2020-2021学年第2章 图形的轴对称综合与测试同步测试题

这是一份2020-2021学年第2章 图形的轴对称综合与测试同步测试题，共31页。试卷主要包含了0分），【答案】A，【答案】C，【答案】D等内容，欢迎下载使用。

青岛版初中数学八年级上册第二单元《图形的轴对称》测试卷
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。


第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图所示是一台球桌面的示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是(    )

A. ① B. ② C. ⑤ D. ⑥
2. 在日常生活中，有一些含有特殊数字规律的车牌号码，如川A80808，川A22222，川A12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的我们不妨把这样的牌照叫做数字对称牌照，如果让你负责制作以9为字母“A”后的第一个数字，且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作(    )
A. 500个 B. 300个 C. 100个 D. 50个
3. 将一张长方形纸片(如图1)进行折叠操作．第一次折叠后(如图2)，使得∠DAE1=4∠E1AF1，再沿着AE1将纸片剪开，取△DAE1部分继续折叠；第二次折叠后(如图3)，使得∠DAE2=4∠E2AF2，再沿着AE2将纸片剪开，取△DAE2部分继续折叠；……按此操作，若将纸片沿着AEn剪开，此时∠DAEn小于20°，则n的最小值是(    )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 将面积为80cm2的△ABC按图所示方式折叠，使点A落在BC边上的点P处，折痕为BD，若△DBC的面积为50cm2，则BP与PC的长度比为(    )


A. 3:2 B. 5:3 C. 8:5 D. 13:8
5. 如图1，已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；如图2，在射线AD上取点E，连接BE，CE；如图3，在射线AD上取点F连接BF，CF，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是(    )

A. n B. 2n−1 C. n(n+1)2 D. 3(n+1)
6. 下列说法正确的是(    )
A. 等腰三角形的高线、中线、角平分线三线合一
B. 底角相等的两个等腰三角形全等
C. 角是轴对称图形，它的平分线是它的对称轴
D. 到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点
7. 在联谊会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的(    )
A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三边中垂线的交点 D. 三边上高的交点
8. 如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB=90°+12∠C；②当∠C=60°时，AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=ab.其中正确的是(    )
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③
9. 如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BC，则下列结论中正确的个数(    )
①CP平分∠ACF；  ②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB； ④AM+CN=AC
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是(    )
A. 50° B. 50°或65° C. 80°或50° D. 65°
11. 如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，△AEF的两顶点E，F分别落在边BC，CD上，从给出的四个条件中任选一个：①∠EAF=60°；②∠AEF=60°；③AE=AF；④EA=EF.能够推出ΔAEF为等边三角形的是(    )

A. ①② B. ②④ C. ①②④ D. ①③④
12. 如图，∠AOB=120∘，OP平分∠AOB，且OP=10.若点M，N分别在射线OA，OB上，且△PMN是边长为整数的等边三角形，则满足上述条件的点M有(参考数据：3≈1.73) (    )

A. 4个以上 B. 4个 C. 3个 D. 2个
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是AB的中点，将AM沿CM所在的直线翻折，点A落在点A′处，A′M⊥AB，且交BC于点D，A′D：DM的值为______．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，点M为边AC的中点，点D为边AC上一动点，连接BD，作△BCD关于直线BD的轴对称图形，点C的对应点为点E，连接ME，则ME长度的取值范围为______．

15. 在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB上一点，AE=AD，且BF//CD，AF⊥CE的延长线于F.连接DE交对角线AC于H.下列结论：①△ACD≌ACE；②AC垂直平分ED；③CE=2BF；④CE平分∠ACB.其中结论正确的是______.(填序号)
16. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB与∠CAB的平分线交于点P，PD⊥AB于点D.若△APC与△APD的周长差为2，四边形BCPD的周长为12+2，则BC等于________．



三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 某货运公司最近接了一批货物，决定采用厢式货车托运甲、乙两种货物，已知某辆厢式货车所装托运货物的总体积不能超过40 m3，总重量不能超过2000 kg.甲、乙两种货物每袋的体积(单位：m3)、重量(单位：kg)和可获得的利润(单位：元)列表如下：
货物
每袋体积
每袋重量
每袋利润
甲
5
200
300
乙
4
300
400
问该辆厢式货车托运这两种货物各多少袋时，可获得最大利润？
18. 如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．

