高考数学二轮复习第2部分专题篇素养提升文理专题六函数与导数第2讲基本初等函数函数与方程文理学案含解析

第2讲　基本初等函数、函数与方程(文理)

JIE TI CE LUE MING FANG XIANG

解题策略·明方向　

⊙︱考情分析︱

基本初等函数作为高考的命题热点，多单独或与不等式综合考查，常以选择题、填空题的形式出现．有时难度较大，函数的应用问题集中体现在函数零点个数的判断，零点所在区间等方面．近几年全国卷考查较少，要引起重视．

⊙︱真题分布︱

(理科)

(文科)

KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN

考点分类·析重点　

考点一　基本初等函数的图象与性质

指数函数与对数函数的图象与性质

典例1　(1)(2020·北京昌平区期末)已知函数f(x)的图象与函数y＝2x的图象关于x轴对称，则f(x)＝(　A　)

A．－2x　　 B．2－x

C．－log2x　　 D．log2x

(2)(2020·辽宁省沈阳市一模)已知a＝3，b＝2，c＝log32，则a，b，c的大小关系为(　D　)

A．a<b<c　　 B．b<a<c

C．c<a<b　　 D．c<b<a

【解析】　(1)设点(x，y)是函数f(x)上任意一点，则点(x，－y)在函数y＝2x的图象上，

即－y＝2x⇒y＝－2x，

所以函数f(x)的解析式为：f(x)＝－2x，故选A．

(2)∵a＝3＝9，b＝2＝8，9>8>80＝1∴a>b>1

∵c＝log32<log33＝1∴a>b>1>c，故选D

基本初等函数图象与性质的应用技巧

(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．

(2)研究由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数的性质，首先通过换元法转化为两个或多个基本初等函数，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．

1．(2019·浙江)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　D　)

【解析】　当0＜a＜1时，

函数y＝ax的图象过定点(0,1)，在R上单调递减，

于是函数y＝的图象过定点(0,1)，在R上单调递增，

函数y＝loga的图象过定点，

在上单调递减．

因此，选项D中的两个图象符合．

当a＞1时，函数y＝ax的图象过定点(0,1)，

在R上单调递增，

于是函数y＝的图象过定点(0,1)，

在R上单调递减，

函数y＝loga的图象过定点，

在上单调递增．

显然A，B，C，D四个选项都不符合．故选D．

2．(2020·江西省红色七校第一次联考)若a，b，c，满足2a＝3，b＝log25,3c＝2，则(　A　)

A．c<a<b　　 B．b<c<a

C．a<b<c　　 D．c<b<a

【解析】　因为2a＝3∈(2,22)，

所以1<a<2，因为3c＝2∈(1,3)，

所以0<c<1，又b＝log25>log24＝2，所以c<a<b.

考点二　函数的零点

函数的零点与方程根的关系

函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．

考向1　确定函数零点的个数或其存在范围

典例2　(1)(2020·吉林省重点高中第二次月考)函数f(x)＝x3－x2－4x的一个零点所在区间为(　A　)

A．(－2,0)　　 B．(－1,0)

C．(0,1)　　 D．(1,2)

(2)(2020·辽宁省沈阳市一模)已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝，则函数g(x)＝8[f(x)]2－6f(x)＋1的零点个数为(　C　)

A．20　　 B．18　

C．16　　 D．14

【解析】　(1)因为f(x)＝x3－x2－4x＝x(x2－x－4)，

令g(x)＝x2－x－4，则g(－2)＝2，g(－1)＝－2，g(0)＝－4，g(1)＝－4，g(2)＝－2．

又函数g(x)的图象是一条连续不断曲线，且g(－2)·g(0)＝2×(－4)＝－8<0，

所以根据零点存在性定理可得，g(x)有一个零点在区间(－2,0)内，

又g(x)的零点也是f(x)的零点，

所以f(x)＝x3－x2－4x的一个零点所在区间为(－2,0)．故选A．

(2)∵g(x)＝8[f(x)]2－6f(x)＋1＝0∴f(x)＝或f(x)＝

根据函数解析式以及偶函数性质作f(x)图象，零点个数为6＋10＝16．

故选C．

判断函数零点个数的方法

考向2　根据函数的零点求参数取值(范围)

典例3　(2020·四川省绵阳市二诊)函数f(x)＝(2ax－1)2－loga(ax＋2)在区间上恰有一个零点，则实数a的取值范围是(　D　)

A．　　 B．[3，＋∞)

C．(1,2)∪[3，＋∞)　　 D．[2,3)

