人教版八年级上册第十一章 三角形综合与测试单元测试课后测评

这是一份人教版八年级上册第十一章 三角形综合与测试单元测试课后测评，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2021·武汉期中)给出下列长度的三条线段，能组成三角形的是( A )
A．3，4，5 B．8，6，15 C．13，12，25 D．7，2，3
【解析】根据三角形任意两边的和大于第三边，得A选项中，3＋4＝7＞5，能组成三角形；B选项中，8＋6＝14＜15，不能组成三角形；C选项中，13＋12＝25，不能够组成三角形；D选项中，2＋3＝5＜7，不能组成三角形．
2．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( C )
A.180° B．360° C．540° D．720°
【解析】黑色正五边形的内角和为：(5－2)×180°＝540°.
3．(2021·天津期中)n边形的每个外角都为15°，则边数n为( C )
A．20 B．22 C．24 D．26
【解析】n边形的每一个外角都相等，因此边数n＝360°÷15°＝24.
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD的度数是( B )
A.145° B．150° C．155° D．160°
【解析】由三角形的内角和定理得x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，
所以∠BAD＝∠B＋∠C＝2x＋3x＝5x＝5×30°＝150°.
5．如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝20°，∠2＝40°，则∠3等于( C )
A.50° B．30° C．20° D．15°
【解析】由题意得∠4＝∠2＝40°，由外角定理得∠4＝∠1＋∠3，
∴∠3＝∠4－∠1＝40°－20°＝20°.
6．如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O，若∠BCA＝70°，则∠BOE的度数是( B )
A．60° B．55° C．50° D．40°
【解析】∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°.
∵CE平分∠ACB，∠ACB＝70°，
∴∠DCO＝35°，∴∠BOE＝∠COD＝90°－35°＝55°.
7．如果一个三角形的三个外角之比为2∶3∶4，则分别与这三个外角相邻的三个内角的度数之比为( C )
A．4∶3∶2 B．3∶2∶4 C．5∶3∶1 D．3∶1∶5
【解析】设一份为x°，∵三个外角之比为2∶3∶4，
∴三个外角的度数分别为2x°，3x°，4x°，
∵2x°＋3x°＋4x°＝360°，解得x°＝40°，
∴三个外角分别为80°，120°和160°，
∵三角形外角与它相邻的内角互补，与之对应的三个内角的度数分别是100°，60°和20°，即三个内角的度数的比为5∶3∶1.
8．(2021·长春质检)将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能( A )
A．都是锐角三角形 B．都是直角三角形
C．都是钝角三角形 D．是一个直角三角形和一个钝角三角形
【解析】如图1，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形；如图2，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形；如图3，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．因为剪开的边上的两个角是邻补角，不可能都是锐角，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．综上所述，将一个三角形剪成两个三角形，这两个三角形不可能都是锐角三角形．
9．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，△ABC的面积是4 cm2，那么△BEC的面积是( B )
A.2.5 cm2 B．2 cm2 C．1.5 cm2 D．1 cm2
【解析】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，AD是△ABC的中线，所以S△ABD＝S△ACD＝ eq \f(1,2) S△ABC＝2(cm2).又因为E是AD的中点，所以BE和CE分别是△ABD和△ACD的中线，所以S△BDE＝ eq \f(1,2) SABD＝1(cm2)，S△CDE＝ eq \f(1,2) SACD＝1(cm2)，所以S△BEC＝S△BDE＋S△CDE＝2(cm2).
10．如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系是( B )
A．∠A＝∠1＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2
C．3∠A＝2∠1＋∠2 D．3∠A＝2(∠1＋∠2)
【解析】因为∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－(∠AED＋∠ADE)，所以∠B＋∠C＝∠AED＋∠ADE.在四边形BCED中，∠1＋∠2＝360°－2(180°－∠A)，化简得∠1＋∠2＝2∠A.
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．(2021·北京期中)如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是__三角形的稳定性__.
【解析】用窗钩AB可将其固定，构成了△AOB，三角形具有稳定性．
12．(2021·扬州期中)△ABC的两条边的长度分别为3和5，若第三条边长为偶数，则△ABC的周长为__12或14__.
【解析】设第三边长为x，由题意得5－3＜x＜5＋3，
解得2＜x＜8，
∵第三条边长为偶数，
∴x＝4或6，
∴△ABC的周长为：4＋3＋5＝12或6＋3＋5＝14.
13．如图，直线AB∥CD，∠A＝40°，∠D＝45°，则∠1的度数是__85°__．
【解析】∵AB∥CD，∴∠A＝∠C＝40°，
∵∠1＝∠D＋∠C，
∵∠D＝45°，
∴∠1＝∠D＋∠C＝45°＋40°＝85°.
14．(2021·岳阳期中)已知三角形的三个内角的比为2∶3∶5，则最大角的大小为__90°__．
【解析】这个三角形的最大内角是：180°× eq \f(5,2＋3＋5) ＝90°.
15．若某个正多边形的每一个外角都等于其相邻内角的 eq \f(1,2) ，则这个正多边形的边数为__六__．
【解析】设外角是x度，则相邻的内角是2x度．
根据题意得x＋2x＝180，解得x＝60.
则多边形的边数是：360°÷60°＝6.
16．若三角形的一个内角α是另一个内角β的3倍，我们称此三角形为“特异三角形”，其中β称为“特异角”，若一个“特异三角形”为直角三角形，则这个“特异角”的度数为__22.5°或30°__．
【解析】①“特异角”的3倍是直角时，“特异角”β＝ eq \f(1,3) ×90°＝30°；②“特异角”的3倍与“特异角”都不是直角时，由题意得β＋3β＝90°，解得x＝22.5°，所以“特异角”β是22.5°，综上所述，这个“特异角”的度数为22.5°或30°.
