青岛版九年级上册第4章 一元二次方程综合与测试单元测试当堂达标检测题

这是一份青岛版九年级上册第4章 一元二次方程综合与测试单元测试当堂达标检测题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
青岛版初中数学九年级上册第四单元《一元二次方程》单元测试卷
考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 下列方程一定是一元二次方程的是(    )
A. 2x2+1x−1=0 B. ax2+bx+c=0
C. 2x2+1=0 D. x2+2xy+y2=0
2. 若n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的一个根，则m+n的值是(    )
A. 1 B. 2 C. −1 D. −2
3. 已知一元二次方程(a+1)x2−ax+a2−a−2=0的一个根与方程(a+1)x2+ax−a2+a+2=0的一个根互为相反数，那么(a+1)x2+ax−a2+a+2=0的根是(    )
A. 0，−23 B. 0，23 C. −1，2 D. 1，−2
4. 换元法是一种重要的转化方法，如：解方程x4−5x2+6=0，设x2=a，原方程转化为a2−5a+6=0.已知m，n是实数，满足(m2−2m)2+4m2−8m+6−n=0，则n的取值范围是(    )
A. n≤0 B. n≥4 C. n≥2 D. n≥3
5. 在正方形ABCD的对角线BD上取一点E，连结AE，过点E作EF⊥AE交BC于点F，将线段EF向右平移m个单位，使得点E′落在CD上，F′落在BC上．已知AE+EF+CF=24，CD=10，则m的值为(    )
A. 6
B. 43−2
C. 42
D. 23+2
6. 将关于x的一元二次方程x2−px+q=0变形为x2=px−q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3=x⋅x2=x(px−q)=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2−x−1=0，且x>0，则x4−2x3+3x的值为(    )
A. 1−5 B. 3−5 C. 1+5 D. 3+5
7. [a]表示不超过a的最大整数．若实数a满足方程a=1−1a+a−1a，则[a]= (    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知，如图，∠BAC=45°，AD⊥BC，垂足为D，BD=3，CD=2，则AD的长是(    )
A. 4
B. 6
C. 4.5
D. 5


9. 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有个；(    )
①方程x2−x−2=0是倍根方程；
②若(x−2)(mx+n)=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；
③若p、q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；
④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，则必有2b2=9ac．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 关于x的方程mx2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是(    )
A. m≤1 B. m≥1 C. m0，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2=
m+2
m
，x1x2=
1
4
，结合
1
x 1
+
1
x 2
=4m，即可求出m的值．
【解答】
解：由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=m+2m，x1x2=14，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=m+2m14=4m，
解得m1=2，m2=−1．
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=[−(m+2)]2−4⋅m⋅m4=4m+4>0，
解得m>−1，
∴m=2．
故选A．
  
12.【答案】D 
【解析】解：设第一年增长的百分数为x，则第二年增长的百分数为2x，
根据题意，得(1+x)(1+2x)=4．
故选：D．
设第一年增长的百分数为x，则第二年增长的百分数为2x，根据“计划用两年时间使产值增加到目前的4倍”列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．

13.【答案】2x2+12x−14=0 
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的概念.根据一元二次方程的二次项系数是2，常数项是−14，得到方程为2x2+bx−14=0，再根据它的一个根是−7，代入计算得到b的值．
【解答】
解：一元二次方程的二次项系数是2，常数项是−14，它的一个根是−7，
这个一元二次方程可以为2x2+bx−14=0．
把x=−7代入得2×49−7b−14=0，
b=12，
故答案为2x2+12x−14=0．  
14.【答案】23x−2；32y+3 
【解析】略

15.【答案】−1或3 
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
两式互为相反数，它们的和为0，则可列出方程3−x+(−x2+3x)=0，化为一般形式以后，利用因式分解法即可求解．
【解答】
解：依题意得：3−x+(−x2+3x)=0
即−x2+2x+3=0
∴x2−2x−3=0
解得x=−1或3．  
16.【答案】20% 
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，此题列方程的依据是：商品原来价格×(1−每次降价的百分率)2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可．
【解答】
解：设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得，
125(1−x)2=80，
解得x1=0.2=20%，x2=1.8(不合题意，舍去)；
故答案为：20%．
  
17.【答案】解：2x−3y−2=0①2x−3y+57+2y=9②，
由①得，2x−3y=2③，
代入②得2+57+2y=9，
解得y=4，
把y=4代入③得，2x−3×4=2，
解得x=7．
故原方程组的解为x=7y=4． 
【解析】仿照所给的题例先把①变形，再代入②中求出y的值，进一步求出方程组的解即可．
本题考查的是在解二元一次方程组时整体思想的应用，利用整体思想可简化计算．

