2021-2022学年湖北省鄂州市高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

这是一份2021-2022学年湖北省鄂州市高二（下）期末数学试卷（Word解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省鄂州市高二（下）期末数学试卷 题号一二三四总分得分       一、单选题（本大题共8小题，共40分）已知集合，，则(    )A.  B.
C.  D. 已知一组数据，且的线性回归方程为，若，则(    )A.  B.  C.  D. 曲线：在点处的切线方程为(    )A.  B.  C.  D. 已知随机变量，则(    )
参考数据：，，A.  B.  C.  D. 已知，，，则，，的大小关系为(    )A.  B.  C.  D. 年月开始，奥密克戎变异毒株在上海爆发，为支援上海抗击新冠肺炎疫情，湖北在行动，“鄂”来守“沪”湖北某医院迅速从名男医生、名女医生中选名医生组成一个援助小分队，若要求小分队男、女医生都有，则不同的组队方案共有(    )A. 种 B. 种 C. 种 D. 种“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这句口头禅体现了集体智慧的强大．假设李某能力较强，他独自一人解决项目的概率为；同时，有个水平相同的人组成的团队也在研究项目，团队成员各自独立地解决项目的概率都是如果这个人的团队解决项目的概率为，且，则的取值不可能是参考数据：，(    )A.  B.  C.  D. 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线有一个交点，设的面积为，若，则双曲线的离心率为(    )A.  B.  C.  D.  二、多选题（本大题共4小题，共20分）已知，则(    )A.  B.
C.  D. 已知，若，则下列说法正确的是(    )A.  B.  C.  D. 已知数列满足，，则下列结论正确的是(    )A. 为等比数列
B. 的通项公式为
C. 为递增数列
D. 的前项和已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点，点为坐标原点，下列结论正确的是(    )A. 存在点，，使
B. 的最小值为
C. 平分
D. 若点是弦的中点，则直线的方程为 三、填空题（本大题共4小题，共20分）设复数满足是虚数单位，则的虚部为______．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是______．设函数，若对任意的实数，恒成立，则取最小值时，______．已知函数在上的导函数为，对于任意的实数都有，当时，，若，则实数的取值范围是______． 四、解答题（本大题共6小题，共70分）在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求角的大小；
若，且的面积为，求的周长．设等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．司机在开车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门随机调查了名司机，得到以下统计：在名男性司机中，开车时使用手机的有人，开车时不使用手机的有人；在名女性司机中，开车时使用手机的有人，开车时不使用手机的有人．
完成下面的列联表，依据小概率值的独立性核验，分析开车时使用手机与司机的性别的关联性： 开车时使用手机开车时不使用手机合计男性司机人数   女性司机人数   合计   采用分层抽样从开车时不使用手机的人中抽取人，再从这人中随机抽取人，记为开车时不使用手机的男性司机人数，求的分布列和数学期望．
参考数据：参考公式：，其中．莲花山位于鄂州市洋澜湖畔．莲花山，山连九峰，状若金色莲初开，独展灵秀，故而得名．这里三面环湖，通汇长江，山峦叠翠，烟波浩渺．旅游区管委会计划在山上建设别致凉亭供游客歇脚，如图为该凉亭的实景效果图，图为设计图，该凉亭的支撑柱高为，顶部为底面边长为的正六棱锥，且侧面与底面所成的角都是．

求该凉亭及其内部所占空间的大小；
在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．已知椭圆：的离心率为，其左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的面积为．
求椭圆的方程；
过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点，直线，分别交直线于，两点，判断是否为定值？并说明理由．已知函数．
讨论函数的单调性；
当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，
．
故选：．
进行并集的运算即可．
本题考查了描述法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，
，
一组数据，且的线性回归方程为，
，
．
故选：．
根据线性回归方程经过样本中心，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的性质，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：函数，
，
切线的斜率，
根据点斜式，可得切线方程为．
故选：．
求出曲线的导函数，把代入即可得到切线的斜率，然后根据和斜率写出切线的方程即可．
本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了导数的几何意义以及点斜式求直线方程，同时考查了计算能力，解题时要注意正确求导．属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：由题意可知，，，，，
，，
故．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：，
，
，，
，
故选：．
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数大小的比较，需注意对数函数和指数函数性质的合理运用，属基础题．
 6.【答案】 【解析】解：当小分队中有名女医生时，有种组法；
当小分队中有名女医生时，有种组法．
综上所述，共有种组队方案，
故选：．
对小分队内的女医生人数进行分类讨论，结合组合计数原理可得结果．
本题考查排列组合，考查学生的推理能力，属于中档题．
 7.【答案】 【解析】解：由题意，这个人组成的团队不能解决项目的概率为：
，
所以，
，，即，
两边取常用对数可得：，即，