【解析】　函数f(x)＝(2ax－1)2－loga(ax＋2)在区间上恰有一个零点，

则f(0)＝1－loga2，f＝1－loga3，

由二次函数的图象与对数函数的图象可知，函数零点至多有两个．

且因为恰有一个零点，所以满足(1－loga2)(1－loga3)≤0且1－loga2＝0与1－loga3＝0在上不同时成立．

解不等式(1－loga2)(1－loga3)≤0可得2≤a≤3．

当a＝3时，函数f(x)＝(6x－1)2－log3(3x＋2)，区间为

且满足f(0)＝1－log32>0，f＝0－log34<0，f＝1－log33＝0

所以在内有一个零点，x＝为一个零点．故由题意可知，不符合要求

综上可知，a的取值范围为[2,3)，故选D．

利用函数零点的情况求参数值(或范围)的三种方法

3．(1)(2020·宿州二模)已知函数f(x)＝g(x)＝－f(－x)，则方程f(x)＝g(x)的解的个数为(　A　)

A．4　　 B．3

C．2　　 D．1

(2)(2020·绵阳二模)函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当－1≤x≤1时，f(x)＝|x|.若函数y＝f(x)的图象与函数g(x)＝logax(a＞0，且a≠1)的图象有且仅有4个交点，则a的取值集合为(　C　)

A．(4,5)　　 B．(4,6)

C．{5}　　 D．{6}

【解析】　(1)函数f(x)＝的图象如图所示，

由g(x)＝－f(－x)，可得g(x)和f(x)的图象关于原点对称，在同一坐标系内再作出y＝g(x)的图象，

可得y＝f(x)和y＝g(x)的图象有4个交点，

则方程f(x)＝g(x)的解的个数为4．

故选A．

(2)因为f(x＋2)＝f(x)，

所以f(x)的周期为2，

在x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|.

画出函数f(x)与g(x)＝logax的图象如图所示；

若函数y＝f(x)的图象与函数g(x)＝logax(a＞0，且a≠1)的图象有且仅有4个交点，则函数g(x)＝logax的图象过(5,1)点，即a＝5．

考点三　函数模型的实际应用

函数的三种常见模型

(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解．

(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．

(3)构建f(x)＝x＋(a＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．

典例4　(1)(2020·辽宁模拟)人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级，30～40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的噪声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为f(x)dB，则有f(x)＝10×lg，则90dB的声音与50dB的声音强度之比为(　D　)

A．10　　 B．100　

C．1 000　　 D．10 000

(2)(2020·潍坊模拟)某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为(　C　)

A．上午10：00　　 B．中午12：00

C．下午4：00　　 D．下午6：00

【解析】　(1)由题意，可知

当声音强度的等级为90dB时，有10×lg＝90，

即lg＝9，

则＝109，

此时对应的强度x＝109×10－12＝10－3，

当声音强度的等级为50dB时，有10×lg＝50，

即lg＝5，

则＝105，

此时对应的强度x＝105×10－12＝10－7，

∴90dB的声音与50dB的声音强度之比为

＝10－3－(－7)＝104＝10 000．

故选D．

(2)当x∈[0,4]时，设y＝k1x，

把(4,320)代入，得k1＝80，∴y＝80x.

当x∈[4,20]时，设y＝k2x＋b.

把(4,320)，(20,0)分别代入可得

∴y＝400－20x.

∴y＝f(x)＝

由y≥240，得或

解得3≤x≤4或4<x≤8，

∴3≤x≤8．

故第二次服药最迟应在当日下午4：00．故选C．

解决函数实际应用题的两个关键点

(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学概括，将实际问题归纳为相应的数学问题．

(2)要合理选取参数变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解函数模型使实际问题获解．

4．(2020·怀柔区一模)某网店“五一”期间搞促销活动，规定：如果顾客选购商品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购商品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按表累计计算.

如果某人在网店所购商品获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为__1 120__元．

【解析】　设购物金额为x，优惠金额为y，则由题意可得：

y＝.

显然当y＝30时，x＞1 100，

令25＋0.1(x－1 100)＝30，解得x＝1 150．

故只需实际费用为1 150－30＝1 120元．

YI CUO QING LING MIAN SHI WU

易错清零·免失误　

1．忽视对指数函数、对数函数的底数中的参数的讨论

典例1　已知函数f(x)＝ax2－3x＋3，当x∈[1,3]时，有最小值8，求a的值．

【错解】　因为f(x)＝ax2－3x＋3＝a(x－)2＋，所以f(x)在内递减，在内递增，因为当x∈[1,3]时，有最小值8，所以f＝8，即a＝8，所以a＝16．

【剖析】　错解答案是“歪打正着”，实际上错解忽视了对a的讨论，f(x)的单调性要按a>1或0<a<1，两种情况去讨论．

【正解】　令f(u)＝au，u＝g(x)＝x2－3x＋3＝2＋.

