青岛版初中数学九年级上册期中测试卷（较易）（含答案解析）

青岛版初中数学九年级上册期中测试卷

考试范围：第一.二章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，与位似，点是它们的位似中心，其中：：，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到已知点，，则与的面积比是(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

3. 如图，在平行四边形中，为边上的点，若：：，交于，则：等于(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

4. 如图，与位似，点为位似中心．已知：：，的周长为，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在中，是边上的点，，：：，则与的周长比是(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

6. 如图，在平行四边形中，点在边上，：；，连接交于点，则的面积与的面积之比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，位似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

8. 小林在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“重庆--行千里，致广大”竖直标语牌他在点测得标语牌顶端处的仰角为，由点沿斜坡下到隧道底端处在同一条直线上，，坡度为：，则标语牌的长       结果保留小数点后一位参考数据：，，，(    )

A.  B.  C.  D.

9. 某人想沿着梯子爬上高米的房顶，梯子的倾斜角梯子与地面的夹角不能，否则就有危险，那么梯子的长至少为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

10. 在中，若，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，小明为了测量其所在位置点到河对岸点之间的距离，沿着与垂直的方向走了米，到达点，测得，那么的长为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

12. 在中，若，满足，则是(    )

A. 等腰非等边三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 钝角三角形

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 在中，，，，则______．
14. 若是锐角三角形的一个内角，且满足，则的取值范围是______．
15. 新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，联结，如果点是的重心，那么的值是______．

16.  九章算术中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么井深为______米．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，在中，，点在上．在线段上求作一点，使∽保留作图痕迹，不写作法

18. 如图，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数，将得到的点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到正方形及其内部的点，其中点，的对应点分别为，，则______，______，______若正方形内部的一个点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点的坐标为______．

19. 如图，点为边上一点，，，求证：∽．

20. 如图，在平行四边形中，是对角线．
    尺规作图：过点作的垂线交于点不写作法，保留作图痕迹，并标明字母；
    在的条件下，若，，：：，求平行四边形的面积．

21. 计算：；
    化简：．
22. 某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在处测得树顶的仰角为，处测得树顶的仰角为点，，在一条水平直线上，已知测量仪高度米，米，求树的高度结果保留小数点后一位．参考数据：，，．

23. 如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼的高度进行测量，从小敏家阳台测得点的仰角为，测得点的俯角为，已知观测点到地面的高度，求居民楼的高度结果保留整数．参考数据：，，．

24. 关公是山西运城的名片，在解州常平关公故里的南山上有一尊世界上最高的关公铜像．它静静耸立在中条山间，远眺着河东大地，护佑着运城万民．数学实践小组想利用所学知识测量关公铜像的高度，下面是他们测量得到的相关数据：如图，他们在坡脚测得铜像顶端的仰角，然后沿坡面行走了一段距离到达处，发现垂直距离升高了米即点到的垂直距离为米，在处测得铜像顶端的仰角，已知，点，，，，，均在同一平面内，，为地平线，请你根据以上数据，利用所学知识求出关公铜像的高度．参考数据：，，

25. 在四边形中，和的平分线、交于边上的点且，．
    
    求证：四边形是平行四边形；
    连，当四边形是矩形时，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为与位似，点是它们的位似中心，且：：，
所以．
故选：．
根据位似图形的性质分析即可．
本题考查了相似图形，熟练掌握相似图形的有关知识是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：点，，
，，
与是位似图形，
，
∽，
，
与的面积比为：，
故选：．
根据位似图形的概念得到，证明∽，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
本题考查的是位似变换，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：：：，
设，则，，
四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
故选D．
通过证明∽，可得：，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：与位似，
∽，，
∽，
，
的周长：的周长：，
的周长为，
的周长为，
故选：．
根据位似图形的概念得到∽，，证明∽，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的周长比定义相似比解答即可．
本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比定义相似比是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
，
故选：．
根据相似三角形的周长之比等于相似比可以解答本题．
本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确相似三角形的周长之比等于相似比．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质．
先根据平行四边形的性质得到，，则：：，再证明∽，利用相似比得到，然后根据三角形面积公式求的面积与的面积之比．
【解答】
解：四边形为平行四边形，
，，
：；，
：：：，
即：，
，
∽，
，
的面积与的面积之比：：．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】本题主要考查图形的位似变换，以原点为位似中心，相似比为时，点在直线上，可分别位于点的两侧，且，结合点坐标可求解点的坐标，进而求解．
【解答】解：点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，点的对应点的坐标是或．
故选D．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．
根据斜坡的坡度为：，可得：：，，，再根据锐角三角函数即可求出的长．
【解答】
解：如图，