19. 已知：在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，且点E是AC的中点，AC⊥BD，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点G．

(1)如图1，求证：∠BGE=∠ADE；
(2)如图2，若∠ABC=90°；
①求证：DE=EG；
②若AC=8，△ BCG的面积为4，求四边形ABCD的面积．
20. 如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．
(1)求证：AD垂直平分EF；
(2)若∠BAC=60°，写出DO与AD之间的数量关系，不需证明．

21. 如图，△ABC中
(1)尺规作图：作AB的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点 E．
(2)在(1)图中连DB，如果AC=10，BC=6，求△DBC的周长．

22. 如图，在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥BE．
(1)求证：AC=DE+BD；
(2)若AB=6cm，则△DBE的周长为______．

23. 如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C．
求证：点C在∠AOB的平分线上．

24. 已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，AD=DE．

(1)如图1，当E在AC的延长线上且CE=CD时，AD是△ABC的中线吗？请说明理由；
(2)如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；
(3)如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系．
25. 已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在直线AB、BC上，且AD=BE．

(1)如图1，若点D、E分别是AB、CB边上的点，连接AE、CD交于点F，过点E作∠AEG=60°，使EG=AE，连接GD，则∠AFD=______(填度数)；
(2)在(1)的条件下，猜想DG与CE存在什么关系，并证明；
(3)如图2，若点D、E分别是BA、CB延长线上的点，(2)中结论是否仍然成立？请给出判断并证明．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题主要考查了生活中的轴对称现象；结合轴对称的知识画出图形是解答本题的关键．入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角，动手操作即可．
【解答】
解：如图，求最后落入①球洞；
故选A．
  
2.【答案】C 
【解析】解：∵以9为字母“A”后的第一个数字且有五个数字的“数字对称”牌照，
第一位为9，则第五个也是9
第三位可以是0∽9中任意一个，有10种可能．
第二、第四位可以是0∽9中任意一个，有10种可能．
所以9开头的组合最多是10×10=100个．
故选C．
以9开头，那么最后一位数字也只能是9，那么只有中间3位可以随便取，又因为第二位和第四位数字必须一样，实际上只有第二位和第三位可以取0～9十个数字，所以只有100个．
本题考查了轴对称图形的知识，注意掌握对称的要求，正确分析各个数位的数字情况．

3.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了图形折叠的规律问题，由题意找出规律，列出不等式解出即可．
【解答】
解：由题意得：第一次折叠后∠DAE1=90°1−15，
第一次折叠后∠DAE2=90°1−152，
第n次折叠后∠DAEn=90°1−15n，
所以∠DAEn=90°1−15n≤20°，
则n的最小值为4，
故选C．  
4.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了折叠的性质：折叠前后的两个三角形是全等三角形，它们的面积相等．由题意分别计算出△DBP与△DCP的面积，从而BP：PC=S△DBP：S△DCP，问题可解．
【解答】
解：由题意可得：S△ABD=S△ABC−S△DBC=80−50=30(cm2).
由折叠性质可知，S△DBP=S△ABD=30(cm2)，
∴S△DCP=S△DBC−S△DBP=50−30=20(cm2).
∴BP：PC=S△DBP：S△DCP=30：20=3：2．
故选A．  
5.【答案】C 
【解析】
【分析】
此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．
根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．
【解答】
解：∵△ABD和△ACD关于直线AD对称，
∴∠BAD=∠CAD．
在△ABD与△ACD中
AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，△ABE≌△ACE(SAS)，
∴BE=EC，
∵△ABD≌△ACD，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDE中
EB=ECBD=CDDE=DE，
∴△BDE≌△CDE(SSS)，
∴图2中有1+2=3对三角形全等；
同理：图3中有1+2+3=6对三角形全等；
由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是n(n+1)2．
故选：C．  
6.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，轴对称图形的定义，线段垂直平分线的性质，关键是结合各个知识点对各个选项依次判断．
【解答】
解：A.等腰三角形底边上的高线、中线，顶角的平分线三线合一，故本项错误；
B.底角相等的两个等腰三角形，即两个等腰三角形的三个角对应相等，这两个三角形不一定全等，故本项错误；
C.角是轴对称图形，它的平分线所在直线是它的对称轴，故本项错误；
D.三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，故本项正确；
故选D．  
7.【答案】C 
【解析】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故选：C．
为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．

