2021-2022学年安徽省阜阳市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年安徽省阜阳市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知，若是第二象限角，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. “”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 一艘海轮从地出发，沿北偏东的方向航行海里后到达海岛，然后从地出发，沿北偏东的方向航行海里后到达海岛如果下次航行直接从地出发到达地，那么这艘船需要航行的距离是(    )

A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里

5. 甲、乙两人独立破译一份密码文件，已知各甲、乙能破译的概率分别是，，则甲、乙恰有一人成功破译这份文件的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知向量不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分除去两个球冠如图，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为，球冠的高为，则球冠的面积已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为，则围成该灯笼所需布料的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知，则下列判断正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 对于任意两个向量和，下列命题中正确的是(    )

A. 若，且与同向，则
B.
C.
D.

10. 从参加安全知识竞赛的学生中随机抽出名学生，将其成绩均为整数整理后画出的频率分布直方图如图所示．已知分以下的学生共人，则下列说法正确的是(    )

A.
B. 这名学生的平均成绩约为分
C. 根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的中位数约为分
D. 根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数约为分

11. 若函数在区间上的值域是，则称区间是函数的一个“等域区间”下列函数存在“等域区间”的是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，过作正方体的截面交棱于，则(    )

A. 当时，截面为等腰梯形
B. 当时，截面为六边形
C. 当时，截面面积为
D. 当时，截面与平面所成的锐二面角的正切值为
 

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 写出一个同时满足下列条件的复数：______．
    ；
    在复平面内对应的点在第二象限．
14. 有一组样本数据，，，如表：

由这组数据得到新样本数据，，，，其中，为常数，则数据，，，的方差为______．

15. 已知函数的图象如图所示，将函数图象上每个点的横坐标变为原来的纵坐标不变，再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则关于的方程在区间上有______个实数解．
16. 已知正方体的棱长为，是线段上一点，则三棱锥的体积为______，的最小值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标．设向量在斜坐标系中的坐标分别为，．
    
    求；
    求与的夹角的余弦值．
18. 某农户从一批待售的苹果中随机抽取个，对样本中每个苹果称重，数据如表．

若将这批苹果按质量大小进行分级，质量不小于千克的苹果为一级果；质量不小于千克且小于千克的苹果为二级果；质量在千克以下的苹果为三级果．
从样本中按等级进行分层抽样，随机抽取个苹果放入袋子，现采用不放回方式从袋子中依次随机取出个苹果，求第二次取到二级果的概率．
若将这批苹果按等级出售，一级果的售价为元千克；二级果的售价为元千克；三级果的售价为元千克．经估算，这批苹果有个，求该批苹果的销售收入约为多少元．同一组中的数据用该组区间的中点值作代表

19. 设为实数，已知函数是奇函数．
    求的值；
    若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围．
20. 在；；这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
    三角形的内角，，的对边分别为，，，且满足______．
    求角的大小；
    若三角形为锐角三角形，且，求三角形周长的取值范围．
21. 如图，四棱柱的底面为正方形，为的中点，底，．
    求证：平面平面；
    求直线与平面所成角的正弦值．

22. 为扎实推进美丽中国建设，丰富市民业余生活，某市计划将一圆心角为，半径为的扇形空地如图，改造为市民休闲中心，休闲中心由活动场地和绿地两部分构成，其中活动场地是扇形的内接矩形，其余部分作为绿地．设点为上异于，的动点．请以点为内接矩形的一个顶点设计出两种不同的规划方案，并分别求出这两种方案的活动场地面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
找出，中的公共元素即可得解．
本题考查集合的基本运算，属基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：是第二象限角，又，
，
．
故选：．
由题意求出，又，再将，的值代入即可得出答案．
本题考查三角函数的诱导公式，三角函数的同角关系，三角函数的象限符号，属基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由“”可以推出“”，
由“”得“”，不能推出“”，
“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
由“”可以推出“”，由“”得“”，不能推出“”，利用充分条件与必要条件的概念即可求得结果．
本题考查充分与必要条件的概念，属基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：一艘海轮从地出发，沿北偏东的方向航行海里后到达海岛，
然后从地出发，沿北偏东的方向航行海里后到达海岛，
如图，由题意海里，海里，，
所以，得海里．
故选：．

