2021-2022学年河南省商丘市名校高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

2021-2022学年河南省商丘市名校高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知复数满足其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 某学校高三班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，班主任向班内同学征集书法作品贴在教室内墙壁上，其中有一幅作品是“天道酬勤”，这四个字分别由甲、乙、丙、丁四人每人写一个字组成．为了弄清楚“勤”字是由哪位同学书写的，班主任对四人进行了问话．甲说：“是丙或丁写的．”乙说：“是丙写的．”丙说：“不是甲和丁写的．”丁说：“是乙写的．”假设这四位同学有且只有两人说的是对的，则可以判断写“勤”字的同学是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

3. 已知函数其中为自然对数的底数的图象在处的切线的斜率为，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列四个命题：
   由样本数据得到的回归直线方程至少经过样本点，，，中的一个；
   在回归分析中，若模型一的相关指数，模型二的相关指数，则模型一的拟合效果比模型二的好；
   回归直线一定经过样本点的中心；
   在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高．
   正确命题的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 将名教师分派到个学校，每个学校至少分派名教师，互不相同的分派方法种数为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知，则二项式的展开式中含项的系数是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上(    )

A.
B.
C.
D.

8. 已知函数在处取得极小值，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 甲、乙两位同学进行围棋比赛，比赛实行七局四胜制没有平局，先胜四局者获胜，已知每局比赛甲同学获胜的概率为，且前五局比赛甲：领先，则甲最终获胜的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知随机变量的分布列如下表所示

则当取最大值时，的值为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 在四次独立重复试验中，事件在每次试验中发生的概率相同，若事件至少发生一次的概率为，则事件发生次数的期望是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 若随机变量，且，则______．
14. 给出以下数对序列：
    
    ，
    ，，
    ，，，
    
    记第行第个数对为，如，则______．
15. 已知函数在处的切线与直线垂直，若，则______用数字作答．
16. 已知函数若存在实数且，使得成立，则实数的取值范围是______．

三、解答题（本大题共7小题，共82分）

17. 年月日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，三位航天英雄平安回家为进一步培养中学生对航空航天的兴趣爱好，某学校航空航天社团在校内进行招新工作，前天的报名情况如下：第一天人，第二天人，第三天人，第四天人，第五天人，第六天人．
    已知第天的报名人数为，通过对数据观察，可用线性回归模型拟合与之间的关系，求关于的线性回归方程，并预测第七天的报名人数；
    该社团为了解中学生对航空航天的兴趣爱好和性别是否有关系，随机调查了名学生，并得到如下的列联表：

根据列联表判断能否有的把握认为“中学生对航空航天的兴趣爱好与性别有关”？
参考公式及数据：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式为
，；，其中．

，，．

18. 设，均为正实数，证明：；
    证明：，，不可能是一个等差数列中的三项．
19. 已知函数在处取得极小值．
    求实数的值；
    若有个零点，求实数的取值范围．
20. “学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台．“学习强国”学习平台于年月日在全国正式上线．该平台首次实现了“有组织、有管理、有指导、有服务”的学习，极大地满足了互联网条件下广大党员干部和人民群众多样化、自主化、便捷化的学习需求．某市为了解居民每天关注“学习强国”平台的情况，随机抽取了位居民，对他们每天关注“学习强国”平台的时间进行统计，得到如下的频数分布表：

根据频数分布表估计这位居民每天关注“学习强国”平台的平均时间；
为引导广大居民积极利用“学习强国”进行理论学习，该市有关部门举办学习经验交流会，从学习时间在和的居民中按分层抽样的方法抽取人参加交流会，已知这人中有名党员，若需要从这人中选出人分享学习的心得体会，设选出的党员的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．

