青岛版初中数学九年级上册第一单元《图形的相似》单元测试卷（标准难度）（含答案解析）

这是一份青岛版初中数学九年级上册第一单元《图形的相似》单元测试卷（标准难度）（含答案解析），共24页。
青岛版初中数学九年级上册第一单元《图形的相似》单元测试卷考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：120分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是(    )
 A. ： B. ： C. ： D. ：下列说法正确的是(    )A. 有一个角等于的两个等腰三角形相似
B. 两个矩形一定相似
C. 有一个角等于的两个等腰三角形相似
D. 相似三角形一定不是全等三角形若两个相似五多边形的面积比为：，则它们的周长的比是(    )A. ： B. ： C. ： D. ：如图，正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是(    )A.
B.
C.
D. 如图，，每相邻两条直线之间的距离均相等．点，，分别在直线，，上，交于点，交于点，分别交，于点，若四边形的面积为，则的面积为(    )
A.  B.  C.  D. 如图，菱形中，点是边的中点，垂直交的延长线于点，若：：，，则菱形的边长是(    )
A.  B.  C.  D. 如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．点是格点四边形的边上一动点，连接，，若格点与相似，则的长为(    )
A.  B.
C. 或或 D. 或如图，甲、乙中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对甲、乙中两个三角形，下列说法正确的是(    )
A. 都相似 B. 都不相似
C. 只有甲中两个三角形相似 D. 只有乙中两个三角形相似如图，点和点都在坐标轴上，，为的中点，，交轴于点，交轴于点，交轴于点，交轴于点，在的左侧以为中心旋转，设的长为，的长为，则下列结论正确的是(    )
A. ∽ B.
C. ∽ D. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为与是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为：，点，都在格点上，则点的坐标是(    )
A.  B.  C.  D. 如图，以点为位似中心，将缩小后得，已知，则与的面积比为(    )A. ：
B. ：
C. ：
D. ：如图，将以为位似中心，扩大到，各点坐标分别为，，，则点的坐标为(    )
A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）两个相似多边形的周长比是：，其中较小的多边形的面积为，则较大的多边形的面积为______．如图，在直角中，已知，于点，若，则的长是______．
 如图，∽，，，则______．
 如图，已知矩形与矩形是位似图形，点是位似中心，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为          ．
   三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）如图，四边形∽四边形，且，，，，，．
写出它们相等的角及对应边的比例式；
求，的大小和的长．
为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，使每一部分都铺成如图所示的形状，且由块地砖组成，问：
每块地砖的长与宽分别为多少？
这样的地砖与所铺成的每一部分矩形地面是否相似？试说明理由．
已知：如图，在四边形中，，点、分别在边、上，与相交于点，．
求证：；
延长至点，联结，当时，求证：．
矩形中，，，、分别是、上的点，将四边形沿折叠时，点恰好落在处，点落在点处，连接．
求证：四边形是菱形；
求线段之长；
求折痕之长．
按要求作图，无需写作法：
如图，已知，，点在边上，四边形是平行四边形，只用无刻度的直尺在图中画出的平分线．
如图，在边长为个单位的方格纸上，有，请作一个格点，使它与相似，但相似比不能为．
 
如图，中，交于点，，：：，，，
求证：∽；
求的长．
 
如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，运动时间为，连接．
若和相似，求的值；
连接，，若，求的值．
如图，在中，，为边上的中线，于点．
求证：．
若，，求线段的长．
 
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、
画出关于轴对称的；
以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的；直接写出点的坐标．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：设原来矩形的长为，宽为，
则对折后的矩形的长为，宽为，
得到的两个矩形都和原矩形相似，
：：，
解得：：．
故选：．
表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．
本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，需要熟练掌握．
 2.【答案】 【解析】解：、有一个角等于的两个等腰三角形相似，因为只能是等腰三角形的顶角，所以这两个等腰三角形相似，正确，本选项符合题意；
B、两个矩形一定相似，错误，边不一定成比例，本选项不符合题意；
C、有一个角等于的两个等腰三角形相似，错误，角不一定是对应角，本选项不符合题意；
D、相似三角形一定不是全等三角形，相似比为时，是全等三角形，本选项不符合题意．
故选：．
根据相似图形的定义一一判断即可．
本题考查相似图形，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型．
 3.【答案】 【解析】解：两个相似多边形面积的比为：，
两个相似多边形周长的比等于：，
这两个相似多边形周长的比是：．
故选：．
直接根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可
本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
 4.【答案】 【解析】【分析】
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识．
如图，作，交于，交于设，则，求出，，利用相似三角形的判定与性质解决问题即可．
【解答】
解：如图，作，交于，交于．

四边形是正方形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
设，则，，，
，，
，
，
，
，
∽
，
故选：．  5.【答案】 【解析】解：由图象可得，点，，，分别为，，，的中点，
，，分别为，，的中位线，
，，
四边形的面积为，
，
．
故选：．
由图象可得点，，，分别为，，，的中点，从而可得，，分别为，，的中位线，由相似三角形的性质可得四边形的面积与三角形的面积的关系，进而求解．
本题考查相似三角形的判定及性质，解题关键是掌握三角形的中位线的性质．
 6.【答案】 【解析】解：过点作于点，如图，