当a>1时，由于f(u)递增，g(x)在内递减，在内递增，所以f(x)在内递减，在内递增，因为当x∈[1,3]时，f(x)min＝8，所以当x∈[1,3]时，f(x)min＝f()＝8，即a＝8，所以a＝16．

当0<a<1时，由于f(u)递减，g(u)在内递减，在内递增，所以f(x)在内递增，在内递减，因为当x∈[1,3]时，f(x)min＝8，所以f(3)＝8，即a＝2(不符合0<a<1，舍去)．

综上得a＝16．

典例2　已知函数f(x)＝loga(a>0，a≠1)．

(1)求f(x)的定义域；

(2)求使得f(x)>0的x的取值范围．

【错解】　(1)令>0得－1<x<1，即x∈(－1,1)．

(2)由loga>0＝loga1得>1，解得0<x<1，所以x∈(0,1)．

【剖析】　第(1)问的解答是正确的，第(2)问将对数不等式化成分式不等式时，没有按照0<a<1与a>1分类讨论函数的单调性．

【正解】　(2)依题令loga>0＝loga1，(*)

当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)内递增，当0<a<1时，

y＝logax在(0，＋∞)内递减，所以，

当a>1时，由式(*)得解得0<x<1；

当0<a<1时，由式(*)得解得－1<x<0．

故当a>1时，f(x)>0的x的取值范围是(0,1)；

当0<a<1时，f(x)>0的x的取值范围是(－1,0)．

2．判断函数的零点的个数时忽略函数图象的不连续而致误

典例3　函数f(x)＝x＋的零点的个数为(　A　)

A．0　　 B．1　

C．2　　 D．3

【错解】　因为f(－1)＝－2，f(1)＝2，所以f(－1)f(1)<0，函数f(x)＝x＋有一个零点，选B．

【剖析】　分析函数的有关问题首先考虑定义域，其次考虑函数f(x)＝x＋的图象是不是连续的，这里的函数的图象是不连续的，所以不能用零点的判断定理．

【正解】　函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)<0，所以函数没有零点，也可由x＋＝0得x2＋1＝0方程无实数解．故选A．

3．在解决实际应用题时计量单位缺乏量纲意识

典例4　甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为P万元和Q万元，它们与投入资金x(万元)的关系有经验公式P＝x，Q＝.现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少元？

【错解1】　设对甲种商品投入金额x元，则乙种商品投资为30 000－x元，获得利润总额为y元．

则将利润总额为y的单位换算成元有：y＝x＋，x∈[0,30 000]，令

＝t，则x＝30 000－t2，t∈[0,100]

⇒y＝(30 000－t2)＋t＝－(t－)2＋6 000，t∈[0,100]．

⇒t＝⇒x＝29 997.75(元)，30 000－x＝2.25(元)．

【错解2】　设对甲种商品投入金额x元，则乙种商品投资为30 000－x元，获得利润总额为y元．

把利润总额单位转化为元，则y＝x·10 000＋，x∈[0,30 000]，

令＝t，则x＝30 000－t2，t∈[0,100]

⇒y＝2 000·(30 000－t2)＋t＝－2 000(t－)2＋6×107＋×10－5，t∈[0,100]．

⇒t＝.时y最大，此时对甲商品资金投入量为x＝30 000－()2＝29 999.999 999 977 5元，对乙商品资金投入量为0.000 000 022 5元，此时甲商品获得利润60 000 000.000 045元．(不管怎样分配，甲商品都赚了投入资金的1 999倍的钞票！)

【错解3】　设对甲种商品投入金额x元，则乙种商品投资为30 000－x元，获得利润总额为y元．

由于利润总额单位为万元，故y＝(x＋)，

令＝t，则x＝30 000－t2，t∈[0,100]

y＝－(30 000－t2)＋t＝－[(t－)2＋6 000]，t∈[0,100]．

⇒t＝⇒x＝29 997.75(元)，30 000－x＝2.25(元)．

【剖析】　量纲不统一，对经验公式P＝x，Q＝的单位理解不清．从量纲角度看，长度立方为体积、长度平方为面积(正如体积的立方根为长度、面积的算术平方根长度一样)，Q＝的单位由经验公式给出的前提是变量x的单位万元确定，因此．

【正解1】　设对甲种商品投入金额x万元，是乙种商品投资为(3－x)万元，获得的利润总额为y万元．

由题意，得y＝x＋，x∈[0,3]，设＝t，则x＝3－t2，t∈[0，]，则

y＝(3－t2)＋t＝－(t－)2＋，t∈[0，]．

∴当t＝∈[0，]时，ymax＝，即x＝3－＝，3－x＝3－＝.

因此，为获取最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元．

【正解2】　设对甲种商品投入金额x元，则目标函数应该为

y＝·＋＝x＋

令＝t，则x＝30 000－t2，t∈[0,100]

则y＝(30 000－t2)＋t＝－(t－150)2＋⇒x＝30 000－t2＝7 500(余与解一同)