2021-2022学年重庆市渝北区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年重庆市渝北区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1. 使有意义的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列几组数据中，能构成直角三角形的三边长的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图，在平行四边形中，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 在一次射击训练中，甲、乙两人各射击了次，两人次射击成绩的平均数都是环，方差分别是，，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的描述正确的是(    )

A. 乙比甲稳定 B. 甲比乙稳定
C. 甲和乙一样稳定 D. 甲、乙稳定性没法对比

6. 下列命题正确的是(    )

A. 四条边都相等的四边形是正方形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

7. 已知正比例函数，且随的增大而减少，则直线的图象是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 菱形如图所示，对角线、相交于点，若，菱形面积等于，且点为的中点，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 在同一条道路上，甲车从地到地，乙车从地到地，两车同时出发，甲车先到达目的地，图中的折线段表示甲，乙两车之间的距离与行驶时间的函数关系，下列说法不正确的是(    )

A. 甲乙两车出发后相遇 B. 甲车速度是
C. 相遇时乙车距离地 D. 乙车到地比甲车到地迟

10. 如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点，连接若，，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 二次根式除法可以这样理解：如像这样通过分子、分母同乘以一个式子，把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．判断下列选项正确的是(    )
    若是的小数部分，则的值为；
    对于式子，对它的分子分母同时乘以或，均不能对其分母有理化；
    比较两个二次根式的大小；
    计算．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16分）

13. 计算：______．
14. 如图，矩形中，于点，若，则______度．

15. 直线经过点，且平行于直线，则这条直线的解析式为______．
16. 中国共产主义青年团成立周年之际，某校团委组织义务植树活动，让七、八、九三个年级的学生到某苗圃为本年级的种植点选购树苗，购买树苗的钱由学校统一支付．该苗圃共有种树苗可供选择，每种树苗分别有大、中、小三类树苗，且每种树苗大、中、小三类的单价分别为元棵、元棵、元棵，其中，，均为整数；三个年级每种树苗都选择了一棵，但对于同一种树苗，三个年级选择的树苗大小又各不相同．结账时，九年级花费了元，八年级和七年级共花费了元，则九年级购买小树苗共花费______元．

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

17. 计算：
    ；
    ．

四、解答题（本大题共8小题，共64分）

18. 如图，在平行四边形中，连接，相交于点，的平分线交于点．
    求作：的角平分线交于点；要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
    在的条件下，求证：．
    证明：四边形为平行四边形，
    ______．
    ．
    平分，
    ______．
    ______．
    ．
    ______．
    ．

19. 近日，渝北区中小学防溺水安全教育正式启动，某校积极响应并开展“防溺水安全知识竞赛”活动，从八年级、九年级各随机抽取名学生的竞赛成绩进行统计整理如下：
    九年级抽取的学生竞赛成绩：，，，，，，，，，．
    八、九年级抽取学生竞赛成绩统计表：

八年级抽取学生竞赛成绩条形统计图如图：
根据以上信息，解答下列问题：
表中______；
根据上述数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由一条理由即可；
该校八年级的名学生和九年级的名学生参加了此次竞赛活动，请估计这两个年级竞赛成绩达到分及以上的学生人数是多少？

20. 如图，一次函数的图象为直线经过和两点，一次函数的图象为直线，与轴交于点，连接，两直线，相交于点．
    求，的值；
    求点的坐标；
    求的面积．

21. 如图，折叠矩形的顶点所在角，使点落在边上的点处，折痕为．
    若，求的大小；
    若，，求的长．

22. 甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用天，且甲队单独施工天和乙队单独施工天的工作量相同．
    甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？
    设先由甲队施工天，再由乙队施工天，刚好完成筑路任务，用含的式子表示．
    在的条件下，若每天需付给甲队的筑路费用为元，每天需付给乙队的筑路费用为元，且甲、乙两队施工的总天数不超过天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工费用最少，并求出最少费用．
23. 一个四位正整数，，且，，，为互不相等的整数，将百位与千位对调，并将这个四位数去掉十位，这样得到的三位数称为的“变化数”，并记例如，则的“变化数”，且．
    求；
    将的千位数字与十位数字交换，百位数字和个位数字交换得到一个新的四位正整数，的“变化数”为，若，记，求的最大值．
24. 如图，菱形的顶点在原点，顶点在轴上，，．
    求边所在直线的解析式；
    如图，，分别是边，上的点包含端点，且，连接，，，求周长的最小值及此时点的坐标；
    在的结论下，若为平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标．
     