根据已知求出角，然后由余弦定理直接可得．
本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可知，有两种情况：甲成功破译而乙没有成功破译，甲没有成功破译而乙成功破译，
甲、乙恰有一人成功破译的概率是．
故选：．
甲、乙恰有一人成功破译这份文件有两种情况，甲成功破译而乙没有成功破译或甲没有成功破译而乙成功破译，由独立事件的乘法公式即可得出答案．
本题考查互斥事件的并事件的概率加法公式，独立事件的积事件的概率乘法公式，属基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为与共线，
，
，又不共线，
，
解得或，
当时与同向，不符合题意，
当时与反向，符合题意．
故选：．
由向量平行求得值，再代入确定两向量反向即可得解．
本题考查平面向量共线定理，平面向量的基本定理，方程思想，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得，得，，
所以两个球冠的表面积之和为，
灯笼中间球面的表面积为．
因为上下两个圆柱的侧面积之和为，
所以围成该灯笼所需布料的面积为．
故选：．
由勾股定理求出，则，分别求出两个球冠的表面积、灯笼中间球面的表面积、上下两个圆柱的侧面积即可求出围成该灯笼所需布料的面积．
本题考查球的性质，球冠的表面积，球的表面积，圆柱的侧面积，属基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，
，
，
所以．
故选：．
利用指数运算和对数函数的单调性判断．
本题考查对数与指数的运算，利用单调性比较大小，放缩法，属基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：向量既有大小又有方向，向量不能比较大小，A错误；
，B正确；
，可能小于，C错误；
，
，D正确．
故选：．
根据向量的概念，向量的模，向量数量积的定义即可求解．
本题考查向量的概念，向量的模，向量数量积的定义，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得，得，A正确；
由，得，
所以名学生的平均成绩约为分，故B正确；
设这名学生成绩的中位数为分，则，得，故C错误；
设这名学生成绩的上四分位数为分，则，得，故D正确．
故选：．
利用频率分布直方图的性质直接求解．
本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，
且对称轴为，则，函数在上单调递增；
对于，，则，函数在上单调递增；
对于，函数在定义域内单调递增；
由题意可知，当与直线至少有个交点时，符合题意，
因为函数只有个零点，
所以与直线只有个交点，A错误；
在同一坐标系中作出与直线的图象如下：

由图象可知，与直线有个交点，B正确；
在同一坐标系中作出与直线的图象如下：

由图象可知，单调递增且与直线有个交点，C正确；
在单位圆中，由三角函数的定义，可知当且仅当时，，
当在同一坐标系中作出与直线的图象如下：

由图象，可知与直线只有个交点，D错误．
故选：．
根据“等域区间”的定义，由与直线至少有个交点逐项判断．
本题考查函数的图像性质，函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合思想和转化思想，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于：当时，是当的中点，所以，又易证，

易证截面为等腰梯形，故A正确；
对于：当时，截面与的交点在的延长线上，
可得截面是五边形，故B错误，
对于：当时，则与重合，是的中点，截面即是菱形，
易得，，所以面积为，故C正确；

对于：当时，以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
则，，
设截面的一个法向量为，
则，令，则，，，
又易得为平面的法向量，
所以，，
所以可得截面与平面所成的锐二面角的余弦值为，可得正切值为，故D正确．
故选：．
当时，是当的中点，可得截面为等腰梯形判断；当时，截面是五边形可判断；当时，则与重合，是的中点，截面即是菱形，可求面积判断；当时，以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求锐二面角的正切值判断．
本题考查空间几何体的性质，考查截面的形状，面面角的求法，属中档题．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：设复数，
，且在复平面内对应的点在第二象限，
，
可以取，，故，
故答案为：答案不唯一．
设复数，因为，在复平面内对应的点在第二象限，所以，取，满足条件即可得出答案．
本题考查复数的模，复数的几何意义，属基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：样本数据，，，的平均数为，方差为．
数据，，的方差为．
故答案为：．
根据平均数的定义，方差的定义，方差的性质即可求解．
本题考查平均数的定义，方差的定义，方差的性质，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图可知，
由，得，
因为，所以．
，
又由“五点法”可得，
，
．
将函数图象上每个点的横坐标变为原来的纵坐标不变，
再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
所以，最小正周期为，
因为关于的方程在区间上有个实数解，
所以关于的方程在区间上有个实数解．
故答案为：．
由题意可求出，再由三角函数的平移和伸缩变化求出，因为的最小正周期为，所以求出在区间上有个实数解，即可求出在区间上解的个数．
本题考查三角函数的图形与性质，函数图象变换，数形结合思想，属中档题．
 

16.【答案】  

【解析】解：且，
四边形为平行四边形，，
同理，
又，平面，，平面，
平面，平面，
又，，平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面，
所以；
与均为等边三角形，
将与沿着展开的平面图为菱形，
所以的最小值为．
故答案为：；．
第一空，证明平面，则，从而可求出三棱锥的体积；
第二空，将与沿着展开，则的最小值即为，从而可得出答案．
本题考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性质，化归转化思想，属中档题．
 