21. 已知．
    讨论函数的单调性；
    若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
    求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
    已知点，若直线与曲线交于，两点，求的值．
23. 已知函数．
    若的最小值为，求实数的值；
    若关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，在复平面内对应的点的坐标为位于第一象限．
故选：．
先对化简，再结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意，若是甲写的，则甲、乙、丙、丁四人说的都不对，不满足题意；
若是乙写的，则甲、乙说的不对，丙和丁说的是对的，满足题意；
若是丙写的，则甲、乙、丙三人说的是对的，丁说的不对，不满足题意；
若是丁写的，则甲说的是对的，乙、丙、丁说的是不对的，不满足题意．
综上所述，是乙写的．
故选：．
分别假设甲、乙、丙、丁说的正确，再根据对话情况可逐一判断．
本题考查合情推理，考查学生的推理能力，属于中档题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，解得．
故选：．
求解导函数，利用切线的斜率，转化求解即可．
本题考查函数导数的应用，切线方程的应用，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：对于，回归直线方程可能不经过样本点，，，中的一个，故错误，
对于，在回归分析中，若模型一的相关指数，模型二的相关指数，
，
则模型一的拟合效果比模型二的好，故正确，
对于，由线性回归方程的性质可知，回归直线一定经过样本点的中心，故正确，
对于，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故正确，
故错误，正确．
故选：．
根据已知条件，线性回归方程的性质，相关指数和残差的定义，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的性质，相关指数和残差的定义，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：先把教师分成两组，有两种分组方法：
一种是一组人，另一组人，再将组教师分配到个学校，有种分法；
一种是两组均为人，再将组教师分配到个学校，有种分法，
故共有种分组方法．
故选：．
先将教师分为组，有，；，两种分法，再将组教师分配到个学校，根据排列组合公式列式计算即可．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
则二项式的通项公式为，
则，解得，
则项的系数为．
故选：．
首先利用定积分的应用求出被积函数的原函数确定的值，进一步利用二项展开式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，二项展开式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，当验证时，左端的式子为：．
时，等式左端，
当时，等式左端，增加了项．
故选：．
首先分析题目求用数学归纳法证明时，列出表达式，当时左端应在的基础上加上的式子，可以分别使得，和代入等式，然后把时等式的左端减去时等式的左端，即可得到答案．
此题主要考查数学归纳法的问题，属于概念考查题，这类题型比较简单多在选择填空中出现，属于基础题目
 

8.【答案】 

【解析】解：，函数在处取得极小值，
则，即，
所以，
当且仅当时，等号成立．
故选：．
求出导函数，通过函数的极小值推出，的关系，然后利用基本不等式求解即可．
本题考查函数的导数的应用，极值的求法以及基本不等式的应用，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：甲最终获胜包括下面两种情况，
甲以：获胜，概率为，
甲以：获胜，概率为，
所以甲最终获胜的概率为．
故选：．
先得到甲最终获胜包括两种情况，再分别利用相互独立事件概率乘法公式求解．
本题考查概率的求法，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 

10.【答案】 

【解析】解：由离散型随机变量分布列的性质可知，，即，
且，
，
当时，取得最大值，此时．
故选：．
根据离散型随机变量分布列的性质可知，，再结合期望与方差的公式，即可求解．
本题主要考查期望与方差的公式，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：设事件在每次试验中发生的概率为，
事件至少发生一次的概率为，
事件一次也没发生的概率为，则，解得，
事件发生的次数服从二项分布，
故．
故选：．
根据已知条件，结合对立事件的概率和为，求出，再结合二项分布的期望公式，即可求解．
本题主要考查对立事件的概率和为，以及二项分布的期望公式，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为当时，，所以．
令，则，所以在上单调递减，
因为是定义在上的偶函数，所以是上的奇函数，
又因为是的导函数，所以的图象连续，故在上单调递减．
因为，所以，
所以当时，等价于，解得；
当时，等价于，解得．
综上可知，不等式的解集为．
故选：．
利用已知条件推出令，通过导数判断函数在上单调递减，结合函数的奇偶性，然后转化不等式求解即可．
本题考查函数导数的应用，函数的单调性以及奇偶性的应用，不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据正态分布的对称性列式计算即可．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由数对序列归纳可知，表中第行有个数对，每个数对中两个数的和为，
每个数对的第一个数为此数对所在的列，
故，，所以．
故答案为：．
根据题意可知表中第行有个数对，每个数对中两个数的和为，每个数对的第一个数为此数对所在的列，从而可求得答案．
本题考查归纳推理，考查学生的推理能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，则，，
故，
令，可得；
令，得，
所以．
故答案为：．
先根据题意可求得，则令，通过令及可求得答案．
本题涉及的知识点有：导数的几何意义，两直线垂直的条件，考查赋值法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：不妨设，当时，，，不存在实数且，使得成立．
当时，若存在实数且，使得成立，则方程，即有大于的实数根．
令，则．
若，则，在上单调递增，则，此时方程无解．
若，则当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，
故只需，
令，则，，
所以在上单调递减，
又，所以，即时，不等式恒成立．
综上可知，实数的取值范围是．
故答案为：．
不妨设，当时，验证即可．当时，说明有大于的实数根．令，则通过的范围，利用函数的单调性转化求解最值即可．
本题考查函数导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，分类讨论思想的应用，是难题．
 

