2021-2022学年福建省三明市高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年福建省三明市高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 函数的图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

3. 已知随机变量，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. “”是“函数的定义域为”的(    )

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 为更好开展常态化疫情防控核酸检测服务工作，某单位安排名党员志愿者到个免费采样点协助工作，每名志愿者只去个采样点，每个采样点至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

6. 已知集合，，则下列对应关系中是从集合到集合的函数是(    )

A. ： B. ：
C. ： D. ：

7. 已知正实数，满足，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 某校为推广篮球运动，成立了篮球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员进行传球训练，从甲开始随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第次触球者，第次触球者是甲的概率为，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 已知个成对数据的散点图如下，若去掉点，则下列说法正确的是(    )

A. 变量与变量呈负相关
B. 变量与变量的相关性变强
C. 残差平方和变小
D. 样本相关系数变大

10. 若，则下列不等式中一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 设为正整数，展开式的系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，下列说法正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则展开式中项的系数为
D. 若，则展开式中项的系数为

12. 已知函数，下列说法正确的有(    )

A. 的一个周期是
B. 的对称中心是
C. 在上的最大值是
D. 在内的所有零点之和为

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知曲线在点处的切线为，则直线的方程为______．
14. 某城市每年月份的平均气温近似服从，若，则可估计该城市月份平均气温低于摄氏度的天数为______．
15. 悬索桥是以通过索塔悬挂并锚固于两岸或桥两端的缆索或钢链作为上部结构主要承重构件的桥梁．当微积分尚未出现时，伽利略猜测缆索悬链线的形状是抛物线，直到年莱布尼兹和伯努利借助微积分推导出缆索悬链线的方程为，其中为参数．当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的有双曲正弦函数则______，函数的最小值为______．
16. 已知函数的最小值为，则实数______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 三明市拥有丰富的非物质文化遗产资源，目前，我市有永安大腔戏、泰宁梅林戏、龙舞大田板凳龙、竹纸制作技艺、祭祖习俗石壁客家祭祖习俗、沙县小吃制作技艺、杂剧作场戏等个项目入选国家级非物质文化遗产代表性项目名录．为了研究市民的性别与对我市非物质文化遗产资源了解程度的关联性，某调查机构随机抽取位市民其中男女各位进行问卷调查．被调查者得分的频数统计表如表：

若被调查者得分不低于分，则认为对我市非物质文化遗产资源“了解”，若得分低于分，则认为对我市非物质文化遗产资源“不了解”．
完成下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与了解程度有关联？

参考公式：．
参考数据：

18. 已知函数，且，且．
    求；
    ，求的取值范围．
19. 有箱同一品种的零件，每箱装有个零件，其中第一箱内一等品个，第二箱内一等品个，第三箱内一等品个，现从箱中随机挑出一箱，然后从该箱中依次随机取出个，取出的零件均不放回，求：
    第次取出的零件是一等品的概率；
    在第次取出的零件是一等品的条件下，第次取出的零件也是一等品的概率．
20. 年端午期间，某百货公司举办了一次有奖促销活动，顾客消费满元含元可抽奖一次，抽奖方案有两种只能选择其中的一种．
    方案一：从装有个形状、大小完全相同的小球其中红球个，黑球个的抽奖盒中，有放回摸出个球，每摸到次红球，立减元．
    方案二：从装有个形状，大小完全相同的小球其中红球个，白球个，黑球个的抽奖盒中，不放回摸出个球，中奖规则为：若摸到个红球，个白球，享受免单优惠；若摸出个红球和个黑球则打折；若摸出个红球，个白球和个黑球，则打折；其余情况不打折．
    某顾客恰好消费元，选择抽奖方案一，求他实付金额的分布列和期望；
    若顾客消费元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理？
21. 在国家大力发展新能源汽车产业的政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长．已知某地区年底到年底新能源汽车保有量的数据统计表如表：

根据统计表中的数据判断，与哪一个更适合作为关于的经验回归方程给出判断即可，不必说明理由，并根据你的判断结果建立关于的经验回归方程；
假设每年新能源汽车保有量按中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同．若年底该地区传统能源汽车保有量为千辆，预计到年底传统能源汽车保有量将下降试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．
参考数据：，，，，，其中，，，．
参考公式：
对于一组数据，，，，其经验回归直线的斜率和截距的
最小二乘估计公式分别为，；

