2021-2022学年重庆市好教育联盟高一（下）联考数学试卷（4月份）（Word解析版）

这是一份2021-2022学年重庆市好教育联盟高一（下）联考数学试卷（4月份）（Word解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题，共40分）
下列几何体中，棱数最少的是( )
A. 三棱柱B. 四棱台C. 四棱锥D. 五棱锥
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=5，B=45°，则sinA=( )
A. 25B. 105C. 55D. 35
若复数z=mi+(2m+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是( )
A. (-1,0)B. (0,1)C. (-∞,0)D. (-1,+∞)
已知平面内的三点A(2,3)，B(-1,m)，c(-7,n)，若AB//AC，则3m-n=( )
A. 6B. -6C. 3D. -3
已知圆锥的底面积为4π，高为4，则该圆锥的侧面积为( )
A. 25πB. 45πC. 65πD. 85π
在△ABC中，边AB的中点为D，若O为△ABC的重心，则OD=( )
A. 13AB-16ACB. 13AC-16ABC. 16AC-13ABD. 16AB-13AC
已知某景区两座主峰的高度都是200m，某测量团队在B点测得左侧主峰顶端M点的仰角为30°，右侧主峰顶端N点的仰角为45，以及∠MBN=45°，则两座主峰顶端之间的距离MN=( )
A. 200mB. 400mC. 2002mD. 4002m
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=AC=2，AA1=3，D，E分别是棱BB1，CC1上的动点，则AD+DE+EA1的最小值是( )
A. 13
B. 5
C. 7
D. 35
二、多选题（本大题共4小题，共20分）
已知向量a=(2,m)，b=(3,1)，若a⋅b>0，则m的值可能是( )
A. -6B. 6C. 8D. -8
已知复数z=-1-i，则( )
A. z的虚部为1B. z-=-1+iC. |z|=2D. z2=2i
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.根据下列条件解三角形，其中只有一解的是( )
A. a=6，b=5，B=45°B. c=6，A=60°，B=45°
C. a=6，b=7，B=30°D. a=6，b=7，C=60°
若正四面体外接球的表面积为27π2，则( )
A. 该正四面体的体积924
B. 该正四面体的表面积为92
C. 该正四面体内切球的半径为64
D. 该正四面体的外接球上一动点M到内切球上一动点N距离的最小值为62
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
水平放置的平面四边形ABCD的斜二测直观图为一个边长为4，其中一个夹角为45°的菱形，则四边形ABCD的实际周长为______，实际面积为______．
已知复数z的实部和虚部均不等于0，写出一个满足|z|=3的复数z=______．
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=120°，c=2，AD=23AC，BD=27，则△ABC的周长为______．
已知正方形ABCD的边长为2，正方形ABCD的内切圆圆上有一动点E，平面内有一动点P，则(PA-PE)⋅(PB+EP)的最大值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
已知复数z=3m2-7m+2+(2m2-5m+2)i．
(1)若z为实数，求m的值；
(2)若z为纯虚数，求m的值．
已知非零向量a，b满足|a|=|b|=2|a+b|．
(1)求a，b的夹角的余弦值；
(2)若|2a+b|=26，求|a|．
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB(2sinC-sinB)=csB(2csC+csB)．
(1)求A的大小；
(2)若a=4，b+c=8，求sinC⋅sinB的值．
帐篷是撑在地上遮蔽风雨、日光，并供临时居住的棚子，多用帆布做成，连同支撑用的东西，可随时拆下转移，如图1所示．一个普通的帐篷可视为一个长方体与一个直三棱柱的组合，如图2所示，已知AF=BF=2米，AD=4米，AA1=3米，且∠AFB=120°．
(1)求该帐篷的表面积(不包含地面部分)；
(2)求该帐篷的体积．
如图，在海岸边A点的观测站发现南偏西30°方向上，距离A点20海里的C处有一艘走私船，立刻通知了停在A的正东方向上，且距离A点10(3-1)海里的B处的缉私艇，缉私艇立刻奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从C处沿南偏东15°方向逃窜．
