2021-2022学年福建省龙岩市高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

这是一份2021-2022学年福建省龙岩市高二（下）期末数学试卷（Word解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省龙岩市高二（下）期末数学试卷 题号一二三四总分得分       一、单选题（本大题共8小题，共40分）已知函数，则(    )A.  B.  C.  D. 已知事件，满足：，，则(    )A.  B.  C.  D. 为研究高中生爱好某项运动是否与性别有关，某校研究性学习小组采取简单随机抽样的方法调查了名高中生．依据独立性检验，经计算得到，参照下表，得到的正确结论是(    )A. 有的高中生爱好该项运动
B. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”在四面体中，是的中点，是的中点，设，则(    )A.  B.
C.  D. 已知随机变量的分布列如下：则的值为(    )A.  B.  C.  D. 若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 把粒种子分别种在个坑内，每坑粒，每粒种子发芽的概率为若一个坑内至少有粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种次，每补种一个坑需元，用表示补种费用，则的数学期望为(    )A. 元 B. 元 C. 元 D. 元若且恒成立，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D.  二、多选题（本大题共4小题，共20分）下列四个表述中，正确的是(    )A. 运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心
B. 在回归直线方程中，当变量每增加个单位时，变量约增加个单位
C. 具有相关关系的两个变量，的相关系数为，那么越接近于，，之间的线性相关程度越高
D. 在一个列联表中，根据表中数据计算得到的观测值，若的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越小已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是(    )
A.   
B.  在上是减函数
C.  在区间内有个极值点
D. 曲线 在点处的切线斜率大于在件产品中，其中有件一等品，件二等品，件三等品，现从这件产品中任取件，记为取出的件产品中一等品件数，事件为取出的件产品中一等品件数等于二等品件数，事件为取出的件产品中一等品件数等于三等品件数，则下列命题正确的是(    )A.  B.
C.  D. ，相互独立若正方体的棱长为，且，其中，，则下列结论正确的是(    )A. 当时，三棱锥的体积为定值
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，的最小值为
D. 若，点的轨迹为一段圆弧 三、填空题（本大题共4小题，共20分）已知随机变量，且，，则______．已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为______．在菱形中，，将沿折叠，使平面平面，则与平面所成角的正弦值为______．某校中学生篮球队假期集训，集训前共有个篮球，其中个是新球即没有用过的球，个是旧球即至少用过一次的球每次训练，都从中任意取出个球，用完后放回．设第一次训练时取到的新球个数为，则______；第二次训练时恰好取到一个新球的概率为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70分）如图，在中，，，将绕边旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点为的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求点到平面的距离．
根据统计，某蔬菜亩产量的增加量百千克与某种液体肥料每亩使用量千克之间对应数据的散点图如图所示．
Ⅰ请从相关系数精确到的角度分析，能否用线性回顾模型拟合与的关系若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合；
Ⅱ建立关于的线性回归方程，并用其估计当该种液体肥料每亩使用量为千克时，该蔬菜亩产量的增加量约为多少百千克？
参考公式：对于一组数据，相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，参考数据：，．
如图，三棱柱棱长都为，平面平面，过作平面平行于，交于点．
Ⅰ求证：点为的中点；
Ⅱ若，求锐二面角的余弦值．
设函数，，，若曲线在点处的切线方程为．
Ⅰ求，的值；
Ⅱ若关于的不等式只有唯一实数解，求实数的值．已知一袋中装有个球，每个球上分别标有，，，，的一个号码，设号码为的球重为单位：克，这些球等可能的从袋中被取出．
Ⅰ现从中不放回地任意取出球，试求它们重量相等的概率；
Ⅱ现从中任意取出球，若它的重量小于号码数，则放回，搅拌均匀后重取一球；若它的重量不小于号码数，则停止取球．按照以上规则，最多取球次，设停止之前取球次数为，求的分布列和期望．设函数．
Ⅰ当时，求的值域；
Ⅱ当时，，求的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，
故选：．
利用导数的运算公式，即可解出．
本题考查了导数的运算公式，学生的数学运算能力，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，，
．
故选：．