22. 已知函数．
    若，求函数的极值；
    讨论函数的零点个数．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
求解函数的定义域化简，再由交集运算得答案．
本题考查交集及其运算，考查函数定义域的求法，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：函数的定义域为，故D错，又函数为偶函数，图像关于轴对称，故C错，
根据，幂函数的图像可得A正确．
故选：．
利用函数奇偶性可排除，根据定义域可排除，根据图像可以排除．
本题考查了函数的奇偶性以及幂函数图像相关知识，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：随机变量，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合二项分布的方差公式，以及方差的线性公式，即可求解．
本题主要考查二项分布的方差公式，以及方差的线性公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：当时，恒成立，即满足题意；
当时，要使函数的定义域为，
则，解得，或，无解，
综上，函数的定义域为，则，
所以“”是“函数的定义域为”的充分不必要条件．
故选：．
根据充要条件的定义，判断即可．
本题考查充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：将名志愿者分配到个免费采样点协助工作，每人只去个采样点，每个采样点至少安排人，则不同的安排方法共种．
故选：．
按照，，分组：先选人去个采样点，剩余两人，人组，最后全排列即可．
本题考查了排列组合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，当时，，则集合中没有元素和对应，不是从集合到集合的函数，A错误，
，，，，满足函数的定义，是从集合到集合的函数，B正确，
，当时，，则集合中没有元素和对应，不是从集合到集合的函数，C错误，
，当时，，则集合中没有元素和对应，不是从集合到集合的函数，D错误，
故选：．
结合函数的值域和定义域之间的关系，根据函数的定义分别进行判断即可．
本题主要考查函数的定义及判断，满足函数必须要求中每个数在中都有唯一的数有对应，否则不能构成函数．
 

7.【答案】 

【解析】解：正实数，满足，，，
，
当且仅当，即，，时取等号，
的最小值是，
故选：．
先变形得到，再利用乘“”法和基本不等式求最值即可．
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：要想第次触球者是甲，则第次触球的人不能是甲，且第次触球的人有的概率将球传给甲，
，即，
设，则，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以，所以，
所以．
故选：．
要想第次触球者是甲，则第次触球的人不能是甲，且第次触球的人有的概率将球传给甲，有，设，可求得，从而有是以为首项，以为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得，代入可求得．
本题考查古典概型结合等比数列，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由散点图可知，去掉点后，与的线性相关加强，且为负相关，故AB正确，
由于与的线性相关加强，则残差平方和变小，故C正确，
与的线性相关加强，且为负相关，
相关系数的绝对值变大，而相关系数为负，
故样本相关系数变小，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合图象，以及变量间的相关关系，即可求解．
本题主要考查散点图的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于选项：，构造函数，则，所以在上不具有单调性，故A错误．
对于选项：，，即，故B正确．
对于选项：令，，则，，故C错误．
对于选项：令，则，所以在上单调递增，故D正确．
故选：．
和选项可以构造函数，求导判断单调性，即可判断．选项可以举反例．选项直接证明即可．
本题主要考查利用函数单调性判断不等式是否成立，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：若，则，，故A正确；
若，则，可得，
即，解得，故B正确；
若，则，
展开式中项的系数为，故C错误；
若，则，
展开式中项的系数为，故D正确．
故选：．
由题意利用二项式系数的性质，二项展开式的通项公式，组合数的计算公式，求得的值，判断与；利用二项展开式的通项公式，求得展开式中项的系数与项的系数，判断与．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项展开式的通项公式，组合数的计算公式，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：选项A：，所以不是的一个周期，错误．
选项B：的对称中心是，也是的对称中心，所以的对称中心是，B正确．
选项C：，当时，；令解得．
所以当即时，，单调递减；即时，，单调递增．
所以，C错误．
选项D：在所有零点即与图像所有交点的横坐标，
根据选项关于中心对称和选项中的单调性可画出简图：

显然是一个交点，
又因为也关于中心对称，所以图像交点关于对称．
故零点和为，D正确．
故选：．
选项AB根据三角函数的性质分析即可；选项C求导分析的单调性求出最值；选项D根据对称性和单调性，数形结合分析即可．
本题考查三家函数的性质及利用导数求函数的最值，考查学生的综合能力，属于难题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由，得，
，
即直线的斜率为，
直线的方程为，即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：每年月份的平均气温近似服从，
，
，
故可估计该城市月份平均气温低于摄氏度的天数为．
故答案为：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，属于基础题．
 

15.【答案】  

【解析】解：，
，
令，则，
当时，函数有最小值．
故答案为：；．
利用已知化简求值即可；写出函数的表达式，利用换元法以及二次函数的图象和性质求出最小值．
本题考查简单的类比推理、换元法、二次函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：函数的图象如图：
函数的最小值为，
可知，可得．
故答案为：．
利用分段函数，画出函数的图象，结合函数的最小值，转化求解即可．
本题考查函数的图象的应用，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
 