(1)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多远，在缉私艇的什么方向？
(2)缉私艇至少需要多长时间追上走私船？
在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，△ABC的面积为S.已知a2+b2-c2=2，且S⋅csC=14．
(1)求角C的大小；
(2)若对任意的x∈R，x2-4csA⋅x+22csA≥0恒成立，且函数f(B)=m(sinB+csB)+sinB⋅csB(m∈R)有最小值-54，求m的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：三棱柱棱数为9．
四棱台棱数为12．
四棱锥棱数为8．
五棱锥棱数为10．
故选：C．
推出几何体的棱数，即可得到结果．
本题考查棱锥、棱柱、棱台的结构特征，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解；由正弦定理asinA=bsinB，
解得：sinA=absinB=25×sin45°=25×22=25．
故选：A．
根据在正弦定理列式求解即可．
本题考查三角形的正弦定理，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：z=mi+(2m+i)=2m+(m+1)i在复平面内对应的点在第二象限，
所以2m<0且m+1>0，解得-1故选：A．
由已知结合复数的几何意义即可求解．
本题主要考查了复数的几何意义，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：平面内的三点A(2,3)，B(-1,m)，c(-7,n)，
由题意得AB=(-3,m-3)，AC=(-9,n-3)，
∵AB/​/AC，∴-3(n-3)=-9(m-3)，
解得3m-n=6．
故选：A．
利用向量坐标运算法则求出AB=(-3,m-3)，AC=(-9,n-3)，再由AB//AC，列方程能求出3m-n．
本题考查向量的运算，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由题意得圆锥底面圆的半径r=4ππ=2，
则母线长l=22+42=25，
∴圆锥的侧面积为S=12×4π×25=45π.
故选：B．
利用圆锥几何特征，求出底面圆的半径，再依据轴截面求其母线长，代入侧面积公式即可求出该圆锥的侧面积．
本题考查该圆锥的侧面积的求法，考查圆锥的结构特征、侧面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由题意得，
OD=13CD=13(AD-AC)
=13(12AB-AC)
=16AB-13AC，
故选：D．
利用重心的性质及平面向量线性运算化简即可．
本题考查了平面向量线性运算的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意：BM=200sin30∘=400(m)，BN=200sin45∘=2002(m)，
在△BMN中，由余弦定理可得：
MN=BM2+BN2-2BM⋅BNcs∠MBN=4002+(2002)2-2×400×2002×22=2002(m)．
故选：C．
由题意，求出BM，BN，利用余弦定理求出MN．
本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：将直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开，如图所示，

当A，D，E，A1四点共线时，AD+DE+EA1取得最小值，
则最小值为：(AB+BC+AC)2+AA12=62+32=35．
故选：D．
作出三棱柱的侧面展开图，可知A，D，E，A1四点共线时取最小值，利用勾股定理可得结果．
本题考查了立体几何中的最短距离问题，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：∵向量a=(2,m)，b=(3,1)，a⋅b>0，
∴a⋅b=6+m>0，解得m>-6．
故选：BC．
利用向量数量积公式直接求解．
本题考查向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：复数z=-1-i，
对于A，z的虚部为-1，故A错误；
对于B，由共轭复数的定义得z-=-1+i，故B正确；
对于C，|z|=(-1)2+12=2，故C正确；
对于D，z2=(-1-i)2=2i，故D正确．
故选：BCD．
利用复数的定义、共轭复数的定义、复数的模、复数的运算法则直接求解．
本题考查复数的定义、共轭复数的定义、复数的模、复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，因为sinA=asinBb=325<1，所以b对于B，因为A=60°，B=45°，所以C=75°，所以只有一解，故B正确；