8.【答案】C 
【解析】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA=12∠CBA，∠OAB=12∠CAB，
∴∠AOB=180°−∠OBA−∠OAB=180°−12∠CBA−12∠CAB=180°−12(180°−∠C)=90°+12∠C，①正确；
∵∠C=60°，
∴∠BAC+∠ABC=120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA=12(∠BAC+∠ABC)=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠AOF=60°，
∴∠BOE=60°，
如图，在AB上取一点H，使BH=BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO=∠EBO，
在△HBO和△EBO中，BH=BE∠HBO=∠EBOBO=BO，
∴△HBO≌△EBO(SAS)，
∴∠BOH=∠BOE=60°，
∴∠AOH=180°−60°−60°=60°，

∴∠AOH=∠AOF，
在△HBO和△EBO中，∠HAO=∠FAOAO=AO∠AOH=∠AOF，
∴△HBO≌△EBO(ASA)，
∴AF=AH，
∴AB=BH+AH=BE+AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，

∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH=OM=OD=a，
∵AB+AC+BC=2b
∴S△ABC=12×AB×OM+12×AC×OH+12×BC×OD=12(AB+AC+BC)⋅a=ab，④正确．
故选：C．
由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH=BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，再证得△HBO≌△EBO，得到AF=AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确．
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，是解决问题的关键．

9.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，掌握角平分线的性质判定是解题的关键．
①作PD⊥AC于D，由角平分线的性质得出PM=PN，PM=PD，得出PM=PN=PD，即可得出①正确；
②首先证出∠ABC+∠MPN=180°，证明Rt△PAM≌Rt△PAD(HL)，得出∠APM=∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN(HL)，得出∠CPD=∠CPN，即可得出②正确；
③由角平分线和三角形的外角性质得出∠CAE=2∠PAM=∠ABC+∠ACB，∠PAM=12∠ABC+∠APB，得出∠ACB=2∠APB，即可得出③正确；
④由全等三角形的性质得出AD=AM，CD=CN，即可得出④正确．
【解答】
解：①作PD⊥AC于D，

∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BC，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
PA=PAPM=PD，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD(HL)，
∴∠APM=∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN(HL)，
∴∠CPD=∠CPN，
∴∠MPN=2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC=180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE=2∠PAM=∠ABC+∠ACB，∠PAM=12∠ABC+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB，③正确；
④∵Rt△PAM≌Rt△PAD(HL)，
∴AD=AM，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN(HL)，
∴CD=CN，
∴AM+CN=AD+CD=AC，④正确；
故选：D．  
10.【答案】B 
【解析】解：当底角为50°时，则底角为50°，
当顶角为50°时，由三角形内角和定理可求得底角为：65°，
所以底角为50°或65°，
故选：B．
分这个角为底角和顶角两种情况讨论即可．
本题主要考查等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．

11.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查等边三角形的判定与性质．
根据等边三角形的判定方法分别对四个条件一一推理判断即可．
【解答】
解：①∠EAF=60°能够推出ΔAEF为等边三角形
理由如下：
如图

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵∠B=60∘
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAC=∠ACD=60∘
∵∠EAF=60∘
∴∠BAE+∠EAC=60∘，
∵∠CAF+∠EAC=60∘，
∴∠BAE=∠CAF
在△BAE和△CAF中，
{∠BAE=∠CAFAB=AC∠ABE=∠ACF
∴△ABE≌△ACF(SAS)，
∴AE=AF
∵∠EAF=60∘，
∴△AEF为等边三角形．
②∠AEF=60°能够推出ΔAEF为等边三角形
理由如下：
如图

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC．
∵∠B=60°．
∴△ABC是等边三角形，
在AB上截取BG=BE，则△BGE是等边三角形，
∴AG=AB−BG=BC−BE=EC，
∵∠AEC=∠BAE+∠B=∠AEF+∠FEC，又因为∠B=∠AEF=60°，
∴∠BAE=∠CEF．
在△AGE与△ECF中，
∠AGE=∠ECF=120°AG=EC∠GAE=∠CEF．
∴△AGE≌△ECF(ASA)，
∴AE=EF．
∵∠AEF=60°，
∴△AEF是等边三角形;
③AE=AF不能推出ΔAEF为等边三角形
理由如下：
如图