25. 在平行四边形中，连接，若，点为边上一点，连接，交于点．
    如图，若点为中点，对角线与相交于点，且的面积为，，求的长；
    如图，若点在上，且，连接，过作于点，连接并延长交于点，若，用等式表示线段，，的数量关系，并证明；
    如图，若，，点在边上，，且平分，线段点在点的左侧在线段上运动，且，连接，，请直接写出的最小值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查算术平方根有意义的条件，掌握算术平方根被开方数为非负数是解题的关键．
根据算术平方根的被开方数大于等于，列式计算即可．
【解答】
解：由题意得：，
解得．
故选B．  

2.【答案】 

【解析】解：、因为，所以不能组成直角三角形；
B、因为，所以不能组成直角三角形；
C、因为，所以不能组成直角三角形；
D、因为，所以能组成直角三角形．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的化简的法则，二次根式加法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的加减法，二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，四边形是平行四边形，
，
，
，
，
解得：，
故选：．
根据平行四边形的性质得出，则，再由，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的是乙，
乙比甲稳定；
故选：．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

6.【答案】 

【解析】解：、四条边都相等的四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；
故选：．
利用平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法，难度不大．
 

7.【答案】 

【解析】解：正比例函数，且随的增大而减少，
，
在直线中，
，，
函数图象经过二、三、四象限．
故选：．
先根据正比例函数的增减性判断出的符号，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，菱形面积等于，
，
，
，
，
点为的中点，，
，
故选：．
由菱形的面积公式可求，由勾股定理可求，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，求出的长是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：、由图象可知，出发后，甲，乙两车之间的距离为零，即两车相遇，故本选项说法正确，不符合题意；
B、乙的速度为：，
则甲的速度为：，故本选项说法不正确，符合题意；
C、相遇时乙车距离地：，故本选项说法正确，不符合题意；
D、甲车到地所用的时间为：，
，即乙车到地比甲车到地迟，故选项D说法正确，不符合题意；
故选：．
根据函数图象以及行程问题的数量关系计算，判断即可．
本题考查了一次函数的应用、行程问题的数量关系速度路程时间的运用，速度和的运用，解答时正确理解函数图象的数据的意义是关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由旋转可得，≌，
，，
又，
为的中点，
垂直平分，
，
设，则，，
，
，
中，，即，
解得，
的长为，
，
故选：．
根据垂直平分，即可得出，设，则，，再根据中，，求的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，利用勾股定理求出的长是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
由得：，
原不等式组的解集是：，
，
．
，
．
，
当时，方程无解，不合题意，
，
，
是正整数，
，，，
，，，
，
，
或，
符合条件的所有整数的和为：．
故选：．
先根据不等式组的解求的范围，再根据分式方程的解求．
本题考查分式方程和一元依次不等式组的解，根据不等式组的解求出的范围，根据分式方程的解求出的值是求解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：若是的小数部分，则，，故错误；
，
，
均不能对其分母有理化，
故正确；
，
，
，
故错误．



．
故正确．
故选：．
，把直接分母有理化即可判断；
按照题意，分别进行分母有理化计算即可判断；
把和分别分母有理化比较大小即可；
把的各项先分母有理化，再裂成两项计算即可；
本题考查了分母有理化，也是阅读材料问题，此类问题要认真阅读材料，理解材料中的知识：分母有理化．解题的关键是：根据平方差公式，将各式分母有理化．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次根式的减法运算，难度不大，注意先将二次根式化为最简是关键．先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
【解答】
解：

．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，且，
．
故答案为：．
由矩形的性质可知，则可求得度数，由直角三角形的性质可得的度数．
本题主要考查矩形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得的度数是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
把代入得，
解得，
所以直线解析式为．
故答案为：．
根据两直线平行的问题得到，然后把代入，求出的值即可．
本题考查了两直线平行或相交的问题：直线和直线平行，则；若直线和直线相交，则交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意，三个年级的学生各不相同，说明每一类树苗的各类都被三个年级的学生选购，
所以应是每一种菜品的总价的整数倍．
依题意有：，即，
，、都为正整数，
可知：，，，
设九年级选了大树苗份，中树苗份，
由题意，
．
若取小于以下的正整数，则的值大于等于，与题干解出的只有种树苗不符，
，．
则九年级购买小树苗共花费元．
故答案为：．
由题意可知，三个年级的学生各不相同，说明每一类树苗的各类都被三个年级的学生选购，所以应是每一种菜品的总价的整数倍，即，根据题意求出整数解，解出，，设九年级选了大树苗份，中树苗份，分情形求解即可．
本题考查了应用类问题，列代数式，二元一次方程的整数解等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

17.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先去括号和进行平方运算，然后进行有理数的基本运算；
通分运算后，进行约分处理．
本题考查完全平方公式，分式的混合运算，解题的关键在于正确的运算能力．
 