对于C，因为sinA=asinBb=37<1，且b>a，所以角A只有一解，故C正确；
对于D，c=a2+b2-2abcsC=43，所以只有一解，故D正确．
故选：BCD．
利用正弦定理、余弦定理的性质直接求解．
本题考查正弦定理、余弦定理、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：设正四面体的外接球半径为R，则4πR2=27π2，
得R=364，
把正四面体A-CFG补形为正方体ABCD-EFHG，

则R=32AB=364，
得AB=322,AF=3，
VA-CFG=VABCD-EFGH-4VA-EFG=(322)3-4×13×12×(322)3=924，A正确；
该正四面体的表面积为 ​4S△AFG=4×12×3×3×32=93，B错误；
设正四面体的高为h，则VA-CFG=13S△AFG⋅h=9312h=924，得h=6，
因为正四面体的外接球球心与内切球球心重合，所以内切球半径r=6-364=64，C正确；
该正四面体的外接球上一动点M到内切球上一动点N距离的最小值为364-64=62,D正确．
故选：ACD．
对于选项A：利用公式S=4πR2，求出半径，将正四面体放到正方体中考虑，即可快速求出答案；
对于选项B：利用体积差法，总体积减去四个规则小三棱锥的体积即可得解；
对于选项C：根据内切球和外接球球心重合，求出正四面体的高减去外接球的半径，即为内切球的半径；
对于选项D：外接球半径减去内切球的半径即可得解．
本题考查了正四面体的应用计算，属于中档题．
13.【答案】24 32
【解析】解：水平放置的平面四边形ABCD的斜二测直观图为一个边长为4，其中一个夹角为45°的菱形，
由斜二测法得四边形ABCD实际图形是矩形，矩形两邻边的边长分别为4和8，
∴四边形ABCD的实际周长为(4+8)×2=24，
实际面积为4×8=32．
故答案为：24，32．
根据斜二测法的原理进行求解计算能求出结果．
本题考查该四边形ABCD的实际周长和实际面积的求法，考查斜二测法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】2+5i
【解析】解：令z=2+5i，满足复数z的实部和虚部均不等于0，
|z|=22+(5)2=3，满足题意．
故答案为：2+5i．
根据已知条件呢，结合复数实部和虚部的定义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要复数实部和虚部的定义，以及复数模公式，属于基础题．
15.【答案】8+213
【解析】解：由DB2=AB2+AD2-2AB⋅ADcs120°，
得AD2+2AD-24=0，得AD=4，
所以AC=b=6．
由a2=b2+c2-2bccsA，得a2=52.a=213，
故△ABC的周长为8+213．
故答案为：8+213．
在△ADB中由余弦定理求得AD，在△ABC中由余弦定理可求得a，从而求得三角形的周长．
本题考查了余弦定理的应用，考查了运算能力，属于中档题．
16.【答案】3
【解析】解：如图，建立直角坐标系，得点A(-1,1)，B(1,1)，

因为圆O为单位圆，所以设E(csα,sinα)，
其中α∈[0,2π)，则EA=(-1-csα,1-sinα),EB=(1-csα,1-sinα)，
所以(PA-PE)⋅(PB+EP)=EA⋅EB=1-2sinα≤3．
故答案为：3．
建立直角坐标系，利用坐标表示法求解数量积，再利用三角函数的性质求最大值．
本题考查了平面向量数量积的计算，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由题意，复数z=3m2-7m+2+(2m2-5m+2)i是实数，
可得2m2-5m+2=0，得m=2或12．
(2)由题意，复数z=3m2-7m+2+(2m2-5m+2)i是纯虚数，可得3m2-7m+2=02m2-5m+2≠0，
求得m=13．
【解析】(1)由题意根据复数是实数的条件，求得m的值．
(2)由题意，利用纯虚数的定义，求得m的值．
本题主要考查复数的有关概念，属于基础题．
18.【答案】解：(1)根据题意，设a，b的夹角为θ，再设|a|=2t，则|b|=2t，|a+b|=t，
则有|a+b|2=a2+2a⋅b+b2=8t2+8t2csθ=t2，
变形可得csθ=-78；
(2)因为2|a+b|2=4a2+4a⋅b+b2=4a2+4×(-78)a2+a2=24，
所以a2=16，即|a|=4．
【解析】(1)根据题意，由向量数量积的计算公式变形可得8|a|2cs〈a,b〉=-7|a|2，据此变形可得答案；
(2)由向量数量积的计算公式计算可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题意得2sinBsinC-sin2B=2csBcsC+cs2B，
得2sinBsinC-2csBcsC=sin2B+cs2B=1，
得-2(csBcsC-sinBsinC)=2csA=1，