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵∠B=60∘
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴∠ACD=∠ACB=∠ABC=60∘，AB=AC，
因为AE=AF，AB=AC，∠ACB=∠ABC=60∘，边边角不能判定△ABE与△ACF全等，
故不能推出ΔAEF为等边三角形；
④EA=EF. 不能推出ΔAEF为等边三角形
理由如下：
如图

在AB上截取BM=BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵∠B=60∘
∴△ABC、△BEM和△ACD都是等边三角形，
∴AM=EC，
∴∠AME=120°=∠ECF，
因为AE=EF，AM=CE，∠AME=∠ECF，边边角不能判定△AME与△ECF全等，
故不能推出ΔAEF为等边三角形．  
12.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考等边三角形判定和性质、全等三角形的判和性质、角平分线的定义，勾股定理．解的关键是添加辅助线，构造等边三角形，由此即可得出结论．
【解答】
解：在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．






∵OP平分∠AOB，
∴△OEP，△PFO是等边角形，
∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN，
在△PEM和△PON中，
{PEM=∠PONPE=PO∠EPM=∠OPN,
∴△PEM≌△PON，
∴PM=PN，
∵∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，
当PM⊥OA时，PM=53≈8.65，
∵△PMN边长为整数，M，N分别在射线OA，OB上，
∴53 ∴PM=9或10，
这样的整数只有9和10，两边各有两个满足条件的三角形，即满足上述条件的点M有4个．
故选B．
  
13.【答案】2 
【解析】解：连接AA′，交CM于点P，如图，

设DM=a(a>0)，AM=b(b>0)，
∵M是AB的中点，∠ACB=90°，
∴CM是Rt△ABC有斜边上的中线，
∴CM=12AB，
即AM=BM=CM，
∴BM=CM=b，AB=AM+BM=2b，
∵A′M⊥AB，
∴∠A′MB=∠A′MA=90°，
即∠DMA=∠DMB=90°，
∴DB=DM2+BM2=a2+b2，
∵AM、A′M关于CM对称，
∴A′M=AM，∠AMC=∠A′MC，AA′⊥CM，
∴A′M=b，
∴A′D=A′M−DM=b−a．
∵∠A′MA=90°，
∴∠AMC+∠A′MC=90°，
∴2∠AMC=90°，
∴∠AMC=45°，
∵AA′⊥CM，
∴△APM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AP=MP=22AM=22b，
∴CP=CM−MP=b−22b=2−22b，
∵AA′⊥CM，
∴∠APC=90°，
∴AC=AP2+CP2
=(22b)2+(2−22b)2
=2−2×|b|，
∵b>0，
∴2−2×|b|=b2−2，
故AC=b2−2，
∵在Rt△ABC中，sinB=ACAB，
在Rt△DMB中，sinB=DMDB，
∴ACAB=DMDB，
∴b2−22b=aa2+b2，
∴aa2+b2=2−22，
∴a2a2+b2=(2−22)2=2−24，
故a2+b2a2=42−2，
∴1+(ba)2=4(2+2)(2+2)(2−2)=4+22，
∴(ba)2=3+22，
∵a>0，b>0，
∴ba>0，
∴ba=3+22=(2+1)2=2+1，
∴A′DDM=b−aa=ba−1=2，
即A′D：DM的值为2．
故答案为：2．
连接AA′，交CM于点P，可设DM=a(a>0)，AM=b(b>0)，由直角三角形斜边上的中线的定义可得CM是Rt△ABC有斜边上的中线，可得BM=CM=b，AB=AM+BM=2b，再由折叠的性质可得A′M=AM，∠AMC=∠A′MC，AA′⊥CM，从而可求得∠AMC=45°，则可证得△APM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，故有CP=CM−MP=b−22b=2−22b，从而可求得AC=b2−2，再由sinB=ACAB，sinB=DMDB，得ACAB=DMDB，可求得a2+b2a2=42−2，ba=3+22=(2+1)2=2+1，即可求解．
本题主要考查翻折变换(折叠问题)，解答的关键是明确折叠的过程中相应的边或角之间的关系．

