高考数学二轮复习第1部分方法篇素养形成文理第2讲集合与常用逻辑用语文理学案含解析

第2讲　集合与常用逻辑用语(文理)

JIE TI CE LUE MING FANG XIANG

解题策略·明方向　

⊙︱考情分析︱

1．本部分作为高考必考内容，仍会以选择题的形式在前几题的位置考查，难度较低．

2．命题的热点依然会考查集合的运算，集合的基本关系的相关命题要注意．

3．常用逻辑用语考查的频率不多，且命题点分散，主要是充要条件的判断及含有量词的命题的否定交汇综合命题．

⊙︱真题分布︱

(理科)

(文科)

KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN

考点分类·析重点　

考点一　集合

1．集合间的基本关系的四个重要结论

(1)A⊆B(A是B的子集)

(2)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集，即∅⊆A，∅B(B≠∅)．

(3)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；空集只有一个子集，即它本身．

(4)含有n(n∈N*)个元素的集合有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集．

2．集合的运算性质及重要结论

(1)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.

(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅.

(3)A∪A＝A，A∪∅＝A.

(4)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.

(5)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔(∁UA)⊇(∁UB)⇔A∩(∁UB)＝∅.

1．(2020·青海省玉树州高三联考)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∪N＝(　D　)

A．{－1,0,1}　　 B．{－2,0,2}

C．{0}　　 D．{－2，－1,0,1,2}

【解析】　因为N＝{x|x＝2a，a∈M}，M＝{－1,0,1}，

所以N＝{－2,0,2}，

所以M∪N＝{－2，－1,0,1,2}，故选D．

2．(2020·陕西省汉中市质检)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x∈Z|x2－4x<0}，则A∩B＝(　C　)

A．{x|0<x<3}　　 B．{1,2,3}

C．{1,2}　　 D．{2,3,4}

【解析】　∵B＝{x∈Z|x2－4x<0}＝{x∈Z|0<x<4}，

∴B＝{1,2,3}，

∵A＝{x|－1<x<3}，

∴A∩B＝{1,2}，故选C．

3．(2020·安徽省皖江联盟联考)已知全集为R，集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝，则A∩(∁UB)的元素个数为(　C　)

A．1　　 B．2　

C．3　　 D．4

【解析】　∵B＝{x|<0}＝{x|－2<x<1}，

∴∁UB＝{x|x≤－2或x≥1}，

∴A∩(∁UB)＝{－2,1,2}，有3个元素，故选C．

4．(2020·云南省昆明市月考)已知集合A＝{x∈N|x2≤1}，集合B＝{x∈Z|－1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合为(　C　)

A．[1,3]　　 B．(1,3]

C．{－1,2,3}　　 D．{－1,0,2,3}

【解析】　A＝{x∈N|x2≤1}＝{0,1}，

B＝{－1,0,1,2,3}，

阴影部分对应的集合为∁BA，

则∁BA＝{－1,2,3}，故选C．

5．(2020·江苏省天一中学调研)设全集U＝{x|x<5，x∈N*}，集合A＝{1,3}，B＝{3,4}，则∁U(A∪B)＝__{2}__.

【解析】　∵A＝{1,3}，B＝{3,4}，

∴A∪B＝{1,3,4}，

∵U＝{x|x<5，x∈N*}＝{1,2,3,4}，

∴∁U(A∪B)＝{2}．

6．(2020·武昌统考)已知集合A＝{x|log2(x－1)<1}，B＝{x||x－a|<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围为__[1,3]__.

【解析】　由log2(x－1)<1，得0<x－1<2，即1<x<3，所以A＝(1,3)，由|x－a|<2得a－2<x<a＋2，即B＝(a－2，a＋2)，因为A⊆B，所以解得1≤a≤3，所以实数a的取值范围为[1,3]．

7．(2020·江苏南京师大附中模拟)给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，a－b∈A，则称集合A为闭集合．给出如下三个结论：

①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；

②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；

③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．

其中正确结论的序号是__②__.

【解析】　在①中，因为－4＋(－2)＝－6∉A，所以由闭集合的定义可知，①不正确；

在②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2＝3(k1＋k2)，n1－n2＝3(k1－k2)，k1，k2∈Z，所以n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以由闭集合的定义可知，②正确；

在③中，令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝k，k∈Z}，易知A1，A2为闭集合，设B＝A1∪A2，易知3∈B，∈B，但3＋∉B，所以由闭集合的定义可知，③不正确．故填②.

