2021-2022学年天津市部分区高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年天津市部分区高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共9小题，共36分）

1. 如图所示，散点图中需要去掉一组数据，使得剩下的四组数据的相关系数最大，则应去掉的数据所对应的点为(    )

A.
B.
C.
D.

2. 已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列说法中错误的是(    )

A. 设，且，则
B. 经验回归方程过成对样本数据的中心点
C. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于
D. 若变量和满足关系，且变量与正相关，则与负相关

4. 下列运算正确的个数是(    )
   ；；；．

A.  B.  C.  D.

5. 在的展开式中，的系数是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 某校从高一、高二、高三三个年级中各选派名同学集中观看“庆祝中国共产主义青年团成立周年大会”，其中三个年级选派同学中女生人数分别为、、，观看后学校在选派的名同学中随机选取一名同学汇报心得体会，则在选取一名女同学的条件下该名女同学来自高三年级的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 随机变量的分布列为：

若，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在件产品中，有件合格品，件次品，每次从中任取一件检测，取后不放回，直到件次品全被测出为止，则第二件次品恰好在第次被测出的所有检测方法种数有(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数满足，函数恰有个零点，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

10. 曲线在点处的切线方程为__________．
11. 设随机变量，则等于______．
12. 已知名同学中有名女生，若从中选取名同学作为学生代表，则恰好选取名女生的概率为______．
13. 根据历年气象统计资料显示，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下下雨的概率为______．
14. 个人排成一排，其中甲、乙两人必须相邻，共有______种不同排法．
15. 已知函数，则的极小值为______；若函数，对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是______．

三、解答题（本大题共5小题，共60分）

16. 为调查某商品一天的销售量及其价格是否具有线性相关关系，某市发改委随机选取五个超市的销售情况进行统计，数据如下表：

通过分析，发现商品的销售量与价格具有线性相关关系．
根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的经验回归方程；保留两位小数
根据所得的经验回归方程，若使销售量为件，估计价格是多少？结果保留两位小数
附：在经验回归方程中，．

17. 已知函数．
    求的单调区间；
    求在区间上的最大值和最小值．
18. 心理健康越来越受到人们的重视，某高校将录制的心理健康讲座视频放在网站上播放．为了解观看该视频的人群年龄结构情况，从全市随机抽取了人，对是否观看的情况进行调查，结果如下表：

以年龄岁为分界点，由以上统计数据完成下面列联表．

根据中列联表判断是否有的把握认为是否观看讲座与人的年龄有关．下面的临界值表供参考：

独立性检验统计量，其中．

19. 已知条件采用无放回抽取：采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件评分．
    问题：在一个口袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同，若-------，从这个球中随机抽取个球，记取出的个球中红球的个数为，求随机变量的分布列和期望．
20. 设函数．
    讨论函数的极值；
    若函数在区间上的最小值是，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由散点图可知，点偏离最远，所以去掉点后，剩下四组数据的相关系数最大．
故选：．
由相关系数的强弱关系求解即可．
本题主要考查了散点图的应用，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，即，解得．
故选：．
利用组合数公式计算即可．
本题考查了组合数公式的应用问题，是基础题目．
 

3.【答案】 

【解析】解：对于，正态曲线关于对称，则，则，则，所以A错误；
对于，经验回归方程过成对样本数据的中心点，B正确；
对于，越接近于，两个随机变量的线性相关性越强，C正确；
对于，，则与负相关，所以与负相关，D正确．
故选：．
选项A根据正态曲线的对称性求解；选项B由经验回归方程可以判断；选项C根据线性相关系数的定义判断；选项D根据两个变量的相关关系进行判断．
本题考查正态分布、回归方程以及相关系数的概念，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，错误；
，错误；
，正确；
，正确．
故选：．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
 

5.【答案】 

【解析】解：展开式的第项，，
令，得，
，
故选：．
利用二项式定理的展开式，即可解出．
本题考查了二项式定理的展开式，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：记事件：选取一名同学为女同学，记事件：选取的同学来自高三，
则，，
在选取一名女同学的条件下该名女同学来自高三年级的概率为：
．
故选：．
记事件：选取一名同学为女同学，记事件：选取的同学来自高三，利用条件概率公式能求出所求事件的概率．
本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
解得，，
所以．
故选：．
由分布列的性质及期望公式可得和的值，再由方差公式计算即可得解．
本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望及方程，考查运算求解能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可知：前面两次检测取到的是一件合格品，一件次品，第三次又是次品，
所以，第二件次品恰好在第次被测出的所有检测方法种数为种，
故选：．
根据排列组合的特点依照题意列式即可求解．
本题考查了排列组合的混合问题，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
，因为函数恰有个零点，
所以，的图象恰有个交点，画出，的图象，由图象可得，
因为与，与的图象关于轴对称，
且与交于原点，要恰有个零点，
则与，与的图象必有两个交点，
当与的图象相切时，设切点，
此时切线的斜率为，可得，得，所以切点，
即，交点，
所以要使函数恰有个零点，则．

