高考数学二轮复习第2部分专题篇素养提升文理专题六函数与导数第1讲函数的概念图象与性质文理学案含解析

专题六　函数与导数

第1讲　函数的概念、图象与性质(文理)

JIE TI CE LUE MING FANG XIANG

解题策略·明方向　

⊙︱考情分析︱

1．高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度低中档．

2．对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题．

3．对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度中档偏下．

⊙︱真题分布︱

(理科)

(文科)

KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN

考点分类·析重点　

考点一　函数及其表示

1．函数的三要素

定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．

2．分段函数

对于分段函数，已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．

典例1　(1)(2020·百校联盟联考)已知函数g(x)＝，则不等式g(x)<1的解集为(　C　)

A．(0,2)　　 B．(－∞，2)

C．(－1,2)　　 D．(1,2)

(2)(2020·江苏省南京市高三联考)函数y＝的定义域为____.

(3)(2020·江苏百校联考)已知函数f(x)＝，则f的值为__9__.

【解析】　(1)根据题意，g(x)＝，

由不等式g(x)<1

得或

所以－1<x≤0或0<x<2．

即－1<x<2

所以不等式g(x)<1的解集为(－1,2)．故选C．

(2)由，解得x≥，所以原函数定义域为.

(3)f＝f＋2＝f＋4＝f＋6＝f＋8，

所以f＝sin＋8＝9．

函数及其表示问题的注意点

(1)求函数的定义域时，要全面地列出不等式组，不可遗漏，并且要注意所列不等式中是否包含等号．

(2)对于分段函数解方程或不等式的问题，要注意在所应用函数解析式对应的自变量的范围这个大前提，要在这个前提条件下解决问题．

1．(2020·吉林省重点中学联考)若函数f(x)＝，则不等式f(a)<2的解集是__(－1,3)__.

【解析】　当a≥0时，由f(a)<2，得a－1<2，∴0≤a<3；

当a<0时，由f(a)<2，得a2＋1<2，∴－1<a<0，

综上，不等式的解集为(－1,3)．

2．(2020·江苏省扬州市调研)设函数f(x)＝，则f[f(e－2)]＝__16__.

【解析】　∵e－2>0

∴f(e－2)＝2ln e－2＝－4<0，

则f[f(e－2)]＝f(－4)＝＝16．

考点二　函数的图象及其应用

1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．

2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．

典例2　(1)(2020·浙江省杭州重点中学期中)函数f(x)＝的图象大致为(　B　)

(2)(2019·苏州调研)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为__{x|－1＜x≤1}__.

【解析】　(1)∵x≠0，f(－x)＝＝－f(x)∴f(x)为奇函数，舍去A，

∵f(1)＝e－e－1>0∴舍去D；

∵f′(x)＝＝∴x>2，f′(x)>0，

所以舍去C；因此选B．

(2)令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图．

由得

所以结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}．

函数图象应用的常见题型与求解策略

(1)研究函数性质

①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点分析函数的最值、极值；

②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；

③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性；

④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．

(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)(下一讲研究)．

(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．

3．(2020·贵阳一中、云师大附中、南宁三中联考)函数f(x)＝的图象大致为(　B　)

【解析】　由f(x)为奇函数，得f(x)的图象关于原点对称，排除C，D；又当0<x<时，f(x)>0，故选B．

考点三　函数的性质及其应用

1．函数的单调性

对于函数y＝f(x)的定义域内某一区间D上的任意x1，x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0(＜0)⇔y＝f(x)在区间D上是增(减)函数．

2．函数的奇偶性

对于定义域(关于原点对称)内的任意x，f(x)＋f(－x)＝0⇔y＝f(x)是奇函数；

对于定义域(关于原点对称)内的任意x，f(x)－f(－x)＝0⇔y＝f(x)是偶函数．

3．函数的周期性

(1)若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2|a|(a≠0)；

(2)若f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2|a|(a≠0)；

(3)若满足f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，其中f(x)≠0，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2|a|(a≠0)．

典例3　(1)(2020·吉林省重点中学联考)已知二次函数f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)，若f(x)在区间[3，＋∞)上单调递减，且f(m)≥f(0)恒成立，则实数m的取值范围是(　B　)