1．集合运算中的常用方法

(1)数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴法求解．

(2)图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解．

(3)Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn图法求解．

2．规避误区

(1)在化简集合时易忽视元素的特定范围(如集合中x∈N，x∈Z等)致误．

(2)在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．

考点二　命题及真假判断

1．四种命题的关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．

(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

2．全(特)称命题及其否定

(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)．

(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)．它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)．

1．(2020·吉林省重点高中第二次月考)“∀x∈(2，＋∞)，x2－2x>0”的否定是(　C　)

A．∃x0∈(－∞，2]，x－2x0≤0

B．∀x∈(2，＋∞)，x2－2x≤0

C．∃x0∈(2，＋∞)，x－2x0≤0

D．∀x∈(－∞，2]，x2－2x>0

【解析】　依题意，“∀x∈(2，＋∞)，x2－2x>0”的否定是：∃x0∈(2，＋∞)，x－2x0≤0，选C．

2．(2020·吉林省重点中学联考)关于“a＋b＝4，则a，b至少有一个等于2”及其逆命题的说法正确的是(　D　)

A．原命题为真，逆命题为假

B．原命题为假，逆命题为真

C．原命题与逆命题均为真命题

D．原命题与逆命题均为假命题

【解析】　若a＝1.9，b＝2.1，则a＋b＝4，故原命题为假；

若a＝2，b＝2.1，则a＋b≠4，故其逆命题为假．故选D．

3．(2020·安徽省十四校联盟段考)下列命题中正确的是(　C　)

A．∃x0∈R，ex0≤0

B．∀x∈R,2x≥x2

C．若(¬p)∧q是真命题，则p∨(¬q)是假命题

D．1≥0是假命题

【解析】　∀x∈R，ex>0，故A错误；

当x＝3时，2x<x2，故B错误；

∵(¬p)∧q是真命题，∴p是假命题，q是真命题，

∴p∨(¬q)是假命题，故C正确；

选项D显然错误．故选C．

4．(2020·广东八校联考)已知命题p：∃x∈R，x－1≥lg x，命题q：∀x∈(0，π)，sin x＋>2，则下列判断正确的是(　D　)

A．p∨q是假命题　　 B．p∧q是真命题

C．p∨(¬q)是假命题　　 D．p∧(¬q)是真命题

【解析】　对于命题p，当x＝1时，x－1≥lg x成立，所以命题p为真命题；对于命题q，∀x∈(0，π)，sin x>0，所以sin x＋≥2＝2，当且仅当sin x＝1，即x＝时，取等号，所以命题q为假命题．因此p∨q为真命题，p∧q为假命题，p∨(¬q)为真命题，p∧(¬q)为真命题，故选D．

5．(2020·江西省红色七校第一次联考)命题p：曲线16y2＝x的焦点为(4,0)；命题q：曲线x2－4y2＝1的离心率为；则下列为真命题的是(　B　)

A．p∧q　　 B．(¬p)∧q

C．p∧(¬q)　　 D．(¬p)∧(¬q)

【解析】　命题p中，曲线方程可化为y2＝x，其焦点坐标为(，0)，所以p为假命题，¬p为真命题；命题q中，曲线方程可化为x2－＝1，对应的a＝1，b＝，c＝，∴e＝＝，所以q为真命题，所以(¬p)∧q为真命题．故选B．

6．(2020·四川省成都七中一诊)命题“∀x∈N，x2>1”的否定为__∃x∈N，x2≤1__.

【解析】　全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定是存在性命题“∃x∈M，¬p(x)”，所以“∀x∈N，x2>1”的否定是“∃x∈N，x2≤1”．

7．(2020·江苏省泰州中学、宜兴中学、江都中学联考)若命题“∃x0∈R，使得k>x＋1成立”是假命题，则实数k的取值范围是__(－∞，1]__.

