2021-2022学年江西省景德镇市高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

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2021-2022学年江西省景德镇市高二（下）期末数学试卷（文科） 题号一二三总分得分      一、单选题（本大题共12小题，共60分）已知复数满足，则的虚部为(    )A.  B.  C.  D. 已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 学校田径运动会有名运动员参加跳高比赛，预赛成绩各不相同，取前名参加决赛，某同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道这名运动员成绩的(    )A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是(    )A.  B.  C.  D. 已知等差数列满足，，则数列的前项和为(    )A.  B.  C.  D. 定义在上的函数满足，且函数为奇函数．当时，，则(    )A.  B.  C.  D. 已知双曲线，，分别为的上、下顶点，点为上异于和的一点，直线，的斜率分别为，；若，则的渐近线方程为(    )A.  B.  C.  D. 已知点是函数图象的一个对称中心，其中，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则(    )A.  B.  C.  D. 已知，若，则(    )A.  B.  C. 或 D. 或年月日时分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功，火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级单位：与声强单位：满足若人交谈时的声强级约为，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为，则火箭发射时的声强级约为(    )A.  B.  C.  D. 已知函数是定义在上的偶函数，且上单调递减，设，，，则(    )A.  B.  C.  D. 在边长为的菱形中，，现将沿折起，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为(    )A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共4小题，共20分）已知平面向量，，若，则______．展开式中，常数项是______．实数，满足，则的值为______．如图，已知，分别为椭圆的左、右焦点，为上位于第一象限内的一点，与轴交于点，若，则的离心率为______．
   三、解答题（本大题共7小题，共82分）在中，角，，的对边分别为，，，．
求角的大小；
若，求的面积．在全民抗击新冠肺炎疫情期间，某市教育部门开展了“停课不停学”活动，为学生提供了多种网络课程资源．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高二年级的学生若干进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间单位：小时，将样本数据分成，，，，五组全部数据都在内，并整理得到如图所示的频率分布直方图．
已知该校高二年级共有名学生，根据统计数据，估计该校高二年级每天学习时间不低于小时的学生人数；
利用统计数据，估计该校高二年级学生每天平均学习时间；
若样本容量为，用分层抽样的方法从样本中学习时间在和的学生中抽取人，再从人中随机抽取人调查其学习时间安排情况，求所抽取的人来自同一组的概率．
如图，在四棱锥中，四边形为菱形，且，平面，为的中点，为棱上一点．
求证：平面平面；
当为的中点，且时，求点到平面的距离．
已知抛物线：的焦点为，过焦点且垂直于轴的直线交于，两点，为坐标原点，的周长为．
求抛物线的方程；
过点作抛物线的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为，，试判断直线是否过定点？若过定点．求出其坐标；若不过定点，请说明理由．已知函数．
当时，求的单调区间；
设函数的最大值为，证明：．已知直线：为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，，求的值．已知关于的不等式有解．
求实数的取值范围；
设是的最大值，若，，，且，求证：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，
由虚部的定义可得，的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的运算，以及虚部的定义，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，，
．
故选：．
先求出集合，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集的定义，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：学校田径运动会有名运动员参加跳高比赛，预赛成绩各不相同，取前名参加决赛，
中位数和比中位数高的都能进入决赛，
某同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，
他还需要知道这名运动员成绩的中位数．
故选：．
学校田径运动会有名运动员参加跳高比赛，预赛成绩各不相同，取前名参加决赛，由此得到中位数和比中位数高的都能进入决赛．
本题考查中位数的性质及应用，考查平均数、众数、中位数、方差的定义等基础知识，考查数据分析能力，是基础题．
 4.【答案】 【解析】解：根据题意，对于，，有，是假命题，则为真命题，
对于，：，，是真命题，
故是真命题，
故选：．
根据题意，判断命题、的真假，由复合命题真假的判断方法分析选项，可得答案．
本题考查命题真假的判断，涉及特称命题和全称命题的真假判断，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】【分析】本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．
根据题意，由等差中项的性质可得，即可得，又由，计算可得答案．【解答】解：根据题意，等差数列满足，故，
又由，则，
则数列的前项和．
故选：．  6.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了函数的对称性、奇偶性及周期性，得了周期为是解答的关键点，也是难点，属于中档题．
由函数的对称性可以找到函数的周期，然后通过周期性和对称性即可求出的值．
【解答】
解：由可得，函数关于对称，
所以，
又因为函数为奇函数，
所以，
所以函数关于对称，
则有，
即，
又，
，
的周期为．

故选：．  7.【答案】 【解析】解：设，则，解得；
双曲线，，分别为的上、下顶点，
点为上异于和的一点，直线，的斜率分别为，；
由及，得；
由已知，得，所以的渐近线方程为．
故选：．
设出的坐标，代入双曲线方程，求解直线的斜率，通过斜率乘积，推出，关系，然后求解渐近线方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 8.【答案】 【解析】解：由题意知，所以，
所以，又，所以，即，
将的图象向右平移个单位长度后得的图象，
即，
故选：．
根据对称中心，可求解，进而可得，然后根据平移变换以及诱导公式即可求解．
本题考查三角函数的平移，考查学生的运算能力，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：，，
，，