所以csA=12，
即A=60°．
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccsA=16，
得(b+c)2-16-3bc=0．
因为b+c=8，所以bc=16，
由正弦定理asinA=bsinB=csinC=833，得sinB=38b，sinC=38c，
所以sinC⋅sinB=364bc=34．
【解析】(1)直接利用三角函数的关系式的变换求出A的值；
(2)利用余弦定理和正弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理、余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)在△ABF中，由余弦定理可得AB2=AF2+BF2-2AF⋅BFcs∠AFB=22+22-2×2×2×(-12)=12，则AB=23(米)．
该帐篷的表面积为：直三棱柱部分的表面积与长方体中盖了帆布的面积的和，
直三棱柱部分的表面积S1=12×2×2sin120°×2+(2+2)×4=23+16(平方米)．
长方体中盖了帆布的面积S2=2(AB+AD)⋅AA1=2×(23+4)×3=123+24(平方米)．
故该帐篷的表面积S=S1+S2=23+16+123+24=143+40(平方米)．
(2)该帐篷的体积为直三棱柱部分的体积与长方体部分的体积的和，
直三棱柱部分的体积V1=12AF⋅BFsin∠AFB⋅AD=12×2×2sin120°×4=43(立方米)，
长方体部分的体积V2=AB⋅AD⋅AA1=23×4×3=243(立方米)．
故该帐篷的体积V=V1+V2=43+243=283(立方米)．
【解析】(1)在△ABF中，由余弦定理求解AB=23(米).通过帐篷的表面积为：直三棱柱部分的表面积与长方体中盖了帆布的面积的和，分别求解即可．
(2)该帐篷的体积为直三棱柱部分的体积与长方体部分的体积的和，转化求解即可．
本题考查几何体的表面积以及体积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可知AB=10(3-1)，AC=20，∠BAC=120°．
在△ABC中，由正弦定理得BC=AB2+AC2-2AB⋅AC⋅cs120°=106．
由正弦定理得ACsin∠ABC=BCsin∠BAC，解得sin∠ABC=22，所以∠ABC=45°
故刚发现走私船时，走私船距缉私艇106海里，在缉私艇的西南方向上．
(2)如图，设t小时后缉私艇在D处追上走私船，则CD=10t，BD=103t．
∠BCD=45°+75°=120°．
在△BCD中，由正弦定理得103tsin120°=10tsin∠CBD
解得sin∠CBD=12，则∠CBD=30°，所以△BCD是等腰三角形．10t=106，即t=6．
故缉私艇至少需要6小时追上走私船．
【解析】(1)在三角形中分别利用余弦定理、正弦定理求解即可；
(2)作出图形，设t小时后缉私艇在D处追上走私船，利用正弦定理求出∠CBD=30°即可求得时间．
本题主要考查解三角形的实际应用，属于基础题．
22.【答案】解：(1)因为a2+b2-c2=2，
所以csC=a2+b2-c22ab=22ab，
因为S⋅csC=14，
所以12absinC⋅22ab=14，
所以sinC=22，
所以C=π4或C=3π4，
因为S⋅csC=14，
所以csC>0，
所以C=π4．
(2)因为对任意的x∈R，x2-4csA⋅x+22csA≥0恒成立，
所以16cs2A-82csA≤0，
即2cs2A-csA≤0，解得0≤csA≤22，
所以π4≤A≤π2，
由(1)可知C=π4，则π4≤B≤π2，
设t=sinB+csB，则t=2sin(B+π4)，sinBcsB=t2-12，
因为π4≤B≤π2，
所以π2≤B+π4≤3π4，
所以1≤t≤2，
设函数g(t)=12t2+mt-12(1≤t≤2)，则其图象的对称轴方程为t=-m，
①当-m<1，即m>-1时，g(t)在[1,2]上单调递增，
则g(t)min=g(1)=m=-54，不符合题意，
②当1≤-m≤2，即-2≤m≤-1时，g(t)在[1,-m]上单调递减，在(-m,2]上单调递增，
则g(t)min=g(-m)=-12m2-12=-54，解得m=-62(m=62舍去)，符合题意，
③当-m>2，即m<-2时，g(t)在[1,2]上单调递减，
则g(t)min=g(2)=2m+12=-54，解得m=-728，不符合题意，
综上所述，m=-62．
【解析】(1)根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形面积公式，即可求解．
(2)根据已知条件，结合二次函数的判别式，求出π4≤A≤π2，结合换元法，以及二次函数的性质分类讨论，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查二次函数的性质，属于中档题．
题号
一
二
三
四
总分
得分