高考数学二轮复习第2部分专题篇素养提升文理专题一三角函数三角恒等变换与解三角形第1讲三角函数的图象与性质学案含解析

第二部分　专题篇·素养提升(文理)

专题一　三角函数、三角恒等变换与解三角形

第1讲　三角函数的图象与性质

JIE TI CE LUE MING FANG XIANG

解题策略·明方向　

⊙︱考情分析︱

1．高考对此部分内容的命题主要集中在三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．

2．主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下．

⊙︱真题分布︱

(理科)

(文科)

KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN

考点分类·析重点　

考点一　三角函数的定义、诱导公式及基本关系

1．三角函数

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.

2．同角关系

sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.

(sin α±cos α)2＝1±sin 2α.

3．诱导公式

在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．

典例1　(1)(2020·吉林省重点高中第二次月考)若角α的终边过点P(－，cos 0)，则tan α的值是(　B　)

A．　　 B．－　

C．　　 D．－

(2)(2020·吉林省重点高中第二次月考)已知某扇形的面积为2.5 cm2，若该扇形的半径r，弧长l满足2r＋l＝7 cm，则该扇形圆心角大小的弧度数是(　D　)

A．　　 B．5　

C．　　 D．或5

(3)(2020·江苏省八校联考)已知α是第二象限角，其终边上一点P(x，)，且cos α＝－，则x的值为__－2__.

(4)(2020·吉林省重点高中第二次月考)化简：＝____.

【解析】　(1)根据题意，可得tan α＝＝－＝－.故选B．

(2)据题意，得解得或所以＝或5．故选D．

(3)由α终边上一点P(x，)，得cos α＝＝－，解得：x2＝4，α是第二象限角，所以x的值为－2．

(4)＝

＝＝.

(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．

(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．

1．(1)已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为____.

(2)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则sin β＝____.

【解析】　(1)tan θ＝＝＝－1，

又sin >0，cos <0，所以θ为第四象限角，

又θ∈[0,2π)，所以θ＝.

(2)由角α与角β的终边关于y轴对称，

可得β＝(2k＋1)π－α，k∈Z，

∵sin α＝，∴sin β＝sin[(2k＋1)π－α]＝sin α＝.

考点二　三角函数的图象及应用

三角函数图象的两种变换方法

典例2　(1)(2020·四川省成都外国语学校月考)将函数y＝sin的图象向右平移单位后，所得图象对应的函数解析式为(　D　)

A．y＝sin　　 B．y＝sin

C．y＝sin　　 D．y＝sin

(2)(2020·合肥模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图，且f(0)＝1，则f的值为(　A　)

A．－1　　 B．－　

C．－　　 D．－

(3)(2020·武昌区模拟)已知ω＞0，函数f(x)＝sin的图象在区间上有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范围是__∪∪__.

【解析】　(1)y＝sin化解为

y＝sin，故选D．

(2)根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象，

可得：＝·＝－，

解得：ω＝3．

再根据五点法作图可得3·＋φ＝，

可得：φ＝，

故：f(x)＝Asin

由于：f(0)＝Asin  ＝A＝1，

可得：A＝，可得f(x)＝sin.

则f＝sin＝－1．

故选A．

(3)函数f(x)＝sin(ω>0)的图象在内有且仅有一条对称轴，

根据正弦函数的对称轴性质，可得ω·－<kπ＋<ωπ－⇒<ω<，k∈Z，①

又因为：π－≤T＝⇒ω≤4；②

∵ω>0；③

因为有且仅有一条对称轴；所以还需满足：ωπ－≤(k＋1)π＋且(k－1)π－≤ω－；

即≤ω≤④

联立①②③④解得：

ω∈∪∪.

(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．

(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向．

2．(1)(2020·四川省成都七中模拟)已知将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数g(x)的图象．若g(x)是偶函数．则f＝(　A　)

A．　　 B．　

C．　　 D．1

(2)(2020·四川省绵阳市二诊)函数y＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f(x)在区间[－π，π]上的零点之和为____.

【解析】　(1)由题意可得：g(x)＝sin(2x＋3φ)，

因为g(x)是偶函数，所以3φ＝＋kπ(π∈Z)，即φ＝＋(k∈Z)，

又0<φ<，所以k＝0，故φ＝.

