对；

由题意知图3面积为ab＝AF，

AF＝，

AD＝BC＝，

图3设正方形边长为x，由三角形相似，＝，解之得x＝，则AE＝；

可以化简判断②③④对，

故选A．

3．(2020·湛江二模)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[2,2 019]时，符合条件的a共有(　C　)

A．133个　　 B．134个

C．135个　　 D．136个

【解析】　由题设a＝3m＋2＝5n＋3，m，n∈N*，

则3m＝5n＋1．

当m＝5k，n不存在；

当m＝5k＋1，n不存在；

当m＝5k＋2，n＝3k＋1，满足题意；

当m＝5k＋3，n不存在；

当m＝5k＋4，n不存在；

故2≤a＝15k＋8≤2 019，解≤k≤，k∈Z，

则k＝0,1,2，…，134，共135个．

故选C．

不等式与传统文化主要包括在勾股弦图、勾股容方、均值不等式、伯努利不等式(Bernoulli inequality)与导数等几个方面的应用．

考点四　立体几何与传统文化

1．(2020·新疆模拟)半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．一个二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为16π，则该二十四等边体的表面积为(　C　)

A．12＋4　　 B．18＋6

C．24＋8　　 D．36＋12

【解析】　∵二十四等边体的外接球的表面积为16π，

设其半径为r，则4πr2＝16π，解得r＝2，

设O为球心，依题意得四边形A，B，C，D分别为正方体侧棱的中点，

∴(AB)2＋(AB)2＝42，∴AB2＝4，

∴二十四等边体的棱长为2，

∴二十四等边体的表面积为：

S＝2×2×6＋×2×2×sin ×8＝24＋8，故选C．

2．(2020·临沂学业考试)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积及为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图主人意欲卖掉该堆粟已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为2 700立方寸(单位换算：1立方丈＝106立方寸)，一斛粟米卖270钱，一两银子1 000钱，则主人卖后可得银子(　D　)

A．200两　　 B．240两　

C．360两　　 D．400两

【解析】　∵有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，

∴底面半径r＝＝2(丈)，

∴体积V＝×πr2×h＝×3×22×1＝4(立方丈)＝4×106(立方寸)，

∴主人卖后可得银子：×＝400(两)．

3．(2020·兰州二诊)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为__84π__.(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)

【解析】　若球形容器表面积最小，则正四棱柱与球内接，此时球体的直径等于一组正四棱柱组成的长方体的体对角线长，即2R＝＝2，所以R＝，球形容器的表面积S＝4πR2＝84π.

立体几何与传统文化主要包括立体几何中几何体体积公式、古代传统建筑中的阳马、鳖臑、堑堵、祖暅原理、牟合方盖等．

考点五　概率统计、算法与传统文化

1．(2020·江西模拟)如图为《算法统宗》中的“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺外方七尺有奇．这是一种开平方的近似计算，即用7近似表示5，当内方的边长为5时，外方的边长为5，略大于7．在外方内随机掷100粒黄豆，则位于内方的黄豆数约为(　A　)

A．50　　 B．55　

C．60　　 D．65

【解析】　由题意可得S内方＝25，S外方＝50，

则从外方内随机取一点，此点取自内方的概率为＝，所以100×＝50．

故选A．

2．(2020·山东模拟)五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、微、羽．如果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，从所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽不相邻的概率为(　C　)

A．　　 B．　

C．　　 D．

【解析】　中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、微、羽．

把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，

基本事件总数n＝A＝120，

其中宫、羽不相邻包含的基本事件有：m＝AA＝72，

从所有的这些音序中随机抽出一个音序，

则这个音序中宫、羽不相邻的概率为p＝＝＝.

故选C．

3．(2020·吉林期末)八卦是中国道家文化的深奥概念，是一套用三组阴阳组成的哲学符号．八卦表示事物自身变化的阴阳系统，用“”代表阳，用“”代表阴，用这两种符号，按照大自然的阴阳变化平行组合，组成八种不同的形式(如图所示)．从图中的八卦中随机选取一卦，则此卦中恰有两个“”的概率为(　C　)

A．　　 B．　

C．　　 D．

【解析】　由图可知，恰有两个“”的是坎、艮、震，根据古典概型及其概率的计算公式，可得所求概率为.故选C．

4．(2020·淮北、宿州二模)古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：取线段AB＝2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC＝AB＝1，连接AC；以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E，则点E即为线段AB的黄金分割点．如图所示，在Rt△ABC中，扇形区域ADE记为Ⅰ，扇形区域CBD记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为P1，P2，P3，(参考数据：≈2.236)则(　B　)

A．P1>P2　　 B．P1<P2

C．P1＝P2＋P3　　 D．P2＝P1＋P3

【解析】　由题意可知S△ABC＝×2×1＝1，tan∠ACB＝2>，故∠ACB>，所以S扇形BCD>××12>，则S扇形BCD>S扇形ADE，即P2>P1，且P2>P1＋P3，故B正确．

5．(2020·安徽A10联盟最后一卷)《九章算术》中有如下问题：“今有牛、羊、马食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：‘我羊食半马．’马主曰：‘我马食半牛．’今欲衰偿之，问各出几何？”翻译为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说“我马吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，问：牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？已知1斗＝10升，针对这一问题，设计程序框图如图所示，若输出k的值为2，则m＝(　B　)

A．　　 B．　

C．　　 D．

【解析】　运行该程序，第一次循环，S＝50－m，k＝1；第二循环，S＝50－3m，k＝2；第三次循环，此时要输出k的值，则50－7m＝0，解得m＝.故选B．

概率统计、算法与传统文化主要是把数学文化与概率、统计、“黄金分割”、“太极图”、“回文数”等几个方面相结合分类研究．