18.【答案】解：(1)在y=−x+3中，令x=0得y=3，令y=0得x=3，
∴B(3,0)，C(0,3)，
把B(3,0)，C(0,3)代入y=ax2+2x+c得：
0=9a+6+c3=c，解得a=−1c=3，
∴二次函数的表达式为y=−x2+2x+3；
(2)如图：

在y=−x2+2x+3中，令y=0得x=3或x=−1，
∴A(−1,0)，
∵B(3,0)，C(0,3)，
∴OB=OC，AB=4，BC=32，
∴∠ABC=∠MFB=∠CFE=45°，
∴以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，B和F为对应点，
设E(m,−m2+2m+3)，则F(m,−m+3)，
∴EF=(−m2+2m+3)−(−m+3)=−m2+3m，CF=m2+m2=2m，
①△ABC∽△CFE时，ABCF=BCEF，
∴42m=32−m2+3m，
解得m=32或m=0(舍去)，
∴EF=94，
②△ABC∽△EFC时，ABEF=BCCF，
∴4−m2+3m=322m，
解得m=0(舍去)或m=53，
∴EF=209，
综上所述，EF=94或209．
(3)连接NE，如图：

∵点N、F关于直线EC对称，
∴∠NCE=∠FCE，CF=CN，
∵EF//y轴，
∴∠NCE=∠CEF，
∴∠FCE=∠CEF，
∴CF=EF=CN，
由(2)知：
设E(m,−m2+2m+3)，则F(m,−m+3)，EF=(−m2+2m+3)−(−m+3)=−m2+3m，CF=m2+m2=2m，
∴−m2+3m=2m，解得m=0(舍去)或m=3−2，
∴CN=CF=2m=32−2，
∴N(0,32+1)． 
【解析】(1)由y=−x+3得B(3,0)，C(0,3)，代入y=ax2+2x+c即得二次函数的表达式为y=−x2+2x+3；
(2)由y=−x2+2x+3得A(−1,0)，OB=OC，AB=4，BC=32，故∠ABC=∠MFB=∠CFE=45°，以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，B和F为对应点，设E(m,−m2+2m+3)，则F(m,−m+3)，EF=−m2+3m，CF=2m，①△ABC∽△CFE时，ABCF=BCEF，可得EF=94，②△ABC∽△EFC时，ABEF=BCCF，可得EF=209；
(3)连接NE，由点N、F关于直线EC对称，可得CF=EF=CN，故−m2+3m=2m，解得m=0(舍去)或m=3−2，即得CN=CF=2m=32−2，N(0,32+1)．
本题考查二次函数的综合应用，涉及解析式、三角形相似的判定与性质、对称变换等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关的线段长度，根据已知列方程求解．

19.【答案】解：论证：证明：∵OD=OB=10，CE=10，
∴OD=CE，
∵OD//EC，
∴四边形OECD是平行四边形，
∴OE=CD；
发现 ：当点O，E，C三点共线时，如图4，

则OE=CE=10，
∴OD=DE=OE=10，
即△ODE为等边三角形，
∴∠ODE=60°；
当点O，E，C三点不共线时，连接BD，如图5，

∵OD=OB=10，∠DOC=60°，
∴△ODB为等边三角形，
∴BD=OB=10，
∴BD=BC=CE=DE，
∴四边形BCED为菱形，
∴DE//BC，
∴∠ODE=180°−∠DOC=120°；
尝试：过点D作DF⊥OC于F，作DG⊥OA于G，如图6，

∴∠OFD=∠OGD=∠AOF=90°，
∴四边形OFDG为矩形，
∴DG=OF，
设OF=y，则CF=20−y，
在Rt△DOF中，DF2=OD2−OF2=102−y2 ，
在Rt△DCF中，CD=CE+DE=20，DF2=CD2−CF2=202−20−y2，
∴102−y2=202−20−y2，
∴y=52，
即OF= 2.5，
∴DG= 2.5，
∴点D到OA所在直线的距离为2.5；
拓展：∠DOC的余弦值为5+78． 
【解析】
【分析】
本题主要考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，锐角三角函数的定义，平行线分线段成比例定理，一元二次方程的解法，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定等知识，解题的关键是利用换元法解拓展里列的方程，从而达到解决问题的目的．
解：论证：利用条件证明四边形OECD是平行四边形，即可得到答案；
发现 ：分两种情况讨论：当点O，E，C三点共线时，如图4，当点O，E，C三点不共线时，连接BD，如图5，即可得到答案；根据勾股定理列出方程即可得到答案；
拓展：过点D作DF⊥OC，并延长DF，再过点E作EG⊥DF，过点C作CH⊥DE，设DE与OC交于点M，如图所示，设cos∠DOC=x，根据锐角三角函数的定义表示出OF=10x，OM=10x，DG=10x，DM=101−x2x=10tx，
 MC=20−10x，∴MH=2−10xt=20t−10tx，求出EH=DE−DM−HM=10−10tx−20t+10tx=10−20t，
最后根据勾股定理列出10−20t2+20x−102=102，通过换元法解方程，即可得到答案．
【解答】
解：论证：见答案；
发现 ：见答案；
尝试：见答案；
拓展：过点D作DF⊥OC，并延长DF，再过点E作EG⊥DF，过点C作CH⊥DE，设DE与OC交于点M，如图所示，