所以f＝sin＝.故选A．

(2)由题意T＝×＝π，∴ω＝＝2，又sin＝1且|φ|<，

∴φ＝，

∴f(x)＝sin.

由sin＝0得2x＋＝kπ，x＝－，k∈Z，

在[－π，π]内有：－，－，，，它们的和为.

考点三　三角函数的性质及综合应用

1．三角函数的单调区间

y＝sin x的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)；y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tan x的单调递增区间是(k∈Z)．

2．三角函数的奇偶性与对称轴方程

(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；

当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；

对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．

(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；

当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；

对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．

(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．

考向1　三角函数的值域、最值问题

典例3　(1)(2020·浙江省杭州重点中学期中)若f(x)＝sinx＋cosx在[－a，a]是增函数，则a的最大值是(　A　)

A．　　 B．　

C．　　 D．π

(2)(2020·重庆模拟)已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，x∈R.

①求函数f(x)的最小正周期；

②求函数f(x)在x∈的最值．

【解析】　(1)函数f(x)＝sinx＋cosx，

所以f(x)＝sin.

由正弦函数的单调递增区间可知，f(x)＝sin的单调递增区间为

－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，

解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.

因为在[－a，a]是增函数，且a>0．

所以a的最大值是，故选A．

(2)函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.

①根据函数的解析式可知，函数的最小正周期为T＝＝π.

②由于x∈，所以－≤2x＋≤，

当2x＋＝－时，即x＝－时函数的最小值为2×＝－.

当2x＋＝时，即x＝时，函数的最大值为2×1＝2．

三角函数值域(最值)的三种求法

(1)直接法：利用sin x，cos x的有界性直接求．

(2)单调性法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，采用整体思想，求出ωx＋φ的范围，根据y＝sin x的单调性求出函数的值域(最值)．

(3)换元法：对于y＝asin2x＋bsin x＋c和y＝a(sin x＋cos x)＋bsin xcos x＋c型常用到换元法，转化为二次函数在限定区间内的最值问题．

考向2　三角函数性质的综合问题

典例4　(2020·朝阳区模拟)已知f(x)＝2sin xcos x－2coscos.

(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)当x∈[0，π]时，若f(x)∈(－1,1]，求x的取值范围．

【解析】　(1)f(x)＝2sin xcos x－2coscos

＝sin 2x－2coscos

＝sin 2x－2sincos

＝sin 2x－sin

＝sin 2x－cos 2x

＝2sin，

∴T＝＝π，

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

故函数f(x)的单调递增区间为：，k∈Z，

(2)∵f(x)∈(－1,1]，

∴－1<2sin≤1，

∴－<sin≤，

∴－＋2kπ<2x－≤＋2kπ或＋2kπ≤2x－<＋2kπ，(k∈Z)

∴kπ<x≤＋kπ或＋kπ≤x<＋kπ，(k∈Z)

当k＝0时，0<x≤或≤x<，满足x∈[0，π]，

当k＝1时，不满足x∈[0，π]，

综上所述x的范围为∪.

解决三角函数性质综合问题的三种意识

(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．

(2)整体意识：类比y＝sin x的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解．

(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论．

3．设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　D　)

A．f(x)的一个周期为－2π

B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

C．f(x＋π)的一个零点为x＝

D．f(x)在单调递减

【解析】　方法一：f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；

f＝cos＝cos 3π＝－1，为f(x)的最小值．故B正确；

∵f(x＋π)＝cos＝－cos，

∴f＝－cos＝－cos＝0．故C正确；

由于f＝cos＝cos π＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调．故D错误．

方法二：y＝cos x的图象向左平移个单位得y＝cos的图象，观察其图象如图所示．

显然在不单调．故选D．

YI CUO QING LING MIAN SHI WU

易错清零·免失误　

1．求周期时用错对称中心与对称轴

典例1　已知函数f(x)＝sin(3π－ωx－φ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，则函数f(x)的最小正周期为__4π__，ω＝____.