17．已知一个多边形的内角和与外角和的差是1 260°，则从这个多边形一个顶点能引出对角线__8__条.
【解析】设这个多边形为n边形，
根据题意，得(n－2)·180°－360°＝1 260°，
解得：n＝11.
从一个顶点出发的对角线有11－3＝8条．
18．如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1－∠2＝__72°__．
【解析】延长CB，交直线l1于点F，
∵l1∥l2，
∴∠3＝∠1，
∴∠1－∠2＝∠3－∠2＝∠ABF，
∵∠ABF是正五边形ABCDE的外角，
∴∠ABF＝360°÷5＝72°，
∴∠1－∠2＝72°.
三、解答题(共46分)
19．(6分)如图，在△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC上一点，BE与CD相交于点O，∠A＝60°，∠ABE＝15°，∠ACD＝25°，求∠BEC和∠COE的度数．
【解析】∵∠A＝60°，∠ABE＝15°，
∴∠BEC＝60°＋15°＝75°，
∴∠COE＝180°－∠BEC－∠ACD＝180°－75°－25°＝80°.
20．(6分)如图，在△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，请判断△ABC的形状．
【解析】在△ABC中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2＋∠3＝ eq \f(1,2) ×180°＝90°，
即∠ABC＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
21．(8分)(2021·南昌质检)(1)已知一个正多边形的每个内角比它的每个外角的4倍多30°，求这个多边形的边数；
(2)一个多边形的外角和是内角和的 eq \f(2,7) ，求这个多边形的边数．
【解析】(1)设这个多边形的每个内角是x°，每个外角是y°，
则得到一个方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4y＋30，,x＋y＝180，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝150，,y＝30，))
而任何多边形的外角和都是360°，
则多边形内角和中的外角的个数是360÷30＝12，
则这个多边形的边数是12；
(2)设这个多边形的边数为n，
依题意得 eq \f(2,7) (n－2)180°＝360°，
解得n＝9.
答：这个多边形的边数为9.
22．(8分)把一条长为18米的细绳围成一个三角形，其中两段长分别为x米和4米．
(1)求x的取值范围；
(2)若围成的三角形是等腰三角形时，求x的值．
【解析】(1)∵该三角形的周长是18米，其中两段长分别为x米和4米，
∴第三边的长度是18－4－x＝14－x(米).
∴14－x－4＜x＜14－x＋4，
即10－x＜x＜18－x，
解得5＜x＜9，
∴x的取值范围是5＜x＜9；
(2)①当边长为x米的边为等腰三角形的底时，x＋4＋4＝18，
解得x＝10，
∵10＞9，
∴x＝10，不合题意，舍去．
②当边长为4米的边为等腰三角形的底时，2x＋4＝18，
解得x＝7.
综上所述，x的值是7.
23．(8分)(2021·武汉质检)如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC.
(1)若AD⊥BC于D，∠C＝35°，求∠DAE的大小；
(2)若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C＝2∠FEC.
【解析】(1)∵∠C＝35°，∠B＝2∠C，
∴∠B＝70°，
∴∠BAC＝75°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝37.5°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝55°，
∴∠DAE＝55°－37.5°＝17.5°；
(2)∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AED＋∠FEC＝90°，
∵∠DAE＋∠AED＝90°，
∴∠DAE＝∠FEC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝ eq \f(1,2) ∠BAC＝ eq \f(1,2) (180°－∠B－∠C)＝ eq \f(1,2) (180°－3∠C)＝90°－ eq \f(3,2) ∠C，
∵∠DAE＝∠DAC－∠EAC，
∴∠DAE＝∠DAC－(90°－ eq \f(3,2) ∠C)＝90°－∠C－90°＋ eq \f(3,2) ∠C＝ eq \f(1,2) ∠C，
∴∠FEC＝ eq \f(1,2) ∠C，
∴∠C＝2∠FEC.
24．(10分)在△ABC中，AD是角平分线，∠B＜∠C，

(1)如图(1)，AE是高，∠B＝50°，∠C＝70°，求∠DAE的度数．
(2)如图(2)，点E在AD上，EF⊥BC于点F，试探究∠DEF与∠B，∠C的大小关系，并证明你的结论．
(3)如图(3)，点E在AD的延长线上，EF⊥BC于点F，试探究∠DEF与∠B，∠C的大小关系是__________(直接写出结论，不需证明).
【解析】(1)∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝ eq \f(1,2) ∠BAC，
∵AE⊥BC，∴∠CAE＝90°－∠C，
∴∠DAE＝∠CAD－∠CAE
＝ eq \f(1,2) ∠BAC－(90°－∠C)
＝ eq \f(1,2) (180°－∠B－∠C)－(90°－∠C)
＝ eq \f(1,2) ∠C－ eq \f(1,2) ∠B＝ eq \f(1,2) (∠C－∠B)，
∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠DAE＝ eq \f(1,2) (70°－50°)＝10°.
(2)结论：∠DEF＝ eq \f(1,2) (∠C－∠B).
证明如下：如图，过点A作AG⊥BC于点G，
∵EF⊥BC，∴AG∥EF，
∴∠DAG＝∠DEF.
由(1)可得，∠DAG＝ eq \f(1,2) (∠C－∠B)，
∴∠DEF＝ eq \f(1,2) (∠C－∠B).
(3)∠DEF＝ eq \f(1,2) (∠C－∠B).
(证明如下：如图，过点A作AG⊥BC于点G，
∵EF⊥BC，∴AG∥EF，∴∠DAG＝∠DEF，
由(1)可得，∠DAG＝ eq \f(1,2) (∠C－∠B)，
∴∠DEF＝ eq \f(1,2) (∠C－∠B).)
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