17.【答案】解：列联表如下：

零假设为：分类变量与相互独立，即性别与了解程度之间无关联，
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与了解程度之间有关联，此推断犯错误的概率不大于． 

【解析】根据已知条件，结合频数分布表，即可推得列联表，再结合独立性检验公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，考查转化能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：因为，
所以，即，
所以，或．
又因为，且，
所以．
由得，所以，
因为和在上是增函数，所以在上是增函数，
又因为，所以为奇函数，
因为，所以，
所以，所以，
即的取值范围是 

【解析】利用，进行求解即可．
利用函数奇偶性和单调性的性质  进行转化求解即可．
本题主要考查函数单调性和奇偶性的性质，结合奇偶性的性质，单调性的定义进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
 

19.【答案】解：设“被挑出的是第箱”，“第次取出的零件是一等品”，
则，
，
，
故第次取出的零件是一等品的概率是．
由得，
，
，
，
故在第次取出的零件是一等品的条件下，第次取出的零件也是一等品的概率为． 

【解析】根据已知条件，结合条件概率公式，分别计算从第，，箱取出一等品的概率，并求和，即可求解．
先计算前次都取出一等品的概率，再结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，考查转化能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：设实付金额为元，
则可能的取值为，，，，
，，
故的分布列为：

故元．
若选择方案一，设摸到红球的个数为，实付金额为，则，
由已知可得，
故，
所以元，
若选择方案二，设实付金额为元，则可能的取值为，，，，，．
故的分布列为：

所以元，
所以，
故从实付金额的期望值分析顾客选择方案一更合理． 

【解析】设实付金额为元，则可能的取值为，，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
根据已知条件，结合期望公式，分别求出两种方案的期望，通过比较大小，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是，
令，则，
，，，，，
，
故．
设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为，
依题意得，，解得，
设从年底起经过年后的传统能源汽车保有量为千辆，
则有，
设从年底起经过年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，
则有，
，解得，
故从年底起经过年后，即年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车． 

【解析】根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是，再结合换元法，以及最小二乘法，即可求解．
根据已知条件，先求出传统能源汽车保有量每年下降的百分比，从年底起经过年后的传统能源汽车保有量，再结合从年底起经过年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的求解，以及对数公式的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：的定义域为，
当时，，，
令，得，
当变化时，，的变化情况如下表：

所以有极小值，无极大值．
解法一因为，
当时，，
令，
，
当或时，，单调递增，
当或时．，单调递减，
所以有极大值，极小值，
令，解得，
当或时，；当，
所以，的图象经过特殊点，，
当时，，当时，，
根据以上信息，我们画出的大致图象如图所示．

的零点个数为函数的图象与直线的交点个数．
所以，关于函数的零点个数有如下结论：
当或时，有个零点；
当或或时，有个零点；
当时，没有零点．
解法二设，，
由知，当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以有最小值为，且，
当时，，当时，，
直线恒过定点且斜率为，
当直线与相切时，设与切于点，
则，解得或，
所以或，
结合图象可知

当或时，有个零点，
当或或时，有个零点，
当时，没有零点．
解法三
因为，
令，
，令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以，函数有最小值为，且，，
当时，，当时，，
所以，
当时，恒成立，且不恒为，单调递增，
又，，
所以存在唯一的个零点，
当时，与有个交点，
即存在，使，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减．
所以有极大值，
因为，所以，
，
由于，从而，
即当时，，
故在上没有零点，
当时，单调递增，
又，，
所以在上存在唯一的个零点，
当时，与有个交点，
即存在，使得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以有极小值，
因为，
所以，
，
当，即时，，
又，当时，，
所以仅在上存在个零点；
当，即时，，
又，
当时，且，，
所以，
所以在和上各存在个零点，
即有个零点；
当或，即或时，，有个零点．
当，即时，，没有零点
当，即时，，
又，
当时，与一次函数相比，指数函要呈爆炸性增长，且，
所以，
所以在和上各存在个零点，
即有个零点；
综上所述，当或时，有个零点，
当或或时，有个零点，
当时，没有零点． 

【解析】当时，，求导得，令，得，列表分析当变化时，，的变化情况，即可得出答案．解法一，当时，，令，，函数与交点个数，即可得出答案．
解法二设，，零点个数可转化为函数与交点的个数，即可得出答案．
解法三求导得，令，求导得，分析的单调性，进而可得的最小值，分情况：当时，当时，当时，与交点个数，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．