故选：．
画出，的图象，因为与，与的图象关于轴对称，且与交于原点，要使恰有个零点，与的图象必需有两个交点，求出与相切时的值可得答案．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了转化思想和数形结合思想，属中档题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、直线方程的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
欲求在点处的切线的方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】
解：，
，
即曲线在点处的切线的斜率为：，
曲线在点处的切线的方程为：，
故答案为．  

11.【答案】 

【解析】解：因为随机变量，
所以．
故答案为：．
根据二项分布的概率公式计算即可得解．
本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：从名同学中任选人，共有种取法，其中恰好选取名女生的取法有种，故恰好选取名女生的概率为．
故答案为：．
根据古典概型，结合组合数公式求解即可．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：事件为某地四月份吹东风，事件为某地四月份下雨，
，，，
则在吹东风的条件下下雨的概率为．
故答案为：．
利用条件概率公式计算即可．
本题考查条件概率公式的运用，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，分步进行分析：
，将甲乙看成一个整体，考虑人之间的顺序，有种情况，
，将人与其他三人全排列，有种情况，
则有种不同的排法；
故答案为：，
根据题意，分步进行分析：，将甲乙看成一个整体，考虑人之间的顺序，，将人与其他三人全排列，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
 

15.【答案】  

【解析】解：由，得，
令，得，
列表如下：

函数的极小值为；
，，使得，
即，．
当时，函数单调递增，，
，即；
当时，函数单调递减，，
，即；
当时，，不符合题意．
综上，的取值范围为．
故答案为：；．
利用导数可求得函数的极小值；
由题意可得出，分、、三种情况讨论，根据题意可得出关于的不等式，进而可求得的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，不等式能成立和恒成立问题，考查了分类讨论思想，属中档题．
 

16.【答案】解：由题意知，，
，，
线性回归方程是；
若销售量为件，
令，
可得，
预测销售量为件时的售价是元． 

【解析】根据所给数据求出，即可得出回归直线方程；
根据回归方程，求出预测值即可．
本题考查了线性回归方程的求解计算，考查学生的运算能力，属于基础题．
 

17.【答案】解：因为，
所以．
令，解得或，
令，解得，
所以的递增区间为 ，，递减区间为
由知是的极大值点，是的极小值点，
所以，，
又，，
所以，． 

【解析】求导得，分析的正负，进而可得的单调性．
由知是的极大值点，是的极小值点，又，，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

18.【答案】解：由调查表可知，
小于岁的人有人，观看讲座的有人，未观看讲座的有人，
大于岁的人有人，观看讲座的有人，未观看讲座的有人，
列联表如下：

，
所以有的把握认为观看讲座人数与人的年龄有关． 

【解析】根据调查表完成列联表；
根据独立性检验公式，对照题目中的表格，得出统计结论．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
 

19.【答案】解：若选，由题意，随机变量的可能值为，，，，且服从超几何分布，
则，，，；
所以的分布列为：

期望；
若选，由题意，随机变量的可能值为，，，，且，
，，，，
的分布列为：

期望． 

【解析】若选，由题意，随机变量的可能值为，，，，结合超几何分布的概率公式求出相应的概率，再利用期望公式求出；若选，随机变量的可能值为，，，，且，利用二项分布的概率公式求出相应的概率，再利用期望公式求出．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了超几何分布和二项分布的概率公式，属于中档题．
 

20.【答案】解：．
当时，，在上单调递增，无极值；
当时，由，解得，由解，得．
函数在上单调递减．函数在上单调递增，
的极小值为，无极大值．
综上所述：当时，函数在上无极值；
当时，的极小值为，无极大值．
由知，当时，函数在上单调递增，
函数在上的最小值为，
即，矛盾．
当时，由得是函数在上的极小值点．
当即时，函数在上单调递增，
则函数的最小值为，即，符合条件．
当即时，函数在上单调递减，
则函数的最小值为，即，矛盾．
当即时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，
则函数的最小值为即．
令，则，
在上单调递减，
而，
在上没有零点，
即当时，方程无解．
综上，实数的值为． 

【解析】求出函数的导数，通过对的讨论，判断导函数的符号，判断函数的单调性，即可求得极值；
由知，当时，函数在上单调递增，当，当，当，求出，即令，则，转化求解即可．
本题考查函数的导数，利用函数的单调性以及函数的极值，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．