∴FM//GE，
设cos∠DOC=x，
∵DF⊥OC，OD=10，
∴OFOC=x=ODOM，
∴OF=10x，OM=10x，
∴DF=OD2−OF2=101−x2，
∵∠ODF+∠FDE=90°，∠DOF+∠ODF=90°，
∴∠FDE=∠DOC，
∴cos∠FDE=DGDE=x，
∴DG=10x，
∴FG=10x−101−x2，
∵∠ODH=∠DHC=90°，
∴OD//CH，
∴∠DOC=∠MCH，
∴cos∠MCH=CHMC=x
设1−x2=t，
∵FM//GE，
∴DFDG=DMDE，
∴101−x210x=DM10，
∴DM=101−x2x=10tx，
 ∵OC=OB+BC=20，OM=10x，
∴MC=20−10x，
∴CH=x20−10x=20x−10，
∵sin∠BCH=sin∠DOC，
∴MHMC=DFOD，
∴MH20−10x=101−x210，
∴MH=2−10xt=20t−10tx，
∴EH=DE−DM−HM=10−10tx−20t+10tx=10−20t，
∵EH2+CH2=CE2，
∴10−20t2+20x−102=102，
∴整理得5−4x=4t，
∴5−4x=41−x2，
解得x=5+78或5−78(不合题意，舍去)，
∴ ∠DOC的余弦值为5+78．  
20.【答案】解：(1)∵矩形OABC的顶点B的坐标为(3,4)，
∴OC=AB=4，OA=BC=3．
在y=−23x+b中，令x=0，得y=b，∴点D的坐标为(0,b)．∴OD=b．
∵OD=BE，∴BE=b．∴点E的坐标是(3,4−b)．
∵点E(3,4−b)在直线y=−23x+b上，，
∴4−b=−23×3+b，解得b=3．
答：b的值为3．
(2)由(1)，得点D、E的坐标分别为(0,3)、(3,1)，
∴OD=3，AE=1．∴S四边形OAED=12(OD+AE)⋅OA=12×(3+1)×3=6．
∵△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3，
∴S△ODM=14S四边形OAED=32．
设线段DE上的点M的坐标为(t,−23t+3)，易知t>0，则点M到OD的距离为t．
∴12⋅3⋅t=32，解得t=1．∴点M的坐标为(1,73)
答：点M的坐标为(1,73)
(3)设线段DE上的点M的坐标为(m,−23m+3).由(1)，得点D、E的坐标分别为(0,3)、(3,1)，∴OD=3，AE=1．
分两种情况讨论： ①当OD作为菱形的对角线时，如图 ①，得菱形OMDN，

∴MN⊥OD，MN、OD互相平分．∴−23m+3=12×3，解得m=94，
∴点M的坐标为(94,32)，此时点N的坐标为(−94,32).
 ②当OD作为菱形的一边时，如图 ②，得菱形OMND，

∴MN//OD，MN=OM=OD=3.根据点M的坐标为(m,−23m+3)，可得点N的坐标为(m,−23m+6)．
过点M作MP⊥x轴于点P，则在Rt△OPM中，OP=m，MP=−23m+3．
由勾股定理，得m2+(−23m+3)2=32，
化简，得139m2−4m=0．
由题意，点M不在y轴上，即m≠0，
在等式139m2−4m=0两边同时除以m，得139m−4=0，解得m=3613．
此时点N的坐标为(3613,5413).
综上所述，满足题意的点N的坐标为(−94,32)或(3613,5413). 
【解析】本题考查大道行思求一次函数的解析式，一次函数图像是点的坐标特征，三角形的面积，矩形的性质，菱形的性质，一元一次方程和一元二次方程的解法，分类讨论的数学数学法，平面直角坐标系中点的坐标的确定，一次函数综合题，难度较大．
(1)首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D的坐标，则OD的长度即可求得，OD=b，则E的坐标即可利用b表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b的方程，求得b的值；
(2)首先求得四边形OAED的面积，则△ODM的面积即可求得，设出M的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M的横坐标，进而求得M的坐标；
(3)分成四边形OMDN是菱形和四边形OMND是菱形两种情况进行讨论，四边形OMDN是菱形时，M是OD的中垂线与DE的交点，M关于OD的对称点就是N；
四边形OMND是菱形，OM=OD，M在直角DE上，设出M的坐标，根据OM=OD即可求得M的坐标，则根据ON和DM的中点重合，即可求得N的坐标．

