2021-2022学年河北省唐山市滦南县高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年河北省唐山市滦南县高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 若随机变量的分布列为

则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 函数    单调递减区间是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 盒中装有个乒乓球，其中个新球，个旧球，不放回地依次取出个球使用，在第一次取到新球的条件下，第二次也取到新球的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 函数的导数为(    )

A.  B.
C.  D.

5. 某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩服从正态分布，考生共有人，估计数学成绩在分到分之间的人数约为人．参考数据，(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知二项式的所有二项式系数之和等于，那么其展开式中含项的系数是

A.  B.  C.  D.

7. 为了宣传防疫知识，某单位安排甲、乙、丙、丁位志愿者到，，三处宣讲且每处至少一人，问甲、乙不去同一地点的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 直线分别与曲线，与交于点，，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 已知，则(    )

A.  B.
C.  D.

10. 名男生和名女生并坐一排，下列说法正确的是(    )

A. 男生必须排在一起的坐法有种
B. 女生互不相邻的坐法有种
C. 男生相邻、女生也相邻的坐法有种
D. 男女生相间的坐法有种

11. 设是随机变量，那么(    )

A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，则

12. 设函数，则以下说法正确的是(    )

A. 若方程恰有三个不同实根，则
B. 若方程恰有一个实根，则
C. 有极大值，但无最大值
D. 有极小值，也有最小值

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在刮风天里，下雨的概率为______．
14. 有名男演员和名女演员，演出的出场顺序要求名女演员之间恰有名男演员，则不同的出场顺序共______种．
15. 两个线性相关变量与的统计数据如表：

其回归直线方程是，则相应于点的残差为______ ．

16. 设，则曲线在点处的切线的倾斜角是______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知函数当时，有极小值．
    求函数的解析式；
    求函数在上的最大值和最小值．
18. 为迎接年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了名学生，将他们的比赛成绩满分为分分为组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
    Ⅰ求的值；
    Ⅱ记表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于分”，估计的概率；
    Ⅲ在抽取的名学生中，规定：比赛成绩不低于分为“优秀”，比赛成绩低于分为“非优秀”请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？

参考公式及数据：，．

19. 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：

若将频率视为概率，从这个水果中有放回地随机抽取个，求恰好有个水果是礼品果的概率；结果用分数表示
用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，
方案：不分类卖出，单价为元．
方案：分类卖出，分类后的水果售价如下：

从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
用分层抽样的方法从这个水果中抽取个，再从抽取的个水果中随机抽取个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望．

20. 已知函数．
    求函数的极小值；
    已知函数，其中为常数且，若函数区间上为单调增函数，求实数的取值范围．
21. 某研究机构对高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得下表数据：

请根据上表提供的数据，用相关系数说明与的线性相关程度；结果保留小数点后两位，参考数据：
请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为的同学的判断力．
参考公式：，；相关系数；

22. 已知函数，其中，是自然对数的底数．
    当时，证明：对，；
    若函数在上存在极值，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了离散型随机变量的分布列的性质，属于基础题．根据概率之和等于计算即可．

【解答】

解：，
．
故选B．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，属于基础题．
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．

【解答】

解：， 
令，解得：，
故在递减，
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：设第一次取到新球为事件，第二次取到新球为事件，
则，，
故．
故选：．
根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，考查转化能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据导数的运算法则即可求出．
本题考查了导数的运算法则，考查了运算求解能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：依题意，此次选拔赛的数学成绩服从正态分布，
所以数学成绩在分到分之间即为数学成绩在之间，
所以，
又因为考生共有人，
所以数学成绩在分到分之间的人数约为人，
故选：．
此次选拔赛的数学成绩服从正态分布，所以数学成绩在分到分之间即为数学成绩在之间，先根据正态曲线的对称性，求出数学成绩在分到分之间概率，再乘以总人数即可估计出数学成绩在分到分之间人数．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由二项式的展开式中所有二项式系数的和是，
得，即，
，
由．
取，得．
展开式中含项的系数是．
故选：．
由已知可得的值，写出二项展开式的通项，由的指数为求得值，则答案可求．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：甲、乙不去同一地点的概率为．
故选：．
用减去甲乙在同一处的概率就可解决此题．
本题考查古典概型应用，考查数学运算能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，，则，
，
，
令，则，
函数在上单调递减，在上单调递增，
时，函数的最小值为，
故选：．
设，，则，表示出，求出，利用导数求出的最小值．
本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：取，可得，故A正确；
即，可得，故B不正确；
取，可得，故C不正确；
对已知等式两边对求导数可得，
取，可得，故D正确．
故选：．
利用赋值法可判断，对求导后利用赋值可判断．
本题考查赋值法求代数式的值，属中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于：由题意，可以把四名男生作为一个元素，和名女生共有四个元素排列，
再排个男生的内部顺序，共有种结果，故A正确；
对于：由题意，可以先排列男生，有种结果，
再用插空法排女生，共有种结果，故B正确．
对于：由题意，可以将四名男生作为一个元素，三名女生作为一个元素，两个元素的排列共有种，
再排他们内部的顺序，有种结果，
根据分步计数原理，共有种结果，故C错误．
对于：首先把名男同学全排列，共有种结果，
再将名女生插空种，所以一共有种结果，故D错误．
故选：．
不相邻问题用插空法，相邻问题用捆绑法，一一计算可得．
本题考查了排列组合的混合问题，插空法和捆绑法是最基本的指导思想，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，，
，，故A正确，
对于，，，
，
，故B正确，
对于，，
，，
，
，即，故C正确，
对于，，
则，，故D错误．
故选：．
对于，结合二项分布的期望公式，以及期望的线性公式，即可求解．
对于，结合正态分布的对称性，即可求解，
对于，结合正态分布的性质，以及方差的线性公式，即可求解，
对于，结合二项分布的方差公式，
本题主要考查二项分布的期望与方差公式，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，取得极小值点，也为最小值点，故D选项正确，
当时，取得极大值点，
当趋近于正穷大时，的函数值也趋近于正无穷大，
无最大值，
有极大值点，无最大值，故C选项正确，
当趋近于负穷大时，的函数值趋近于正零，
当时，方程恰有三个不同实根，故A选项正确，
当时，方程只有一个实根，故B选项错误．
故选：．
对函数求导，分别求得极小值点，极大值点，再结合极限的思想，即可求解．
本题主要考查了导数的综合应用，以及极限的思维，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设该地区下雨为事件，刮风为事件，
则，，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：有名男演员和名女演员，演出的出场顺序要求名女演员之间恰有名男演员，
则先拍名女演员，方法有种；然后插入名男演员，方法有种；
把这个人当做一个整体，和其他名男演员进行排列，方法有种，
再根据分布计数原理，不同的出场顺序有种，
故答案为：．
根据排列、组合、分布计数原理，求出答案．
本题主要考查排列、组合、计数原理的应用，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意，，，
回归直线方程是，
，
，
，
时，，
相应于点的残差为，
故答案为：．
求出样本中心点，代入回归直线方程，求出，通过时，求出预报值，则可得相应于点的残差．
本题考查回归直线方程的应用，在回归分析中，注意残差是测定值与按回归方程预测的值之差，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：
，
，
则曲线在点处的切线斜率为，即，
又，
所求切线的倾斜角为，
故答案为：．
由已知变形可得，即可求得曲线在点处的切线斜率为，再由斜率等于倾斜角的正切值求得切线的倾斜角．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的定义及应用，是中档题．
 