17.【答案】解：由题意得．
；
，
，
，
，
与的夹角的余弦值为． 

【解析】由题意得，则代入，即可求出答案；
分别求出，代入向量的夹角公式即可得出答案．
本题考查平面向量的数量积及性质，平面向量的夹角公式，属基础题．
 

18.【答案】解：由分层抽样法的定义知，从样本中按照等级分层抽样，随机抽取的个苹果中，
一级果有个，记为，二级果有个，记为，，，三级果有个，记为，
依次不放回地取出个，共包含个基本事件：，，，
，，，，，，，
，，，，，，，
，，，
设“第二次取到二级果”为事件，则事件包含个基本事件，
，
第二次取到二级果的概率为；
由样本知，这批苹果中一级果占，二级果占，三级果占，
所以个苹果中一级果有个，二级果有个，三级果有个，
一级果的质量约为千克，
二级果的质量约为千克，
三级果的质量约为千克，
总售价约为元，
该批苹果的销售收人约为元． 

【解析】根据分层抽样得定义分别求出三种等级得果子得个数，然后利用列举法结合古典概型即可得出答案；
先分别求出三个等级果子得个数，然后再求出三个等级果子得质量，从而可得出答案．
本题考查古典概型的概率公式，分层抽样，用样本估计总体，属基础题．
 

19.【答案】解：因为是奇函数，
所以对任意实数，，即，
所以，
即，
所以．
由得，
设，为上的任意两个实数，且，
则，
因为，所以，，
所以，即，
所以函数在上单调递增．
由，得，
因为为上的奇函数，所以，
所以，即，
所以对任意实数，恒成立，
所以，
解得，所以实数的取值范围为． 

【解析】因为是奇函数，由即可求出的值；
由定义法证得函数在上单调递增，由恒成立结合是奇函数得，转化为对任意实数，恒成立，所以，解不等式即可得出实数的取值范围．
本题考查函数的奇偶性，利用函数奇偶性、单调性化简抽象不等式，恒成立问题，属中档题．
 

20.【答案】解：选择条件．
由及正弦定理可得：，
因为，所以，
因为，所以，
选择条件．
由及正弦定理可得：，
即，
即．
在三角形中，，
所以，即，
因为，所以，所以，
因为，所以，
选择条件．
由及正弦定理可得：，
所以，
由余弦定理得：．
因为，所以．
由正弦定理得：，
从而，
所以．
由于三角形为锐角三角形，所以，
又，所以，
从而．
故三角形周长的取值范围是． 

【解析】选择条件利用正弦定理求出，即可求出；选择条件利用正弦定理求出，即可求出；选择条件利用正弦定理和余弦定理求得，即可求出．
利用正弦定理表示出，得到，再利用三角函数求最值即可得解．
本题考查正弦定理，余弦定理，三角函数的性质，函数思想，属中档题．
 

21.【答案】证明：因为四棱柱的底面为正方形，
所以，，，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
同理平面，
又，
所以平面平面；
解：如图，连接，交于，连接，

则，
又，
所以，即，
因为底面，底面，
所以，又，
所以平面，
在平面内作，垂足为，则，
又，所以平面，
连接，则就是直线与平面所成的角，设为，
因为，，
所以，，
在中，，
在中，，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】由四棱柱的性质和已知可证得四边形为平行四边形，则，由线面平行的判定可得平面，同理可证得平面，从而由面面平行的判定定理可证得结论；
连接，交于，连接，可证得平面，在平面内作，垂足为，连接，则就是直线与平面所成的角，再由已知求出，，从而可求出结果．
本题考查了面面平行的证明和线面角的计算，属于中档题．
 

22.【答案】解：方案：如图，矩形内接于扇形，

在中，设，则，，
在中，
所以，，
设矩形的面积为，
则．
由，得，
所以当，即时，，
因此，当时，活动场地面积取得最大值，最大值为．
方案：如图，矩形内接于扇形，

过点作的垂线分别交，于，，
由对称性可知，平分，
在中，设，则，，
在中，，
所以，，
设矩形的面积为，
则


，
，，
当，即时，．
，当时，活动场地面积取得最大值，最大值为． 

【解析】方案，如图所示，设，将，都用表示，再根据矩形得面积公式结合三角恒等变换化简，再根据三角函数得性质即可得出结论；
方案，如图所示，过点作的垂线分别交，于，，设，将，都用表示，从而可将矩形的面积表示成的函数，最后由三角函数的性质即可得解．
本题考查函数的建模，三角函数的性质，函数思想，属难题．