21.【答案】解：(1)∵x2−7x+12=(x−3)(x−4)=0 
∴x1=3或x2=4，
则AB=3，BC=4；
(2)由题意得32+(t−3)2=(10)2
∴t1=4，t2=2(舍去)
则t=4时，AP=10．
(3)存在点P，使△CDP是等腰三角形．
分情况讨论：
①当CP=CD=3时，t=(3+4+3)÷1=10(秒)；
②当PD=PC(即P为对角线AC中点)时，AB=3，BC=4．
∴AC=32+42=5，CP=12AC=2.5，
∴t=(3+4+2.5)÷1=9.5(秒)
③当DP=DC=3时，作DQ⊥AC于Q，


DQ=12×3×412×5=125，CQ=32−(125)2=95，
∴PC=2CQ=185，   
∴t=(3+4+185)÷1=535(秒)；
综上，可知当t为10秒或9.5秒或535秒时，△CDP是等腰三角形． 
【解析】本题是四边形综合题，考查了解一元二次方程，勾股定理，等腰三角形等知识点，有一定难度．
(1)解一元二次方程即可求得边长；
(2)结合图形，利用勾股定理求解即可；
(3)根据题意，分为：CP=CD，PD=PC，DP=DC，三种情况分别可求解．

22.【答案】解：(1)∵Δ=[−(2m+4)]2−4×2×4m
=4m2+16m+16−32m
=4m2−16m+16
=4(m−2)2≥0，
∴不论m取何实数，方程总有两个实数根；
(2)①当a=c时，则Δ=0，
即(m−2)2=0，
∴m=2，
方程可化为x2−4x+4=0，
∴x1=x2=2，
而a=c=2，经检验，符合三角形三边关系，
∴△ABC的周长=a+b+c=2+3+2=7；
②若b=3是等腰三角形的一腰长，
不妨令b=a=3，
∵2x2−(2m+4)x+4m=0．
∴2(x−2)(x−m)=0，
∴x=2或x=m，
∵另两边a、c恰好是这个方程的两个根，
∴m=a=3，
∴c=2，经检验，符合三角形三边关系，
∴△ABC的周长=a+b+c=3+3+2=8．
综上所述，△ABC的周长为7或8． 
【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据根的判别式判断方程的根的情况是基础，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍是解题的关键．
(1)根据一元二次方程的根的判别式的符号进行证明；
(2)注意：分a=c，b=a两种情况．

23.【答案】解：(1)∵x1、x2是ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，
∴x1=−b+b2−4ac 2a，x2=−b−b2−4ac2a，
∴x1+x2=−b+b2−4ac−b−b2−4ac2a=−ba，
x1⋅x2=−b+b2−4ac 2a⋅−b−b2−4ac2a=ca；

(2)∵x1，x2是ax2+bx+c=0的两根，
∴ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0，
∴原式=ax13+bx12+cx1+ax23+bx22+cx2，
=x1(ax12+bx1+c)+x2(ax22+bx2+c)，
=0． 
【解析】(1)利用求根公式表示出x1，x2，代入所求式子可直接推导得出结论；
(2)把式子拆开重新整理成一元二次方程的形式，然后把x1，x2代入原方程，整体代入即可求出代数式的值．
本题主要考查了根与系数之间的关系的推导过程和利用方程的解的定义整体代入方程解题．

24.【答案】解：(1)因为方程有两个不相等实数根，则方程首先满足是一元二次方程，
∴m2≠0且满足△=(2m−1)2−4m2>0，
∴m0，二次项系数不等于0，显然此解答漏掉了一个条件；
(2)利用根与系数的关系求得字母的值后，还要注意检验原方程是否有实数根．
此题考查根与系数的关系，注意：只要是一元二次方程或说方程有两个实数根，则二次项系数不得为0；凡是利用根与系数的关系求得未知字母的值时，一定要注意代入原方程，看是否有实数根．

25.【答案】解：设储藏x个星期出售这种农产品可获利20500元，
(600+100x)(40−x)−400x−16000=20500，
解得，x1=5，x2=25(舍去)，
即储藏5个星期出售这种农产品可获利20500元． 
【解析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，注意储藏时间不超过10个星期．