解得，又，
，．
故选：．
由独立事件同时发生的概率公式先求出团队成员都不能解决项目的概率，再由对立事件的概率求出，由题意建立不等式求解即可．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式和对立事件公式的灵活运用．
 8.【答案】 【解析】解：设，由题意知是直角三角形，则，
又根据双曲线的定义得：，
，
，
又的面积等于，
即，
又，
所以若，
则，
整理得，，
则双曲线的离心率，
故选：．
分析条件可知是直角三角形，设，根据勾股定理和双曲线的定义可得的值，从而可得，由平方关系可得的值，从而可得，的关系，即可求解离心率．
本题考查了双曲线的定义和离心率的计算，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：令，得，即A错误；
令，得，即B正确；
令，得，即C正确；
展开式的通项为，
令，得，所以，即D正确．
故选：．
采用赋值法，分别令，和可判断选项A，和，根据二项式展开式的通项公式，求得的系数，可判断选项D．
本题考查二项式定理，熟练掌握赋值法，二项式展开式的通项公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：因为，
则，，
所以，，
又，则，
所以，．
故选：．
根据二项分布可求二项分布的期望和方差，根据方差和期望的性质可求的期望和方差．
本题主要考查二项分布的期望和方差公式的应用，考查转化能力，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：因为，所以，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，，
即，所以为递减数列，
的前项和．
故选：．
根据递推关系可得，进而可判断，由是等比数列即可求解的通项，进而可判断单调性，根据分组求和即可判断．
本题考查由数列的递推式求数列的通项公式，判断数列的单调性，求数列的前项和公式，属中档题．
 12.【答案】 【解析】解：抛物线的焦点的坐标为，
由题意可知，直线的斜率一定存在，
设，，
直线的方程为，与抛物线：联立，得，
所以，，
所以，所以为钝角，故A错误；
当且仅当时等号成立，故B正确；
点，因，
即直线和直线的倾斜角互补，所以平分，故C正确；
由，两式相减得，
因为点是弦的中点，所以，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，即，故D正确．
故选：．
设，，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，根据判断，根据焦半径公式，判断，通过计算，即可判断，利用点差法计算，判断；
本题考查了直线与抛物线的综合，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：因为，
所以，
所以的虚部为．
故答案为：．
根据复数的除法运算化简，再求出虚部即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：若命题“，”是假命题，则命题的否定“，方程”是真命题，所以．
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
根据全称命题和特称命题之间的关系转化成最值问题即可求．
命题的否定，存在性问题的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：因为，所以，
即，得，
则，可得的最小值为，
此时，
则．
故答案为：．
由题意可得，从而可求得的最小值，即可得出函数的解析式，从而可得出答案．
本题考查三角函数的最值，考查学生的运算能力，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：令，
当时，，
则，，
因为对于任意的实数都有，
又即为偶函数，
根据偶函数的对称性可知，当时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，
由，可得，
即，
所以，解得，
故答案为：．
构造函数，结合已知可判断函数的奇偶性及单调性，然后即可求解不等式．
本题主要考查利用单调性求解不等式，解题的关键是构造函数并判断出单调性及奇偶性，是中档题．
 17.【答案】解：因为，
由正弦定理得，，
整理得，，
由余弦定理得，，
由为三角形内角得，；
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以的周长． 【解析】由已知结合正弦定理，余弦定理进行化简可求，进而可求；
由已知结合三角形面积公式可求，结合可求，进而可求三角形周长．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在三角形求解中的应用，属中档题．
 18.【答案】解：设等差数列的公差为，由题意知，
解得，，所以，
由题意知，
所以
． 【解析】设等差数列的公差为，由题意知，求解即可；
，可求数列的前项和．
本题考查求数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的前项和，属中档题．
 19.【答案】解：联表如下：  开车时使用手机开车时不使用手机合计男性司机人数女性司机人数合计根据公式可得：．
故有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关．
由知：名司机中名男性，名女性．
则的所有取值可能为：，，，．
；；；．
则分布列为：   ． 【解析】根据已知条件完善列联表，由卡方公式求出卡方值，比较参照值即可得结论；
由知名司机中名男性，名女性，利用组合计数、古典概型的概率求法求概率即可．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题．
 20.【答案】解：结合图易得凉亭的顶是正六棱锥，侧面与水平面成，取的中点，
连接，，则，，故，易求，所以，
所以该凉亭的体积分为两部分，上半部分为正六棱锥，其体积为
，下半部分为正六棱柱，
其体积，
所以该凉亭及内部所占空间为，
取的中点，以、、所在直线分别为，，轴，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示．

假设在直线上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
则
设，
则，
平面的一个法向量，
则，
则，即，令，解得，
所以平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，则
，
化简得，故该方程不存在实数解，
所以在直线上不存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为． 【解析】根据正六棱柱的体积以及正六棱锥的体积公式即可求解．根据空间直角坐标系中点的坐标得向量的坐标，根据空间向量的求解平面法向量与直线方向向量的夹角，进而可求解．
本题考查线面角，考查学生的运算能力，属于难题．
 21.【答案】解：设椭圆的半焦距为，由题意得，
解得，，
所以椭圆的方程为：；
由可得，，右焦点，
显然直线的斜率不为，设直线的方程为，设，，
联立，整理可得：，
显然成立，，，
由直线的方程，与联立，可得，
由直线的方程，与联立，可得点，
所以，，
所以，
所以为定值． 【解析】由离心率和四边形的面积及，，之间的关系求出，的值，进而求出椭圆的方程；
由可得，，的坐标，由题意可得直线的斜率不为，设直线的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，求出直线，的方程，与联立，可得，的坐标，求出向量的数量积，整理可得其值为定值．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，数量积的运算性质的应用，属于中档题．
 22.【答案】解：定义域为，
，
因为恒成立，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，，
，整理得：，
即在上恒成立，
令，，
若，则恒成立，不合题意，
若，则，
令，，
则在恒成立，
所以在上单调递减，
当时，，即
所以在上单调递减，
故，
即在上恒成立，满足题意；
当时，，，
所以存在，使，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以存在使得，不合题意，
综上，实数的取值范围是． 【解析】求定义域，求导，求出导函数大于和小于的解集，求出单调性；
变形为在上恒成立，构造，求导，研究其单调性，对分类讨论，得到时满足题意，其他情况均不合题意，求出答案．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．