14.【答案】7−2≤EM≤3 
【解析】解：如图，连接BM．

在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=30°，BC=2，
∴AC=3BC=23，
∵AM=MC=3，
∴BM=BC2+CM2=22+(3)2=7，
由对称的性质可知，BE=BC=2，
∵EM≥BM−EM=7−2，
∴EM的最小值为7−2，
当点D与A重合时，EM的值最大，此时EM⊥AC，EM=AM⋅tan60°=3，

∴7−2≤EM≤3．
故答案为：7−2≤EM≤3．
如图，连接BM.求出BM，根据EM≥BM−EM=7−2，推出EM的最小值为7−2，当点D与A重合时，EM的值最大，求出EM的最大值，可得结论．
本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是求出EM的最小值与最大值，属于中考常考题型．

15.【答案】①②③④ 
【解析】解：①∵AD//BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°．
∵AB=CB，
∴∠BAC=45°，
∴∠DAC=45°．
在△AEC和△ADC中，
AE=AD∠CAE=∠CADAC=AC，
∴△AEC≌△ADC(SAS).故①正确；
②∵△AEC≌△ADC，
∴DC=CE．
又∵AD=AE，
∴AC是DE的垂直平分线．
即AC垂直平分ED.故②正确；
③取CE的中点G，连接BG，
∵∠ABC=90°，GE=GC，
∴BG=CG=12CE
∴∠GCB=∠GBC．
∵∠FGB=∠GCB+∠GBC，
∴∠FGB=2∠GCB．
∵BF//CD，
∴∠BFG=∠DCF．
∵∠BFG=∠DCF=∠FGB，
∴∠BFG=∠FGB．
∴BF=GB．
∴BF=12CE，
即CE=2BF，故③正确．
④∵CE=2BF=2BG，
∴BF=BG，
∴∠BFG=∠BGF=2∠GCB，
∵FB//CD，
∴∠BFG=∠DCE，
∴∠BCG=12∠BFG=12∠DCE=∠ACE，
∴CE平分∠ACB；故④正确；
∴结论正确的是：①②③④．
故答案为：①②③④．
由条件可直接证得△ACD≌△ACE；由三角形全等的性质可得CD=CE，又因为AD=AE所以AC是DE的垂直平分线即AC垂直平分ED；取CF的中点O连接BO，可得CE=2BO，再证明BF=BO即可，即问题转化为证明△EBC≌△EHC.再利用三角形的外角性质问题③④可得证．
本题考查了三角形全等的判断和性质；垂直平分线的判定；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰直角三角形两底角都是45°，题目难度不小，有一定的综合性．

16.【答案】6 
【解析】
【分析】
本题考查了三角形角平分线的性质. 作PE⊥AC，PF⊥BC，根据角平分线性质知道PD=PE=PF=EC=FC，AE=AD，BD=BF，然后根据已知条件列式计算即可．
【解答】
解：作PE⊥AC，PF⊥BC，

∵在△ABC中，∠ACB=90°，
根据角平分线性质知道PD=PE=PF=EC=FC，AE=AD，BD=BF，
∴△APC的周长=AP+PC+AC=AP+PC+AE+EC，
又△APD的周长=AP+PD+AD，
∴△APC的周长−△APD的周长=AP+PC+AE+EC−(AP+PD+AD)=PC=2，
∵BC=BF+FC=BD+PD
∴四边形BCPD的周长=BC+BD+PD+2=2BC+2，
∵四边形BCPD的周长=12+2，
∴2BC+2=12+2，
∴BC=6．
故答案为6．  
17.【答案】答案2test 
【解析】解析2test

18.【答案】解：如图所示：分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，
连接P1P2交OX于M，交OY于N，
则PM+MN+NP最短． 
【解析】分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，连接P1P2交OX于M，交OY于N，则PM+MN+NP最短．
本题主要利用了两点之间线段最短的性质通过轴对称图形的性质确定三角形的另两点．