【解析】　“∃x0∈R，使得k>x＋1成立”是假命题等价于“∀x∈R，都有k≤x2＋1恒成立”是真命题．因为x2＋1≥1，即x2＋1的最小值为1，要使“k≤x2＋1恒成立”，只需k≤min，即k≤1．

1．命题真假的判定方法

(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别．

(2)四种命题真假的判断：一个命题和它的逆否命题同真假，而互为逆命题和互为否命题的两个命题的真假无此规律．

(3)形如p∨q，p∧q，¬p命题的真假根据p，q的真假与联结词的含义判定．

2．全称命题与特称命题真假的判定

(1)全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可．

(2)特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．

考点三　充要条件

1．若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

2．若p⇔q，则p，q互为充要条件．

1．(2020·柯桥区模拟)已知a，b∈R，则“a2>b2”是“a>|b|”的(　B　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】　由a>|b|⇒a2>b2；反之不成立，例如：取a＝－2，b＝－1．

∴“a2>b2”是“a>|b|”的必要不充分条件．故选B．

2．(2020·宣城二模)若直线m，n表示两条不同的直线，则m∥n的充要条件是(　B　)

A．存在直线l，使m⊥l，n⊥l

B．存在平面α，使m⊥α，n⊥α

C．存在平面α，使m∥α，n∥α

D．存在直线l，使m，n与直线l所成的角都是45°

【解析】　A．存在直线l，使m⊥l，n⊥l，则直线m，n可能平行、相交或异面，因此不正确．

B．存在平面α，使m⊥α，n⊥α⇔m∥n.

C．存在平面α，使m∥α，n∥α，则直线m，n可能平行、相交或异面直线，因此不正确．

D．存在直线l，使m，n与直线l所成的角都是45°，则m与n可能相交、平行或为异面直线．故选B．

3．(2020·海淀区校级一模)数列{an}的通项公式为an＝|n－c|(n∈N*)．则“c<2”是“{an}为递增数列”的什么条件(　A　)

A．必要而不充分　　 B．充要

C．充分而不必要　　 D．即不充分也不必要

【解析】　若{an}为递增数列，则an＋1－an＝|n＋1－c|－|n－c|>0，

可得：(n＋1－c)2>(n－c)2，化为：c<n＋，又n≥1．

∴n＋≥，∴c<.

∴“c<2”是“{an}为递增数列”的必要不充分条件．故选A．

4．(2020·咸阳三模)“－2<m<2”是“方程－＝1表示双曲线”的(　A　)

A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件

【解析】　方程－＝1表示双曲线⇔2(2－m)>0，解得m<2．

∴“－2<m<2”是“方程－＝1表示双曲线”的充分不必要条件．故选A．

5．(2020·崇川区校级模拟)设命题p：x≤4；命题q：x2－5x＋4≤0，那么p是q的__必要不充分__条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)

【解析】　命题q：x2－5x＋4≤0，解得：1≤x≤4．

∴q⇒p，反之不成立．

那么p是q的必要不充分条件．

6．(2020·南通模拟)已知命题p：－1＜x－a＜1，命题q：(x－4)(8－x)＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是__[5,7]__.

【解析】　命题p：－1＜x－a＜1，则a－1＜x＜a＋1，

命题q：(x－4)(8－x)＞0，解得4＜x＜8，

若p是q的充分不必要条件，则有(且等号不同时成立)，解得5≤a≤7，

故答案为：[5,7]．

充分条件与必要条件的三种判定方法

(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．

(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．

(3)转化法：若¬p是¬q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；若¬p是¬q的充要条件，则p是q的充要条件．

YI CUO QING LING MIAN SHI WU

易错清零·免失误　

1．因忽视集合中元素的互异性而致误

典例1　已知全集U＝{1,3，x3＋3x2＋2x}和它的子集A＝{1，|2x－1|}，如果集合A在U中的补集为{0}，求实数x的值．

【解析】　因为U＝{1,3，x3＋3x2＋2x}，且集合A在U中的补集为{0}，

所以0∈U，x3＋3x2＋2x＝0，

解得x1＝0，x2＝－1，x3＝－2．

当x＝0时，A＝{1,1}，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去；

当x＝－2时，A＝{1,5}U，不符合题意，故舍去；

当x＝－1时，A＝{1,3}⊆U，符合题意．

综上所述，实数x的值为－1．

2．忽视代表元素而致误

典例2　设P＝{y|y＝x2，x∈R}，Q＝{y|y＝2－|x|，x∈R}，求P∩Q.