四边形是菱形，
，．
，，
，
四边形为平行四边形，
，．
点是边的中点，
，
．
：：，
设，则，
，，
，
．
．
在中，
，
．
解得：负数不合题意，舍去，
．
．
即菱形的边长是，
故选：．
过点作于点，则四边形为平行四边形，可得，；设，则，可得，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解．
本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，灵活运用菱形的性质是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：设，则，
根据勾股定理可得，，
．
若格点与相似，分两种情况：
如果∽，那么，
即，
解得，．
当时，，，
；
当时，，，
；
如果∽，那么，
即，
解得．
当时，，，
．
综上所述，的长为或或．
故选：．
可设，则，根据勾股定理可得，再分两种情况：如果∽，如果∽，进行讨论即可求解．
本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是根据网格准确看图．
 8.【答案】 【解析】解：在图甲中，，
则，，
∽；
在图乙中，，，
，
又，
∽，
故选：．
在图甲中，根据三角形内角和定理求出，根据两角对应相等的两个三角形相似证明；在图乙中，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明．
本题考查的是相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：，
，，
是的中点，
点的坐标为．
，，
，
，．
，
．
．
∽，故A选项不符合题意；
，即．
；故B选项符合题意；
，
不一定等于，
不一定与相似，故选项C不符合题意；
∽，
，故选项D不符合题意．
故选：．
由，得到，，求得点的坐标为根据等腰直角三角形的性质得到，推出得到∽，故A选项不符合题意；根据相似三角形的性质得到；故B选项符合题意；由不一定等于，得到不一定与相似，故选项C不符合题意；根据相似三角形的性质得到，故选项D不符合题意．
本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，证得∽是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：由题意得：与的相似比为：，
又
的坐标是，即的坐标是
故选：．
把的横纵坐标分别乘以得到的坐标．
本题考查了位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可，注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘以的相似比的正负．
 11.【答案】 【解析】解：由位似变换的性质可知，，，
，
，
与的相似比为：，
与的面积的比：，
故选：．
根据位似变换的性质得到，，求出与的相似比，根据相似三角形的性质得到面积比．
本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
 12.【答案】 【解析】解：以为位似中心，扩大到，各点坐标分别为：、、，
相似比为：，
点坐标为：．
故选：．
利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出点坐标．
此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．
 13.【答案】 【解析】解：两个相似多边形的周长比是：，
两个相似多边形的相似比是：，
两个相似多边形的面积比是：，
较小多边形的面积为，
较大多边形的面积为，
故答案为：．
根据相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求出面积比，计算即可．
本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
 14.【答案】 【解析】解：，
．
又，
由勾股定理，得．
，同角的余角相等，
∽．
，即．
．
故答案为：．
利用射影定理求得的长度；然后根据勾股定理推知的长度；最后由相似三角形∽的对应边成比例求得的长度．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边、对顶角相等以及同角的余角相等等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
 15.【答案】 【解析】解：∽，
，
，
，
，
故答案为：．
利用相似三角形的性质求解．
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型．
 16.【答案】 【解析】解：点、的坐标分别为、，
，，，
矩形与矩形是位似图形，
，
∽，
，即，
解得：，
，
则点的坐标为，
故答案为：
根据位似图形的概念得到，证明∽，根据相似三角形的性质求出，进而求出，得到答案．
本题考查的是位似图形的性质、相似三角形的性质、坐标与图形性质，根据相似三角形的性质求出是解题的关键．
 17.【答案】解：四边形∽四边形，
，，，，．
四边形∽四边形，
，，，
，，
，
． 【解析】利用相似多边形的性质求解；
利用相似多边形的性质求解即可．
本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质，属于中考常考题型．
 18.【答案】解：设每块地砖的长与宽分别为，．
由题意：，
解得．
答：每块地砖的长与宽分别为，．

矩形地面的长为，宽为，
，
地砖与所铺成的每一部分矩形地面不相似． 【解析】构建方程组即可解决问题；
根据相似多边形的判定方法即可判断；
本题考查相似多边形的判定，二元一次方程组的应用，平面镶嵌等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
 19.【答案】证明：，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
如图：

，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
． 【解析】根据已知可得，从而可得∽，然后利用相似三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后证明四边形是平行四边形，从而利用平行四边形的性质即可解答；
根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而可证∽，进而利用相似三角形的性质即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 20.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
由折叠得：
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：四边形是矩形，
，
设，则，
在中，，
，
，
的长为；
解：连接，交于点，过点作，交于点，交于点，

，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
的长为． 【解析】根据矩形的性质可得，根据折叠可得，，然后利用角平分线和平行线的性质可得是等腰三角形，从而可得，最后根据菱形的判定方法，即可解答；
根据矩形的性质可得，然后设，则，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
连接，交于点，过点作，交于点，交于点，从而可证四边形是平行四边形，进而可得，然后根据菱形的性质可得，从而可得，最后证明∽，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换折叠问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 21.【答案】解：如图中，射线即为所求；
如图中，即为所求．
 【解析】连结，交于点，作射线，所以即为所求．
根据相似比等于，画出图形即可．
本题考查作图相似变换，平行四边形的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型．
 22.【答案】解：，，
∽；
∽，
，
又：：，，
，，
，
，即．
． 【解析】根据相似三角形的判定，可得答案；
根据相似三角形的性质，可得，再根据：：，，可得、的长，根据比例的性质，可得答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质，比例的性质．
 23.【答案】解：，，，
，
分两种情况讨论：
当∽时，，
，，，，
，
解得，，
当∽时，，
，
解得，，
或时，∽；

过作于点，，交于点，如图所示，
则，，，
，，
，
，
∽，
，
，
解得． 【解析】根据勾股定理即可得到结论；分两种情况：当∽时，：：；当∽时，：：，再根据，，，，代入计算即可；
过作于点，，交于点，则有，，，根据∽，得出：：，代入计算即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
 24.【答案】解：为边上的中线，
，
，
，，
，
，
；

在中，，，
，
，
即
． 【解析】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用面积法确定线段的长．
想办法证明，即可解决问题；
利用面积法：求解即可；
 25.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求，．
 【解析】利用关于轴对称的点的坐标特征写出、、的坐标，再描点得到；
把、、的橫纵坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可．
本题考查作图位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握位似变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型．