根据题意可知：
斜坡的坡度为：，
即：：，
，
，，
，
在中，，
．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：如图：，．
梯子的倾斜角梯子与地面的夹角不能．
，最大角为．
．
即梯子的长至少为米．
故选：．
倾斜角取最大，利用最大角的正弦值即可求解．
此题主要考查学生对直角三角形的坡度问题的掌握，做此题关键是明白当梯子的倾斜角越大时梯子的长度要求的越短，所以坡角取最大值．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握正弦定义．
利用三角函数定义计算出的长，然后再利用勾股定理计算出长即可．
【解答】
解：如图：

，，
，
，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题．
在直角中，已知及其邻边，求的对边，根据三角函数定义即可求解．
【解答】
解：在直角中，，米，
米．  

12.【答案】 

【解析】

【试题解析】

【分析】
本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质：绝对值、非负数的性质：偶次方．
根据非负数的性质得到，，再根据特殊角的三角函数值得到，，然后根据等边三角形的判定方法进行判断．
【解答】
解：根据题意得，，
，，
，，
为等边三角形．
故选B．

13.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得：，
所以，
故答案为：．
根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出即可．
本题考查了解直角三角形，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
直接利用绝对值的性质结合特殊角的三角函数值得出的取值范围．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：延长与交于点，

点关于直线的对称点是点，
，，，
是等高底三角形，是等底，
，
点是的重心，
，
设，则，
，

故答案为：．
延长与交于点，根据轴对称性质得，，，再由是等高底三角形，是等底，得，再根据三角形的重心定理得，设，则，由勾股定理用表示，进而计算的值便可．
本题主要考查了对称变换，三角形的重心性质，新定义，关键是根据三角形的重心性质得出与的数量关系．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
，
∽，
，
，
，
即井深为米，
故答案为．
首先证明∽，得到，将相关数值代入，求出即可．
本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图．
 

【解析】由，可得，再作即可．
本题考查作图相似变换、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握尺规作图的基本作法．
 

18.【答案】      

【解析】解：把经过变换后的对应点的坐标为，
而，
，，
把经过变换后的对应点的坐标为，
而，
，，
解得，，，
设点的坐标为，则，
点与点重合，
，，
解得，，
点坐标为．
故答案为：，，，．
根据点的坐标变换规律写出点、的对应点的坐标为，的坐标为，则可得到，，，，则解方程组得到、的值；设点的坐标为，根据点的坐标变换规律得到，根据题意得到，，然后求出、得到点坐标．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或也考查了坐标与图形变化．
 

19.【答案】解：，，
，
，，
，
又，
∽． 

【解析】直接利用：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似去证明即可．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图，作法：以点为圆心，足够长为半径画弧交于点、，再作线段的垂直平分线，交于点，此时直线过点，就是要求作的线段；
，，
，
由于：：，可设，则，，
，
，
，
，
答：平行四边形的面积为． 

【解析】根据过直线外一点，作已知直线的垂线的方法，利用尺规作图即可；
根据特殊锐角的直角三角形的性质可得，再根据条件求出高，利用平行四边形的面积的计算方法进行计算即可．
本题考查平行四边形的性质，尺规作图以及特殊锐角的直角三角形的性质，掌握平行四边形的面积的计算方法是正确解答的前提．
 

21.【答案】解：

；



． 

【解析】先算乘方，去绝对值，然后计算加减法即可；
先通分括号内的式子，然后计算括号外的乘法即可．
本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：连接，交于点，则，米，
在中，，
，
设米，则米，米，
在中，，
即，
解得，
经检验，是原方程的根，
即米，
米，
答：树的高度为米． 

【解析】连接，构造两个直角三角形，在两个直角三角形中根据锐角三角函数的定义求出即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：如图，过点作，垂足为，
由题意得，，，，
在中，，
，
在中，，，
，
，
答：居民楼的高度约为． 

【解析】通过作高，构造直角三角形，在两个直角三角形中用直角三角形的边角关系可求出、即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
 

24.【答案】解：延长交于，交于，过点作于，
则四边形为矩形，
米，，
设米，
在中，，米，
则米，
米，
在中，，
则米，
，
，即，
解得：，
米，米，
米，
答：关公铜像的高度约为米． 

【解析】延长交于，交于，过点作于，根据正切的定义求出、，根据题意列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

25.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
平分，平分，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：四边形是矩形，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
≌，
设，
，
在中，．
故答案为：． 

【解析】根据平行四边形的判定定理解答即可；
根据全等三角形的判定和锐角三角函数解答即可．
本题主要考查了平行四边形的判定定理和锐角三角函数，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．