【错解】　因为f(x)＝sin(3π－ωx－φ)

所以f(x)＝sin(ωx＋φ)，

因为其图象相邻两条对称轴的距离为2π，

所以函数f(x)的最小正周期为2π，

所以ω＝＝1．

【剖析】　上述解法的错误，是误以为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为一个最小正周期，而导致错误，需要注意f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为半个最小正周期；另外，做此类题时还易搞混函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)的图象的对称中心与对称轴对应的x的值．

【正解】　因为f(x)＝sin(3π－ωx－φ)，

所以f(x)＝sin (ωx＋φ)，

因为其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，

所以函数f(x)的最小正周期为4π，

所以ω＝＝.

2．对三角函数图象变换时平移的方向和长度把握不准

典例2　(2020·江西名校入学调研)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<)的图象如图所示，为了得到y＝f(x)的图象，只需把函数g(x)＝sin ωx－cos ωx的图象上的所有点(　B　)

A．向左平移个单位长度

B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

【错解】　由f(x)的图象可知A＝1，T＝－，

∴T＝π，∴ω＝＝2，

∴f(x)＝sin(2x＋φ)．

又当x＝时，f(x)＝0，

∴＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，

∴φ＝2kπ＋(k∈Z)，

又|φ|<，

∴φ＝，

∴f(x)＝sin.

g(x)＝sin2x－cos 2x＝sin，

由g(x)＝sin，得到f(x)＝sin，

只需把g(x)＝sin的图象上的点向右平移个单位，故选C．

【剖析】　上述解法有两处错误，一是在把g(x)＝sin平移得到f(x)＝sin时，平移方向错误，二是把平移的长度计算错误，从而导致选项错误．

【正解】　由题意知A＝1，记f(x)的最小正周期为T，由于＝－＝，故T＝＝π，

所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，g(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin.

由f＝sin＝0，解得φ＝，

故f(x)＝sin＝sin 2.

又g(x)＝sin＝sin 2，

故将g(x)的图象上的所有点向左平移个单位长度可得到f(x)的图象．

故选B． 

3．由图象求解析式时忽视φ的范围导致错解

典例3　若函数f(x)＝sin(ωx－φ)(ω>0，|φ|<π)在区间上的图象如图所示，则f(x)的解析式为(　A　)

A．f(x)＝sin　　 B．f(x)＝sin

C．f(x)＝sin　　 D．f(x)＝sin

【解析】　记f(x)的最小正周期为T.

由图知，＝－，所以T＝π，所以ω＝＝2．

由图知，当x＝，即x＝－时，f(x)＝－1，

所以－×2－φ＝－＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝－2kπ(k∈Z)．

又|φ|<π，

所以φ＝，所以f(x)的解析式为f(x)＝sin，故选A．

【剖析】　由图象求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)的解析式时，可根据图象的最高点或最低点求出A的值；由图象得到函数的最小正周期T的值，再利用公式T＝求出ω的值；最后利用图象过特殊点以及φ的范围，即可求出φ的值，求φ值时，一般选图象的最高点或最低点的坐标代入，常可避开增解；若只有图象与x轴的交点的坐标是已知的，将该点的坐标代入时，一定要数形结合，并注意φ的范围，否则就易跳入命题人所设置的陷阱，产生增解．

4．求解析式形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的单调区间时忽略角的范围

典例4　函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则f(x)在上的单调递增区间为(　A　)

A．　　 B．

C．　　 D．

【解析】　因为f(x)＝sin，

所以f(x)＝cos(2x＋φ)，

函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度，

所得图象对应的函数的解析式为f1(x)＝

cos＝cos.

因为所得图象关于原点对称，

所以φ－＝kπ＋(k∈Z)，

解得φ＝kπ＋(k∈Z)．

因为|φ|<，所以k＝－1，φ＝－，

则原函数为f(x)＝cos.

由2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

又x∈，

所以－≤x≤，即f(x)在上的单调递增区间为，故选A．

【剖析】　求解此类题时的易错点有三处：一是化简出错，记清诱导公式即可避开此类错误；二是函数的解析式求错，三角函数的图象变换后对应的函数的解析式写错，需注意当ω≠1时，函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象向左(或向右)平移α(α>0)个单位长度，所得的图象对应的函数的解析式为y＝Asin[ω(x＋α)＋φ](ω>0)(或y＝Asin[ω(x－α)＋φ](ω>0))；三是忽视已知条件中的角的范围，在求三角函数的单调区间时要注意与已知角的范围结合．