A．(－∞，0]　　 B．[0,6]

C．[6，＋∞)　　 D．(－∞，0]∪[6，＋∞)

(2)(2020·运城模拟)偶函数f(x)对于任意实数x，都有f(2＋x)＝f(2－x)成立，并且当－2≤x≤0时，f(x)＝2－x，则f＝(　C　)

A．　　 B．－　

C．　　 D．－

【解析】　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R，且a≠0)，

∵f(3＋x)＝f(3－x)，∴a(3＋x)2＋b(3＋x)＋c＝a(3－x)2＋b(3－x)＋c，

∴x(6a＋b)＝0，∴6a＋b＝0，∴f(x)＝ax2－6ax＋c＝a(x－3)2－9a＋c.

又∵f(x)在区间[3，＋∞)上单调递减，∴a<0，

∴f(x)是以x＝3为对称轴，开口向下的二次函数，

∴由f(m)≥f(0)恒成立，得0≤m≤6，

∴实数m的取值范围[0,6]．故选B．

(2)对任意实数x都有f(4＋x)＝f[2＋(2＋x)]＝f[2－(2＋x)]＝f(－x)，

由于f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)．

所以f(4＋x)＝f(x)．

所以函数f(x)是以4为周期的周期函数．

所以f＝f＝f＝f＝2－＝.

故选C．

灵活应用函数的性质解题

(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)．

(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．

(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．

(4)对称性：利用其轴对称或中心对称可将研究的问题转化到另一对称区间上研究．

4．(2020·吉林省重点高中第二次月考)已知奇函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上单调递增，若f(cos x＋cos 2x)＋f(cos x＋m)≥0对任意的x∈(－∞，＋∞)成立，则实数m的最小值为____.

【解析】　因为f(x)在定义域(－∞，＋∞)上单调递增且为奇函数，

所以f(cos x＋cos 2x)＋f(cos x＋m)≥0对任意的x∈(－∞，＋∞)成立⇔cos x＋cos 2x＋cos x＋m≥0对任意的x∈(－∞，＋∞)成立．

2cos2x＋2cos x－1＋m≥0对任意的x∈(－∞，＋∞)成立．

令g(x)＝2cos2x＋2cos x－1＝22－，

故当cos x＝－时，g(x)min＝－，

只需－＋m≥0即可，∴m≥

YI CUO QING LING MIAN SHI WU

易错清零·免失误　

1．函数的概念不清致误

典例1　已知函数f(x2－3)＝lg，求函数f(x)的定义域

【错解】　由>0，得x<－2或x>2，

所以函数f(x)的定义域为：{x|x<－2或x>2}．

【剖析】　错把lg的定义域当作了函数f(x)的定义域导致错误．

【正解】　由f(x2－3)＝lg，设t＝x2－3，则x2＝t＋3，因此f(t)＝lg，

因为>0，所以x2>4，所以t＋3>4，即t>1，

所以函数f(x)的定义域为：{x|x>1}．

2．分段函数的意义理解不准致误

典例2　已知x∈N*，f(x)＝，求f(3)．

【错解】　因为f(x)＝，所以f(x＋2)＝x＋2－5＝x－3，

所以f(x)＝，

故f(3)＝3－3＝0．

【剖析】　f(x＋2)＝x＋2－5＝x－3的应用是错误的，因为x＋2≥6不一定，故解法错误．

【正解】　因为f(x)＝，

所以f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2．

3．在求函数单调区间时忽略定义域致误

典例3　函数f(x)＝log(x2－5x＋6)的单调递增区间为__(－∞，2)__.

【错解】　二次函数y＝x2－5x＋6的对称轴为：x＝，所以f(x)＝log(x2－5x＋6)的的单调增区间为：

【剖析】　忽略x2－5x＋6>0，即忽略函数f(x)的定义域导致错误．

【正解】　由x2－5x＋6>0得x<2或x>3，令μ＝x2－5x＋6则μ＝x2－5x＋6在(－∞，2)上是减函数，所以f(x)＝log(x2－5x＋6)的单调增区间为(－∞，2)．