17.【答案】解：因为，所以．
依题意可得，即，解得，所以，经检验符合题意；
解：由知，则，
令，解得或，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
又，
所以最大值为，最小值为． 

【解析】求出函数的导函数，依题意且，即可得到方程组，解得即可；
求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出区间端点值与极值，即可得到函数的最值．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：Ⅰ由题可得，
解得：；
Ⅱ由Ⅰ知，
则比赛成绩不低于分的频率为，
故从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于分的概率约为；
Ⅲ由Ⅱ知，在抽取的名学生中，比赛成绩优秀的有人，
由此可得完整的列联表：

的观测值，
没有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”． 

【解析】Ⅰ由频率分布直方图结合概率和为求解值；
Ⅱ结合Ⅰ中求得的值求比赛成绩不低于分的频率；
Ⅲ列出列联表，求出的观测值，则结论可求．
本题考查独立性检验及其应用，考查计算能力，是中档题．
 

19.【答案】解：设从个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为，
则，
设有放回地随机抽取个，恰好抽到个礼品果为事件，
；
设方案的单价为，则单价的期望值为
；
因为，所以从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案．
用分层抽样的方法从个水果中抽取个，则其中精品果个，非精品果个；
现从中抽取个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为，，，；
则；；
；，
所以的分布列如下：

所以数学期望为． 

【解析】求出从个水果中随机抽取一个抽到礼品果的概率值，再计算所求的概率值；
计算方案的数学期望值，与方案比较即可；
用分层抽样法求抽出精品果个数，计算对应概率值，写出分布列，求出数学期望值．
本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了概率与统计知识的应用问题，是中档题．
 

20.【答案】解：因为，所以．
令，得，令，则，令，则．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以的极小值为．
因为所以所以．
因为在，上是单调增函数．所以在区间上恒成立，
即在，上恒成立，
即，其中．
令，易知函数在上单调递增，
所以．
又易知，
所以，
故实数的取值范围是． 

【解析】求导分析函数的单调性与极小值即可．
代入可得，根据函数在区间上为单调增函数可知在区间上恒成立，再参变分离其最值即可．
本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于难题．
 

21.【答案】解：，，
所以，
可得，
接近，所以与线性相关性非常强；
由，，
故线性回归方程为
由中线性回归方程知，当时，，
故预测记忆力为的同学的判断力约为． 

【解析】本题考查线性回归直线方程和运用，线性相关程度的判断．
由线性相关系数的公式，计算可得所求结论；
由线性回归直线方程，分别计算，，可得所求方程；
令线性回归方程中的，计算可得所求值．
 

22.【答案】证明：当时，，，
当时，，且，
所以当时，，且时，，
函数在上单调递增，，
所以，对，．
解：若函数在上存在极值，
则在上存在零点．
当时，为上的增函数，
，
则存在唯一实数，使得成立，
当时，，为上的减函数；
当时，，为上的增函数，
所以为函数的极小值点；
当时，在上恒成立，
函数在上单调递增，在上无极值；
当时，在上恒成立，
函数在上单调递減，在上无极值．
综上知，使在上存在极值的的取值范围是． 

【解析】当时，，求导，求出函数的最小值，进而即可证明；
若函数在上存在极值，则在上存在零点．通过讨论的范围，对函数的零点分析求解即可；
本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题．