17.【答案】解：由表中数据可得，，，
则，，
故关于的线性回归方程为，
当时，，即第七天的报名人数大约为人．
，
有的把握认为“中学生对航空航天的兴趣爱好与性别有关”． 

【解析】根据已知条件，结合最小二乘法，求出线性回归方程，将代入上式的线性回归方程，即可求解．
根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的求解，考查转化能力，属于基础题．
 

18.【答案】证明：因为，均为正实数，
所以，当且仅当时，等号成立．分
因为，当且仅当时，等号成立．分
故成立，当且仅当时，等号成立．分
假设，，是公差为的等差数列中的三项，分
设，，其中，，为两两互不相等正整数，分
则，即，则分
因为是有理数，而是无理数，所以矛盾，分
即假设不成立．所以，，不可能是一个等差数列中的三项．分 

【解析】利用基本等式综合即可得证；
利用反证法即可得证．
本题考查不等式的证明，涉及了基本不等式以及反证法的运用，考查推理论证能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：，
因为在处取得极小值，
所以，解得或．
当时，．
令，解得或；令，解得．
所以在，上单调递增，在上单调递减，此时在处取得极大值，不合题意，舍去．
当时，．
令，解得或；令，解得．
所以在，上单调递增，在上单调递减，此时在处取得极小值，符合题意，
综上可知，．
由知，，，
且在，上单调递增，在上单调递减，
要使有个零点，只需且，
解得，
故实数的取值范围为． 

【解析】利用函数的极值求解，然后判断函数的极值推出结果即可．
利用函数的单调性通过函数的极值，列出不等式求解即可．
本题考查函数导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的判断，是中档题．
 

20.【答案】解：平均时间的估计值为：．
由频率分布表可知，在中抽取人，在中抽取人，
随机变量的可能取值为，，，，
，
，
，
，
故随机变量的分布列为：

故． 

【解析】根据已知条件，结合平均数公式，即可求解．
随机变量的可能取值为，，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
 

21.【答案】函数的定义域为，，
当时，在上单调递增
当时，方程的两个实数根为，，
当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减．
综上可知，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
不等式，即．
令，
则．
当时，恒成立，则在上单调递增，
而，可知不恒成立．
当时，令，解得；令，解得．
在上单调递增，在上单调递减，
，
故只需即可．
令，则，
在上单调递减，又，
．
故实数的取值范围为． 

【解析】将函数进行求导，大于得到增区间，小于得到减区间，而且要进行分类讨论．
将不等式恒成立问题问题转化为求最值问题进行求解，求导，求最值．
该题考查了如何利用导数研究函数最值，考查了对问题的转换，属于中档题．
 

22.【答案】解：直线的参数方程为为参数，
消去参数得直线的普通方程为，
曲线的极坐标方程为．
，又，，，
，，
曲线的直角坐标方程为；
直线的参数方程为为参数，
直线的标准参数方程为，为参数，，
且表示直线上对应的点到定点的距离，
又直线与曲线交于，两点，
将直线的标准参数方程代入曲线的直角坐标方程可得：
，设，两交点对应的参数为，，
，，


． 

【解析】消去参数即可得直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化关系即可得解；
先将直线的参数方程化成标准参数方程，再将直线的标准参数方程代入曲线的直角坐标方程得参数的一元二次方程，最后利用直线的标准参数方程中参数的几何意义即可求解．
本题考查直线的参数方程与普通方程的转化，曲线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线的标准参数方程中参数的几何意义，属中档题．
 

23.【答案】解：因为，分
所以，解得或．
故实数的值为或分
由题意知，在上恒成立，
即，恒成立，分
即恒成立，即恒成立，分
可得，即．
综上可知，实数的取值范围为分 

【解析】由绝对值不等式的性质可得，结合题意可求得的值；
问题可转化为恒成立，进而得到在上恒成立，由此可得解．
本题考查绝对值不等式的性质，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．