19.【答案】(1)证明：∵点E是AC的中点，AC⊥BD，
∴AD=CD，△ADC是等腰三角形，
∴∠DAC=∠DCA，
∵AC⊥BD，BF⊥CD，
∴∠BEG=∠CFG=90°，
∵∠BGE=∠FGC，
∴∠EBG=∠FCG，
∴∠EBG=∠DAE，
∵∠BEG=∠AED，
∴∠BGE=∠ADE；
(2)①证明：∵点E是AC的中点，AC⊥BD，
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAE=∠ABE=45°，
∴AE=BE，
在△AED和△BEG中，∠EAD=∠EBGAE=BE∠AED=∠BEG，
∴△AED≌△BEG(ASA)，
∴DE=EG；
②解：∵∠ABC=90°，点E是AC的中点，
∴AE=CE=BE=12AC=12×8=4，
∵S△BCG=12CG⋅BE=12×CG×4=2CG，
∴2CG=4，
∴CG=2，
∴DE=EG=CE−CG=4−2=2，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12AC⋅BE+12AC⋅DE=12×8×4+12×8×2=24． 
【解析】(1)由线段垂直平分线的性质得AD=CD，由等腰三角形的性质得∠DAC=∠DCA，证∠EBG=∠FCG，则∠EBG=∠DAE，由△AED和△BEG的内角和即可得出结论；
(2)①易证△ABC是等腰三角形，∠BAE=∠ABE=45°，得AE=BE，由ASA证得△AED≌△BEG，即可得出结论；
②由直角三角形的中线性质得AE=CE=BE=12AC=4，由S△BCG=12CG⋅BE求出CG=2，则DE=EG=CE−CG=2，由S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC，即可得出结果．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的中线性质、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．

20.【答案】(1)证明：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
DE=DFAD=AD
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴AE=AF，
∴点A、D都在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF；
(2)DO=14AD，
证明：∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠EAD=30°，
∴DE=12AD，
∵∠EAD=30°，DE⊥AB，
∴∠DEO=30°，
∴OD=12DE，
∴DO=14AD． 
【解析】(1)根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt△AED≌Rt△AFD，根据全等三角形的性质证明；
(2)根据角平分线的定义、直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

21.【答案】解：(1)如图，DE为所作；

(2)∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴△BCD的周长=BD+BC+CD
=AD+CD+BC
=AC+BC
=10+6
=16． 
【解析】(1)利用基本作图作AB的垂直平分线DE；
(2)根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，然后利用等线段代换得到△BCD的周长=AC+BC，从而得到三角形的周长．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质．

22.【答案】6cm 
【解析】(1)证明：∵∠C=90°，
∴AC⊥DC，
又DE⊥AB，AD平分∠CAB，
∴DE=DC，
又∵BC=DC+BD，AC=BC，
∴AC=DE+BD；
(2)解：∵BC=AC=DE+BD，
在Rt△ACD与Rt△AED中，CD=DEAD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AE=AC，
∵DE⊥AB，∠B=45°，
∴BE=DE，
∴△DBE的周长=BD+DE+BE=AE+BE=AB=6cm．
故答案为：6cm．
(1)根据角平分线的性质得到DE=DC，等量代换即可得到结论；
(2)根据全等三角形的性质得到AE=AC，根据等腰直角三角形的性质得到BE=DE，等量代换即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，熟练正确全等三角形的判定与性质是解题的关键．

23.【答案】证明：作CG⊥OA于G，CF⊥OB于F，如图，
在△MOE和△NOD中，
OM=ON，∠MOE为公共角，OE=OD，
∴△MOE≌△NOD(SAS)．
∴S△MOE=S△NOD．
∴S△MOE−S四边形ODCE=S△NOD−S四边形ODCE，
∴S△MDC=S△NEC，
∵OM=ON，OD=OE，
∴MD=NE，
由三角形面积公式得：12DM×CG=12×EN×CF，
∴CG=CF，又∵CG⊥OA，CF⊥OB，
∴点C在∠AOB的平分线上． 
【解析】首先证明△MOE≌△NOD(SAS)，然后利用图形中的面积关系求得S△MDC=S△NEC，已知，两三角形的底相等，所以它们的高也相等，它们的高即是CG，CF，所以点C在∠AOB的平分线上．
本题主要考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的逆定理．而且考查了三角形全等判定和性质；所以学生所学的知识要系统．正确作出辅助线是解题的关键．