，
故选：．
由已知结合同角平方关系，先求出，然后结合和差角公式求出．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角基本关系，两角和的正弦公式的应用，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】【分析】本题考查了对数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．
利用题中的公式，直接将数据代入即可解出．【解答】解：设交谈时的声强为，则，
，
所以火箭发射时的声强为：，
故火箭发射时声强级为：，
故选：．  11.【答案】 【解析】解：是定义在上的偶函数，且上单调递减，在上单调递增，
又，且，，，即，
故选：．
根据偶函数的单调性，及指、对数函数的性质求解．
本题考查了函数的奇偶性、单调性及指对数函数的单调性，是基础题．
 12.【答案】 【解析】解：边长为的菱形中，，现将沿折起，当三棱锥的体积最大时，
即时，三棱锥的体积最大；
如图所示：

点和为和的中心，点为外接球的球心，
利用勾股定理：，
所以，，
所以；
故．
故选：．
首先确定当时，三棱锥的体积最大，进一步求出外接球的半径，最后求出球的表面积．
本题考查的知识要点：球和三棱锥外接问题，球的半径的求法，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：，，
，
，
，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合共线向量的性质，即可求解．
本题主要考查共线向量的性质，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】【分析】
本题考查二项展开式的通项公式．
根据二项展开式的通项公式求得第项，令的指数为得常数项．
【解答】
解：展开式的通项为，
令得，
故展开式的常数项为，
故答案为．  15.【答案】 【解析】解：由，得．
则，令，则且，
令，则，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
对，，
即，当且仅当时等号成立．
综上，当且仅当时，成立，
此时，则．
故答案为：．
根据条件，令，得到，然后构造函数，求出的范围，进一步求出的值．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了转化思想，属中档题．
 16.【答案】 【解析】解：由题意知，设，由，可得，
从而可得，，；
根据椭圆的定义，，
所以．
故答案为：．
由椭圆的对称性可得，再由，可得，进而可得，，与的关系，再由椭圆的定义可得的值，求出椭圆的离心率．
本题考查椭圆的性质的应用及由三角形中角度关系求边的关系，属于中档题．
 17.【答案】解：因为所以由正弦定理可得，
又所以，
因为，所以所以，
所以；
由余弦定理，得，
又，所以，
由三角形面积公式得三角形的面积为． 【解析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据不为求出的值，即可确定的度数；
利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，将与的值代入求出的值，再由的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形面积即可．
本题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
 18.【答案】解：根据统计数据，估计该校高二年级每天学习时间不低于小时的学生人数为．
所以估计该校高二年级每天学习不低于小时的人数为人；
样本中学生每天学习时间的各组频率分别为，，，，，
样本中学生每天平均学习时间为，
所以估计该校高二年级学生每天平均学习时间为小时；
由题意知，样本中每天学习时间在的人数为，每天学习时间在的学生人数为，
故用分层抽样的方法从两组抽取的人数分别为人和人，分别记作，，，和，，
从中任取人的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共个，
其中来自同一组的基本事件有：，，，，，，，共个，故所求概率． 【解析】求出不低于小时的频率，再分析求解即可；
根据频率分布直方图平均数的计算方法求解即可；
利用列举法求解概率即可．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
 19.【答案】证明：连接，由题意知为等边三角形，
因为为的中点，所以，又，
所以，
因为平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面；
解：连接，因为，分别为，的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
设点到平面的距离为，则点到平面的距离也为，
因为，分别为，的中点，
所以，
所以，
又，点到平面的距离为，
所以，
又，
所以，所以，即点到平面的距离为． 【解析】连接，由为的中点得，，线面垂直得到，再由线面垂直的判断得到平面，面面垂直的判断得到平面平面；
连接，线面平行的判断得到平面，设点到平面的距离为，则点到平面的距离也为，利用等体积可得答案．
本题考查了面面垂直的证明和点到平面的距离计算，属于中档题．
 20.【答案】由题意在中代入，得，解得，
所以．
由勾股定理得，
则的周长为，
解得，
抛物线的方程为．
由题意可知，直线的斜率存在，且不为．
设直线的方程为，，
联立，消去，得，．
则，从而．
因为是弦的中点，所以，同理可得，
当，即士时，直线的斜率．
则直线的方程为即．
故直线过定点，
当，即时，直线的方程为，也过点． 【解析】将代入抛物线中，得出的长度，再由勾股定理得出，结合条件建立关于的方程，得出答案．
由题意设直线的方程为，，联立直线的方程与抛物线的方程，由韦达定理得出点坐标，同理得出点坐标，从而得出直线方程，得出答案．
该题考查了直线与抛物线的综合，考查运算能力，属于中档题．
 21.【答案】解：时，，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
证明：令，，
则．
当时，为的切线，此时，
当时，与至少有两个交点
则不存在，满足，此时．
综上可得：． 【解析】由题意首先求得导函数的解析式，然后利用导函数的符号即可确定函数的单调区间；
将原函数转化为两个函数之差的形式，然后分类讨论和两种情况即可证得题中的结论．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，导数与不等式的综合问题等知识，属于中等题．
 22.【答案】解：由，得，
又，，
曲线的直角坐标方程为；
把为参数代入，
整理得．
，设，对应的参数分别为，，则．
． 【解析】由曲线的极坐标方程及极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的直角坐标方程；
把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，化为关于的一元二次方程，利用参数的几何意义及根与系数的关系求解．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直线参数方程的应用，考查运算求解能力，是基础题．
 23.【答案】解：
，
要使关于的不等式有解，
只需，解得，
实数的范围为；
证明：由知，，由，，，且，
令，，，则，，，且，
，
又，当且仅当时取““”号，
所以，当且仅当时取““号；
不等式，
即． 【解析】根据绝对值的性质，结合公式法解绝对值进行求解即可；
运用换元法，基本不等式进行证明即可．
本题考查了不等式的恒成立问题，属于中档题．