2021-2022学年河南省平顶山市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

这是一份2021-2022学年河南省平顶山市高一（下）期末数学试卷（Word解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省平顶山市高一（下）期末数学试卷 题号一二三总分得分      一、单选题（本大题共12小题，共60分）已知复数，则(    )A.  B.  C.  D. 在锐角中，内角，，所对的边分别为，，若，，，则(    )A.  B.  C.  D. 如图所示，在四边形中，，，，且，则四边形水平放置时，用斜二测画法得到的直观图面积为(    )
A.  B.  C.  D. 甲、乙两所学校的男女生比例如图所示，已知甲校学生总数为，乙校学生总数为，下列结论错误的是(    )
A. 甲校女生比乙校女生多 B. 乙校男生比甲校男生少
C. 乙校女生比甲校男生少 D. 甲校女生比乙校男生少已知向量，，，则可用与表示为(    )A.  B.  C.  D. 把不同的钥匙中只有把可以打开某个锁，从中任取把能将该锁打开的概率为(    )A.  B.  C.  D. 甲、乙两个袋中各有不同颜色的小球若干个，已知从甲袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，从乙袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，若从两袋中各随机摸出一个球，则至少摸到一个红球的概率为(    )A.  B.  C.  D. 已知圆台上、下底面半径分别为和，母线长为，是下底面的直径，若点是下底面圆周上的动点，点是上底面内的动点，则四面体的体积最大值为(    )A.  B.  C.  D. 已知直线，和平面，，若，，，则下列情况不可能成立的是(    )A. 且 B. 且 C. 且 D. 且已知的内角，，的对边分别为，，，，且的面积为，，则(    )A.  B.  C.  D. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录每次得到的点数，甲表示事件“第一次点数为奇数”，乙表示事件“第一次点数为偶数”，丙表示事件“两次点数之和为”，丁表示事件“两次点数之和为”，则(    )A. 甲与乙相互独立 B. 甲与丙相互独立 C. 甲与丁相互独立 D. 乙与丙相互独立、如图所示，在中，是线段上一点，，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值为(    )
A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共4小题，共20分）某企业的青年员工、中年员工、老年员工的人数分别为，，，现按照各年龄段的员工人数比例，用分层随机抽样的方法抽取名员工参加座谈会，则抽取的中年员工人数为______．已知是底边的等腰三角形，点是边的中点，则______．如图，长方体的底面是正方形，，是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积与长方体的表面积之比为______．
 在中，内角，，的对边分别为，，若，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，且，，，为棱的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求三棱锥的体积．
已知复数在复平面内对应的点位于第一象限，且．
Ⅰ求；
Ⅱ设，在复平面内对应的点分别为，，求．在生产某种零件的工厂中，根据工人加工出的零件质量进行相应的奖励或惩罚．已知这种零件按照质量指标值可分为，，，四个等级，且根据等级，，，对相应工人分别奖励元、奖励元、罚款元、罚款元．设某工人加工的零件为等级，，的概率分别是，，，且加工每个零件互不影响．
Ⅰ若该工人加工一个零件，求其不被罚款的概率；
Ⅱ若该工人加工两个零件，求其获得的奖励之和为元的概率．已知的外接圆直径为，内角，，所对的边分别，，，，．
求的面积；
若，求的周长．如图所示，圆锥的母线长为，底面圆的直径，是圆所在平面内一点，与圆相切，连接交圆于点，连接，，，．
证明：平面；
若，求二面角的正切值．
从某校男生中随机抽取人测量他们的身高，发现他们的身高都在之间，将统计得到的原始数据进行分组，得到如图所示的频率分布直方图每组均为左闭右开区间．

已知该校一共有名男生，估计该校身高在内的男生人数．
估计该校男生身高的分位数．结果精确到
将身高不低于的男生称为“高个子”，低于的男生称为“非高个子”已知在原始数据中，高个子男生的身高的平均数为，方差为，所有这名男生的身高的平均数为，方差为，求非高个子男生的身高的平均数与方差．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
则．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：根据正弦定理有，
是锐角三角形，．
故选：．
由正弦定理有，可求．
本题考查正弦定理的应用，属基础题．
 3.【答案】 【解析】解：如图所示，为的直观图，根据斜二测画法的规则可知，，，平行于轴，
该图形的面积为．

故选：．
根据斜二测画法得到直观图，计算可得．
本题考查斜二测画法求直观图面积，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：甲校男生和女生的人数均为，乙校男生人数为，女生人数为．
所以甲校女生比乙校女生多，故A正确；
乙校男生比甲校男生少，故B正确；
乙校女生比甲校男生少，故C正确；
甲校女生比乙校男生多，故D错误．
故选：．
根据统计图表可得答案．
本题考查命题真假的判断，考查统计图性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 5.【答案】 【解析】解：设，，，则，
可得，，
故选：．
由题意，设，，，利用向量的坐标运算法则求出、的值，可得结论．
本题主要考查向量的坐标运算法则，向量的坐标表示，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：将把钥匙编号为，，，，，，不妨设能打开锁的为钥匙从中任取把，
共有：，，，，，，，，，，，，，，，共种情况，
能将锁打开的情况有种，故概率为．
故选：．
先用列举法，罗列出所有情况和符合题意的情况，再利用古典概型公式计算即可．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
 7.【答案】 【解析】解：“至少摸到一个红球”的对立事件为“摸到的两个球都不是红球”，
设“从甲袋中随机摸出一个球，摸到红球”为事件，“从乙袋中随机摸出一个球，摸到红球“为事件．
则“摸到的两个球都不是红球”的概率，
所以“至少摸到一个红球”的概率为．
故选：．
利用对立事件的概率计算及相互独立事件概率乘法公式求解．
本题考查概率的求法，是基础题．
 8.【答案】 【解析】解：如图，因为圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为，所以圆台高为，
所以动点到圆面的距离为定值因为动点到的最大距离为，
所以四面体的体积最大值为．
故选：．