24.【答案】(1)解：如图1，结论：AD是△ABC的中线．理由如下：

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACD=∠CDE+∠E=60°，
∴∠E=30°，
∵DA=DE，
∴∠DAC=∠E=30°，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠CAD，∵AB=AC，
∴BD=DC，
∴AD是△ABC的中线．
(2)结论：AB+BD=AE，理由如下：
如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，

∵BH=BD，∠B=60°，
∴△BDH为等边三角形，AB−BH=BC−BD即AH=DC，
∴∠BHD=60°，BD=DH，
∵AD=DE，
∴∠E=∠CAD，
∴∠BAC−∠CAD=∠ACB−∠E即∠BAD=∠CDE，
∵∠BHD=60°，∠ACB=60°，
∴180°−∠BHD=180°−∠ACB即∠AHD=∠DCE，
在△AHD和△DCE，
∠BAD=∠CDE∠AHD=∠DCEAD=DE，
∴△AHD≌△DCE(AAS)，
∴DH=CE，
∴BD=CE，
∴AE=AC+CE=AB+BD．
(3)AB=BD+AE，
如图3，在AB上取AF=AE，连接DF，EF，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∴△AFE是等边三角形，
∴∠FAE=∠FEA=∠AFE=60°，AF=EF，
∴EF//BC，
∴∠EDB=∠DEF，
∵AD=DE，
∴∠DEA=∠DAE，
∴∠DEF=∠DAF，
在△AFD和△EFD中，
AD=DEDF=DFAF=EF，
∴△AFD≌△EFD(SSS)
∴∠ADF=∠EDF，
∴∠FDB=∠EDF+∠EDB，∠DFB=∠DAF+∠ADF，
∵∠EDB=∠DEF，
∴∠FDB=∠DFB，
∴DB=BF，
∵AB=AF+FB，
∴AB=BD+AE． 
【解析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等找出对应的线段．
(1)利用△ABC是等边三角形得出角，边关系，利用AD=DE，CD=CE，证明∠CAD=30°即可解决问题．
(2)在AB上取BH=BD，连接DH，利用△AHD≌△DCE得出DH=CE，得出AE=AB+BD，
(3)在AB上取AF=AE，连接DF，EF，利用△AFD≌△EFD得出角的关系，得出△BDF是等腰三角形，根据边的关系得出结论AB=BD+AE．

25.【答案】(1)60°
(2)DG=CE，DG//CE；
证明：由(1)知：△DAC≌△EBA，∠AFD=60°；
∴CD=AE，
∵∠AFD=∠AEG=60°，
∴GE//CD，
∵GE=AE=CD，
∴四边形GECD是平行四边形，
∴DG=CE，DG//CE；
(3)如图2，(2)中结论是否仍然成立，理由是：

延长EA交CD于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=AB，∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠DAC=∠ABE=120°，
在△ACD和△BAE中，
AD=BE∠DAC=∠ABEAC=AB，
∴△ACD≌△BAE(SAS)，
∴∠ACD=∠BAE，CD=AE，∠AEB=∠ADC，
∴∠EFC=∠DAF+∠BDC=∠BAE+∠AEB=∠ABC=60°，
∴∠EFC=∠GEF，
∴GE//CD，
∵GE=AE=CD，
∴四边形GECD是平行四边形，
∴DG=CE，DG//CE． 
【解析】
解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠DAC=∠ABE=60°，
在△ADC和△BEA中，
∵AC=AB∠DAC=∠ABEAD=BE，
∴△ADC≌△BEA(SAS)，
∴∠ACD=∠BAE，
∵∠AFD=∠FAC+∠ACD=∠FAC+∠BAE=∠BAC=60°；
故答案为：60°；
(2)见答案；
(3)见答案；
【分析】
(1)证明△ADC≌△BEA(SAS)，得∠ACD=∠BAE，再由三角形外角的性质可得结论；
(2)证明四边形GECD是平行四边形，可得DG=CE，DG//CE；
(3)同理证明△ADC≌△BEA和四边形GECD是平行四边形，可得DG=CE，DG//CE．
此题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是得出△ACD≌△BAE，并证明四边形GECD是平行四边形，同理还运用了类比的方法解决问题．