18.【答案】    平分   

【解析】解：如图．

证明：四边形为平行四边形，
．
．
平分，
．
平分，
．
．
．
故答案为：；；平分；．
根据角平分线的作图方法进行作图即可．
根据平行四边形的性质以及角平分线的定义即可得出答案．
本题考查尺规作图、角平分线的定义、平行四边形的性质，熟练掌握角平分线的作图方法、平行四边形的性质以及角平分线的定义是解答本题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：将九年级学生成绩重新整理为，，，，，，，，，．
则众数，
故答案为：；

九年级学生掌握防溺水安全知识较好，
因为九年级成绩的平均数大于八年级成绩，
所以九年级学生的防溺水安全知识较好答案不唯一．

估计这两个年级竞赛成绩达到分及以上的学生人数是人．
将九年级抽取的学生竞赛成绩重新整理，再根据众数的定义求解即可；
答案不唯一，从平均数、众数和中位数的意义求解即可；
分别用八、九年级的学生人数乘以样本中分及以上人数所占比例，再相加即可．
本题主要考查条形统计图、中位数、众数及样本估计总体，解题的关键是根据条形图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
 

20.【答案】解：把和代入得：
，
解得，
所以的值为，的值为；
由得，
联立解析式得，，
解得，
所以；
由，当时，，解得
所以点
所以． 

【解析】将点和点的坐标代入到一次函数的一般形式，求得、的值即可；
两函数联立组成方程组求得方程组的解后即可求得点的坐标；
首先求得点的坐标，然后利用求解即可．
本题考查了两条直线平行或相交的问题，求两条直线的交点坐标时通常联立后组成方程组求解．
 

21.【答案】解：四边形是矩形，
，，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
；
四边形是矩形，
，，，
由折叠的性质得：，，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长为． 

【解析】由折叠的性质得，，则，再由平行线的性质得，即可得出结论；
由折叠的性质得，，再由勾股定理得，则，然后由勾股定理得，即，求解即可．
本题考查翻折的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：设乙队完成此项任务需要天，则甲队完成此项任务天，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：甲、乙两队单独完成此项任务各需天、天；
由题意可得，
，
化简，得，
，
即与之间的函数关系式是；
设施工的总费用为万元，
，
甲、乙两队施工的总天数不超过天，
，
即，
解得，，
当时，取得最小值，此时，，
答：安排甲施工天、乙施工天，使施工费用最少，最少费用是万元． 

【解析】设乙队完成此项任务需要天，则甲队完成此项任务天，然后根据甲队单独施工天和队单独施工天的工作量相同，可以得到相应的分式方程，从而可以得到甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天；
根据题意，可以得到与的函数关系式；
根据中的条件和题意，可以得到总费用与甲施工天数之间的函数关系式，然后利用一次函数的性质即可解答本题，
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验．
 

23.【答案】解：；
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，，且，为互不相等的整数，
，或，，
当，时，；
当，时，．
的最大值为． 

【解析】根据计算即可求解；
利用得到，，将它们代入中，得到关于，的式子，利用，的取值范围得到，的值，分别代入的式子中，计算出结果后取最大值．
本题考查了整数问题的综合运用，有理数的混合运算，本题是阅读型题目，正确理解题意是解题的关键．
 

24.【答案】解：作于，

，．
，
，，
，
设的解析式为，
，
；
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，，，
，
，
≌，
，
是等边三角形，
当最小时，的周长最小，
此时，，
，；
由题意知，，，，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，
综上：或或 

【解析】作于，利用含角的直角三角形的性质可得点的坐标，再利用待定系数法求出的解析式；
由菱形的性质得是等边三角形，再利用证明≌，得，则是等边三角形，当最小时，的周长最小，从而解决问题；
分、、为对角线，分别利用中点坐标公式可得答案．
本题是一次函数综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，证明是等边三角形，确定点的坐标是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图中，连接．

四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
；

结论：．
理由：如图中，过点作于点．

四边形是平行四边形，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
点，在以为直径的圆上，
，，
，
≌，
，
，
，
设，则，，
，
，，
∽，
，
，
；

如图中，过点作，交于点，过点作于点，延长到，使得，连接，，

，
，
平分保存到，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，，
≌，
，
，
当，，三点共线时的值最小，
，，
，
，
，
． 

【解析】连接，证明，利用三角形的面积公式求出，再利用三角形中位线定理求出，可得结论；
证明∽≌，，得到，∽，得到，可得结论；
过点作 ，交于点得到四边形平行四边形，延长到，使，得到≌，所以，由勾股定理得求出即可．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．