根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：由，即在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”．
故选：．
比较观测值与参照值大小，根据独立检验的基本思想确定结论即可．
本题考查了独立性检验的问题，是基础题．
 4.【答案】 【解析】解：是的中点，是的中点，，
．

故选：．
由向量加减、数乘的几何意义可得，即可求解．
本题主要考查空间向量及其线性运算，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：根据分布列可知解得，
，
，
所以．
故选：．
根据概率之和等于求得，再根据期望公式和方差公式求出期望与方差，再根据方差的性质即可得解．
本题考查离散型随机变量的方差，属于中档题．
 6.【答案】 【解析】解：由题意，，在区间内恰好有一个极值点，
则，
即，
解得，
如果有两个极值点，可得：，解得，
另外，当时，函数在区间恰有一个极值点，
综上所述实数的取值范围是．
故选：．
首先利用函数的导数与极值的关系，由于函数在区间恰有一个极值点，，或者有个极值点，故可求实数的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的极值问题，体现了数形结合和转化的思想方法，属于中档题．
 7.【答案】 【解析】解：每个坑需要补种的概率是相等的，都是，故个坑需要补种的个数，所以，
故补种费用元．
故选：．
由题设易得个坑需要补种的个数，利用二项分布的期望公式求，进而求的数学期望．
本题考查离散型随机变量的期望，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：当时，由题意与互为反函数，
所求等价于在区间上恒成立，
令，，则，
令，解得，
当时，，则为减函数，
当时，，则为增函数，
所以在处取得极小值，也为最小值，
所以，整理可得，
因为，所以，
所以，则，
所以，则，解得；
当时，不符合题意，故舍去，
所以的取值范围是
故选：．
当时，原题等价于在区间上恒成立，令，，利用导数求得的单调区间和最值，分析计算，即可得答案，当，分析得不符合题意，综合即可得答案．
本题考查利用导数研究函数的最值，考查学生的运算能力，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：对于，结合线性回归方程的性质可知，运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心，故A正确，
对于，在回归直线方程中，当变量每增加个单位时，变量约增加个单位，故B正确，
对于，具有相关关系的两个变量，的相关系数为，那么越接近于，，之间的线性相关程度越低，故C错误，
对于，在一个列联表中，根据表中数据计算得到的观测值，若的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大，故D错误．
故选：．
对于，结合线性回归方程的性质，即可求解，
对于，结合线性回归方程，即可求解，
对于，结合相关系数的定义，即可求解，
对于，结合独立性检验的定义，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的性质，以及独立性检验的定义，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：由题意可知，，时，，函数是减函数，，，，函数是增函数，函数取得极小值，时，函数取得极大值，时，函数取得极小值，
所以  ，A正确；，，所以 在上是减函数．所以B正确；
 在区间内有个极值点，所以不正确；
曲线 在点处的切线斜率大于，D正确；
故选：．
利用导函数的图象，判断函数的单调性以及函数的极值，然后判断选项的正误即可．
本题考查函数导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的判断，切线向量的判断，是中档题．
 11.【答案】 【解析】解：随机变量可取，，，，
，
，
，
，
则，
，
故A正确，B错误，C正确．
因为事件为取出的件产品中一等品件数等于一等品件数，为必然事件．
事件为取出的件产品中一等品件数等于三等品件数，包含事件于A.
所以事件和事件不是相互独立事件，故D错误．
故选：．
写出随机变量的所有取值，求出对应随机变量的概率，再根据期望公式求出期望，即可判断；再根据相互独立事件的定义即可判断．
本题主要考查离散型随机变量的概率及数学期望，是基础题．
 12.【答案】 【解析】解：如图，设，，，均为所在棱的中点，
，其中，，
点在正方体左侧面内，包括边界，
对选项，当时，点在线段上，
易知平面，
上的点到平面的距离都相等且为定值，
又的面积也为定值，
三棱锥的体积为定值，选项正确；
对选项，当时，点在线段上，
显然上的点到平面的距离是变化的，而的面积为定值，
三棱锥的体积不为定值，选项错误；
对选项，当时，由得点在线段上，
如图，将等腰直角三角形与等边三角形展开铺平在一个平面内，
则线段上的点到与的距离之和，
当且仅当，，三点共线时取得等号，
而，
的最小值为，选项正确；
对选项，若，又点在正方体左侧面内，包括边界，
点在线段上，点的轨迹为线段，选项错误．
故选：．
如图，设，，，均为所在棱的中点
对，当时，点在线段上，利用平面即可说明三棱锥的体积为定值；
对，当时，点在线段上，由与平面相交即可说明三棱锥的体积不为定值；
对，当时，点在线段上，等腰直角三角形与等边三角形展开铺平在一个平面内，根据平面内两点间距离最短即可求解；
对，若，则点的轨迹为线段，从而判断选项．
本题考查平面向量的基本定理，向量共线定理的推论，线面平行、线面相交关系，三棱锥的体积，距离最短问题，化归转化思想，属中档题．
 13.【答案】 【解析】解：随机变量，且，，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：设，