由已知条件可得圆台的高，及三角形的面积的最大值，即可确定体积的最大值．
本题考查了圆台的性质以及三棱锥体积的最值问题，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：，，，
当时，与平面内的直线可能平行，也可能垂直，还可能异面而不垂直，故A，都可能成立；
当时，根据线面垂直的定义，与平面内的所有直线都垂直，可能成立，不可能成立．
故选：．
由已知结合平面与平面垂直的性质逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
 10.【答案】 【解析】解：由以及得，，
，即，
由余弦定理可得，，
，
的面积为，解得，
又，，
解得．
故选：．
利用正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，即可解出．
本题考查正弦定理与余弦定理的应用，学生的数学运算能力，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：由题可知，点数之和为的所有可能情况为，，，，，点数之和为的所有可能情况为，，，，，，所以，丁因为甲和乙是对立事件，所以甲乙，故A错误；甲丙甲丙，故B错误；甲丁甲丁，故C正确；乙丙乙丙，故D错误．
故选：．
分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可．
本题考查相互独立事件的判断，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：由条件可得，
，，，，
，
，，三点共线，
，
，
当且仅当即时等号成立，即的最小值是．
故选：．
根据平面向量的线性运算以及基本不等式可得答案．
本题考查了平面向量基本定理以及基本不等式的应用，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：中年员工的人数占比为，所以抽取的中年员工人数．
故答案为：．
利用分层抽样求得中年员工的人数占比，根据比例求得所求结果．
本题主要考查分层抽样的的定义，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：如图所示，过点作，垂足为，过点作，垂足为，

则为的中点．由已知可得是的中点，
从而在方向上的投影向量为，
所以．
故答案为：．
过点作，垂足为，过点作，垂足为，由已知条件和投影向量的定义可得所求数量积．
本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：设，则，
所以长方体的表面积为，
取的中点为，易知点到点，，，的距离均为，
所以三棱锥的外接球的半径，其表面积为，
所以所求的比值为，
故答案为：．

设，则，由此可计算长方体的表面积，确定三棱锥的外接球球心位置，求出外接球半径，代入球的表面积公式计算其表面积，相比可得结果．
本题考查了长方体的表面积以及几何体外接球表面积的计算，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：由题中的条件及正弦定理得，
，
即，，
，解得，
，
所以，
，
，
所以，所以的取值范围是．
故答案为：．
利用解三角形的正弦定理化简以及两角和的正弦公式，解出角，然后将代数式转化成关于角的代数式，即可解出．
本题考查三角恒等变换与解三角形的综合应用，学生的数学运算能力，属于基础题．
 17.【答案】证明：如图，连接，交于点，连接，

因为底面是矩形，所以为的中点．
又为的中点，所以，又平面，平面，
所以平面．
解：四棱锥的体积为，
三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，
所以三棱锥的体积为． 【解析】连接，交于点，连接，证明，推出平面．
求解四棱锥的体积，三棱锥的体积，三棱锥的体积，然后求解三棱锥的体积即可．
本题考查线面平行的证明，棱锥的体积计算，是中档题．
 18.【答案】解：设，
则，
复数在复平面内对应的点位于第一象限，
，，
，
，解得，．
．
，
，，
，，，
，，
． 【解析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
先求出点，，，再结合向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查向量与复数的综合应用，属于中档题．
 19.【答案】解：设其不被罚款为事件，
等级，，的概率分别是，，，
等级的概率是，
则．
其获得的奖励之和为元包含下面两种情况，
加工两个等级为的零件，概率为，
加工一个等级为的零件和一个等级为的零件，概率为，
所以所求概率为． 【解析】利用互斥事件的概率加法公式求出等级的概率，求解即可．
先将其获得的奖励之和为元分为两种情况，再分别利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可．
本题考查相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，属于中档题．
 20.【答案】解：，且，，，
，
设的外接圆半径为，
由正弦定理可得，，
，
；
，
，
由余弦定理可得，
即，解得，
，
的周长为． 【解析】利用同角三角函数的基本关系式求得，然后利用正弦的二倍角公式求得，利用正弦定理结合三角形面积公式求解即可．利用余弦的二倍角公式求得，然后利用余弦定理求得，然后利用平方即可求得结果．
本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
 21.【答案】证明：是圆的切线，，
由圆锥的性质知平面，．
，平面，．
，，又，平面．
解：因为平面，则，，
所为二面角的平面角．
在中，，，
，，在中，，
所以．
即二面角的正切值为． 【解析】分别证明垂直于相交直线和，即可完成证明．
先找到二面角的平面角，再求角度的大小．
本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，属中档题．
 22.【答案】解：由频率分布直方图可知，
得．
故估计该校名男生中身高在内的人数为．
前四组的频率之和为，
前五组的频率之和为，所以分位数位于区间内，
故估计该校男生身高的分位数为．
由频率分布直方图可知，样本中高个子男生有人，非高个子男生有人．
将高个子男生的身高数据记为，，，，其平均数记为，方差记为，
将非高个子男生的身高数据记为，，，，其平均数记为，方差记为，
把全部样本数据的平均数记为，方差记为．
则，，，．
由已知可得，即，
解得，．
所以，解得．
综上所述，非高个子男生的身高的平均数为，方差为． 【解析】根据频率分布直方图的面积和为，计算可得；
先计算出分位数位所在区间，继而根据百分位数的定义计算可得；
由平均值和方差公式计算可得．
本题考查频率、百分位数、平均数、方差、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．