【错解】　由解得或

所以P∩Q＝{(1,1)，(－1,1)}．

【剖析】　上述解法混淆了集合的代表元素，本题中两个集合中的代表元素是y，而不是点的坐标．

【正解】　因为P＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，Q＝{y|y＝2－|x|，x∈R}＝{y|y≤2}，所以P∩Q＝{y|y≥0}∩{y|y≤2}＝{y|0≤y≤2}．

3．遗忘空集或区间端点致误

典例3　(2020·宜昌一中第一次月考)集合A＝{－1,2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则由实数a的取值组成的集合为(　D　)

A．{－2}　　 B．{1}

C．{－2,1}　　 D．{－2,1,0}

【错解】　B＝{x|ax－2＝0}＝，

又B⊆A，

所以＝－1或＝2．

解得a＝－2或a＝1．故选C．

【剖析】　上述解法的错误在于忽略了B＝∅，因为空集是任何集合的子集．

空集作为一种特殊的集合，在集合的相关问题中，稍不注意就会出现错误．在解答含有参数的集合问题时，遇到以下三种情形不能忽略空集：①B⊆A；②B∩A＝B；③B∪A＝A.如果遗忘了对空集的讨论，就会容易导致解题错误或解题不全面．

【正解】　对于集合B，当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A；

当a≠0时，B＝，

又B⊆A，所以＝－1或＝2，解得a＝－2或a＝1．

综上，满足B⊆A的实数a的取值组成的集合为{－2,1,0}．故选D．

典例4　(2020·衡阳八中第一次月考)已知集合A＝{x|y＝log2(x2－4)}，B＝{x|x2－3mx＋2m2<0(m>0)}，若B⊆A，则实数m的取值范围为(　D　)

A．(4，＋∞)　　 B．[4，＋∞)

C．(2，＋∞)　　 D．[2，＋∞)

【解析】　由x2－4 >0，得x<－2或x>2，

则A＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)．

由x2－3mx＋2m2<0(m>0)，得m<x<2m(m>0)，

则B＝(m,2m)．

由B⊆A可知m≥2，

所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．故选D．

【剖析】　用数轴分析法求解集合的包含关系时，要注意“端点”能否取到．本题中，注意到集合A，B都是开区间，因此m可以取到2，若遗漏掉m ＝2，则会导致求出的符合题意的实数m的取值不完整，就会出现错解．

4．混淆充分条件与必要条件的关系致误

典例5　(2020·安阳开学调研)已知函数f(x)＝(x2＋a2x＋1)ex，则“a＝”是“函数f(x)在x＝－1处取得极小值”的(　A　)

A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件

【错解】　C

【错因分析】　求解本题时的易错点是不能正确判断“a＝”与“函数f(x)在x＝－1处取得极小值”之间的关系．解本题可分两步：第一步是判断当a＝时能否使函数f(x)在x＝－1处取得极小值；第二步是判断a＝是不是使函数f(x)在x＝－1处取得极小值的唯一条件．

【正解】　易知函数f(x)的定义域为R，对f(x)求导，得f′(x)＝(2x＋a2)ex＋(x2＋a2x＋1)ex＝[x2＋(a2＋2)x＋a2＋1]ex＝(x＋a2＋1)(x＋1)ex.

若a＝，则f(x)在x＝－1处取得极小值；若f(x)在x＝－1处取得极小值，只需a不为0．

所以“a＝”是“函数f(x)在x＝－1处取得极小值”的充分不必要条件，故选A．

5．对“或、且、非”理解不准致误

典例6　(2020·安徽名校9月联考)已知命题p：∀x>2,2x>x2；命题q：∃x0∈R，x＝1－x，则下列命题为真命题的是(　B　)

A．p∧q　　 B．(¬p)∧q

C．p∧(¬q)　　 D．(¬p)∧(¬q)

【错解】　A

【错因分析】　解本题时，通过求解得到p为假命题，q为真命题后，易因不能正确理解“p∧q”“(¬p)∧q”“p∧(¬q)”和“(¬p)∧(¬q)”的数学意义，从而无法确定正确选项．事实上，“p∧q”为真命题表示p和q都是真命题，“(¬p)∧q”为真命题表示¬p和q都是真命题，“p∧(¬q)”为真命题表示p和¬q都是真命题，“( ¬p)∧(¬q)”为真命题表示¬p和¬q都是真命题．

【正解】　在平面直角坐标系中作出y＝2x与y＝x2的图象，如图1所示，结合图可知当x∈(2,4)时，2x<x2，可知p为假命题，所以¬p为真命题．

在平面直角坐标系中作出y＝x3与y＝1－x2的图象，如图2所示，结合图可知y＝x3与y＝1－x2的图象有交点，可知q为真命题．

所以(¬p)∧q为真命题．

故选B．