则，
即函数为上的增函数，
又，即，
则等价于，
则的解集为，
故答案为：．
设，则，即函数为上的增函数，又等价于，然后求解集即可．
本题考查了导数的应用，重点考查了利用导数研究函数的单调性，属基础题．
 15.【答案】 【解析】解：取的中点，连接，，
，，为等边三角形，
为的中点，，，
又平面平面，且平面平面，平面，
平面，
又，平面，
，，
以为原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
设菱形的边长为，则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，即，
令，则，，即，
设与平面所成的角为，
则，，
与平面所成角的正弦值为，
故答案为：．
取的中点，连接，，由题意可知平面，所以，，以为原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，设菱形的边长为，求出相应点的坐标，进而得到相应向量的坐标，结合线面夹角公式即可求解．
本题主要考查了直线与平面所成的角，属于中档题．
 16.【答案】  【解析】解：由题意的可能取值为，，，
，，，
事件表示第二次恰好取到一个新球，
当时，；
当时，；
当时，，
所以．
故答案为：，．
由题意的可能取值为，，，应用古典概型的概率求法求对应概率，再应用全概率公式求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 17.【答案】证明：Ⅰ由题意知：面，面，则，
由为的中点，则，
又，，面，故AB面，
由面，则；
解：Ⅱ若，易知：是中点，又，
而，且，
则，故，
又，则，故，
若到平面的距离为，则，所以，
即到平面的距离为． 【解析】Ⅰ由面得，根据圆的性质知，根据线面垂直的判定及性质即可证结论；
Ⅱ利用等体积法有，结合棱锥的体积公式求点面距．
本题考查了线线垂直的证明和点到平面的距离计算，属于中档题．
 18.【答案】解：由图数据可得，，，
则，，
，
，
故线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合与的关系．
，
则，
故关于的线性回归方程为，
当时，，
故估计当该种液体肥料每亩使用量为千克时，该蔬菜亩产量的增加量约为百千克． 【解析】根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解．
根据已知条件，结合最小二乘法，求出线性回归方程，再将代入上式，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的应用，以及相关系数的求解，属于中档题．
 19.【答案】解：Ⅰ证明：由题意平面，连接交于，连接，

则，面，面平面，，
三棱柱棱长都为，是的中点，
在中，为中位线，是的中点．
Ⅱ由知，，又，
，，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，则平面平面，平面，
平面，而平面平面，
平面，平面，，

又为等边三角形，若为的中点，则，
而，则面，
又面，，
综上，，，锐二面角的平面角为，
在中，，则，
锐二面角的余弦值为． 【解析】Ⅰ连接交于，连接，由面，可得，根据已知有为中位线，即可证明点为的中点；
Ⅱ由题设能证明，根据面面垂直的性质及棱柱的结构特征有面，再由线面垂直的判定和性质有，根据面面垂直的性质及棱柱的结构特征有平面，再由线面垂直的判定和性质，若为的中点，由等边三角形性质得，即为锐二面角的平面角，由此能求出锐二面角的余弦值．
本题考查线面平行的性质、面面垂直的性质及棱柱的结构特征、线面垂直的判定和性质、等边三角形性质、锐二面角的平面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 20.【答案】解：由题意得，
所以，
又，解得．
由可得，
令，解得，
当时，，则为增函数，
当时，，则为减函数，
所以
则只有唯一实数解，整理可得，
令，
则，
因为，
所以恒成立，
令，解得，
当时，，则为减函数，
当时，，则为增函数，
所以，
因为只有唯一实数解使得成立，所以．
所以关于的不等式只有唯一实数解，实数的值为． 【解析】求导可得，根据导数的几何意义，可得，又，即可求得答案．
由可得，利用导数可得的单调性和最值，则所求整理可得只有唯一实数解，令，利用导数求的单调区间和最值，分析即可得答案．
本题考查利用导数研究函数的切线方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
 21.【答案】解：Ⅰ令，其对称轴为且，
所以不放回地任意取出球重量相等的号码有、、、、，
故不放回地任意取出球重量相等概率为．
Ⅱ由，，即或且，
所以，取到，共个中的一个，即可停止取球，
故每次取到球后停止的概率为，而，
，，，
分布列如下： 所以． 【解析】Ⅰ根据二次函数对称性写出任意取出球重量相等的号码的可能组合，应用古典概型的概率求法求概率；
Ⅱ首先求出每次取到球后停止的概率，而并应用独立事件乘法公式求对应值的概率，进而写出分布列，即可求期望值．
本题考查离散型随机变量的概率分布列及数学期望，是基础题．
 22.【答案】解：Ⅰ由，得，
当时，即递减；
当时，即递增；
而，，，
所以的值域为．
Ⅱ令，
所以，上，即上恒成立，
令，则，
令，则，
当时，即在单调递减，
所以，故，
所以在单调递减，则，
当时，，
令，则，所以在上递减，
故．
综上，，故的取值范围． 【解析】Ⅰ利用导数研究的区间单调性并求出区间最值，即可得值域；
Ⅱ将问题转化为上恒成立，利用导数研究右侧的最大值，即可求参数范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，不等式恒成立问题，考查了转化思想，属难题．