高考数学二轮复习第3部分思想篇素养升华第4讲转化与化归思想学案含解析

第4讲　转化与化归思想

SI XIANG FANG FA JIE DU

思想方法·解读

转化与化归思想是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之等价转化，进而成为解决问题的一种思想．其应用包括以下三个方面：

(1)将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．

(2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题．

(3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．

SI XIANG FANG FA YING YONG

思想方法·应用

应用一　特殊与一般的转化

典例1　(2020·葫芦岛模拟)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，点M在对角线AC上，点N在边CD上，且＝，＝，则·＝(　C　)

A．　　 B．4　

C．　　 D．

【解析】　＝－＝＋－(＋)＝＋，

∴·＝·(＋)

＝2＋2＋·

＝＋＝.

故选C．

化一般为特殊的应用

(1)常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．

(2)对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷得到答案．

(3)对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．

应用二　函数、方程、不等式之间的转化

典例2　(1)(2020·河南模拟)已知区间(a，b)是关于x的一元二次不等式mx2－2x＋1＜0的解集，则3a＋2b的最小值是(　C　)

A．　　 B．5＋2

C．＋　　 D．3

(2)(2019·烟台二模)已知函数f(x)＝ln x．若不等式mf(x)≥a＋x对所有m∈[0,1]，x∈都成立，则实数a的取值范围为__(－∞，－e2]__.

【解析】　(1)∵(a，b)是不等式mx2－2x＋1＜0的解集，

∴a，b是方程mx2－2x＋1＝0的两个实数根且m＞0，

∴a＋b＝，ab＝，

∴＝＋＝2；且a>0，b>0；

∴3a＋2b＝·(3a＋2b)·

＝·≥＝

(5＋2)，

当且仅当b＝a时“＝”成立；

∴3a＋2b的最小值为(5＋2)＝＋.

故选C．

(2)由题意得，a≤mln x－x对所有的m∈[0,1]，x∈都成立，

令H(m)＝ln x·m－x，m∈[0,1]，

x∈是关于m的一次函数，

因为x∈，所以－1≤ln x≤2，

所以 所以

所以

令g(x)＝ln x－x，

所以g′(x)＝，

所以函数g(x)在上是增函数，

在[1，e2]上是减函数，

所以g(x)min＝g(e2)＝2－e2，

所以a≤2－e2．

综上知a≤－e2．

函数、方程与不等式相互转化的应用

函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系问题转化为函数最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．

应用三　正难则反的转化

典例3　(2019·大连二模)若对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2－2x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是____.

【解析】　g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，

若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，

则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，

或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立(正反转化)．

由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，

即m＋4≥－3x，

当x∈(t,3)时恒成立，

所以m＋4≥－3t恒成立，

则m＋4≥－1，

即m≥－5；

由②得3x2＋(m＋4)x－2≤0，

即m＋4≤－3x，

当x∈(t,3)时恒成立，

则m＋4≤－9，

即m≤－.

于是g(x)在区间(t,3)上为单调函数的m的取值范围为∪[－5，＋∞)．

所以函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为.

(1)本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则．

(2)题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中．