2021-2022学年山西省长治市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

这是一份2021-2022学年山西省长治市高一（下）期末数学试卷（Word解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山西省长治市高一（下）期末数学试卷 题号一二三总分得分      一、单选题（本大题共12小题，共60分）已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 若，则的共轭复数为(    )A.  B.  C.  D. 某工厂生产甲、乙两种不同型号的产品，产量分别为件，件．为检验产品的质量，现用等比例分层抽样的方法从以上所有产品中抽取件进行检验，则应从甲种型号的产品中抽取的产品数量为(    )A.  B.  C.  D. 已知四边形为平行四边形，则“”是“”的(    )A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件已知函数，要得到函数的图象，只需将函数的图象(    )A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度某地区为了解最近天该地区的空气质量，调查了该地区过去天的浓度单位：，数据依次为，，，，，，，，，，已知这组数据的极差为，则这组数据的第百分位数为(    )A.  B.  C.  D. 在四面体中，平面平面，，，则(    )A.  B.  C.  D. 一艘船航行到点处时，测得灯塔在其北偏东方向，如图所示随后该船以海里小时的速度，向东南方向航行小时后到达点，测得灯塔在其北偏东方向，此时船与灯塔间的距离为(    )A. 海里
B. 海里
C. 海里
D. 海里已知某圆锥的母线长为，其侧面展开图的面积为，则该圆锥外接球的表面积为(    )A.  B.  C.  D. 中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物．如图，棋盘由边长为的正方形方格组成，已知“帅”“炮”“马”“兵”分别位于，，，四点，“马”每步只能走“日”字，图中的“马”走动一步到达点，则的值不可能为(    )A.  B.  C.  D. 若函数有两个零点，则整数的值共有(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个在矩形中，，是的中点，将沿翻折，当翻折到的位置时，连接，，如图所示，设的中点为，当时，二面角的余弦值为(    )
A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共4小题，共20分）据文献记载，百家姓成文于北宋初年，表记录了百家姓开头的大姓氏：
表赵钱孙李周吴郑王冯陈褚卫蒋沈韩杨朱秦尤许何吕施张表记录了年中国人口最多的前大姓氏：
表：李：王：张：刘：陈：杨：赵：黄：周：吴：徐：孙从百家姓开头的大姓氏中随机选取个姓氏，则这个姓氏是年中国人口最多的前大姓氏的概率为______．为了解某地高一学生的期末考试语文成绩，研究人员随机抽取了名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图各组区间均为左闭右开，已知不低于分为及格，则______，这名学生期末考试语文成绩的及格率为______．
 某圆台的上、下底面圆的半径分别为，，且该圆台的体积为，则该圆台的高为______．已知平行四边形的面积为，，且，，则的最大值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）已知向量，．
若，求在上的投影向量的模；
若，向量，求与夹角的余弦值．在中，内角，，的对边分别为，，已知，．
求；
若的面积为，且为的中点，求线段的长．为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某校组织了防疫知识测试．测试共分为两轮，每位参与测试的同学均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中的测试成绩均合格，则视本次测试成绩为合格．甲、乙两名同学均参加了本次测试，已知在第一轮测试中，甲、乙测试成绩合格的概率分别为；在第二轮测试中，甲、乙测试成绩合格的概率分别为甲、乙两人在每轮测试中的成绩是否合格互不影响．
甲、乙哪名同学在本次测试中成绩合格的概率更大？
求甲、乙两人中至少有一人的成绩在本次测试中合格的概率．已知甲工厂生产一种内径为的零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的件零件中抽出件，测得其内径尺寸如下单位：：

注：表示有件尺寸为的零件．
求这件零件内径尺寸的平均数；
设这件零件内径尺寸的方差为，试估计该厂件零件中其内径尺寸单位：在内的件数；
若乙工厂也生产同种零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的件零件中抽出件，测得其内径单位：的方差为，试比较甲、乙两工厂抽检的件零件内径尺寸的稳定性．已知函数．
若为钝角，且，求的值；
若，均为锐角，且，求的取值范围．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，是的中点，，分别是棱上靠近点和点的三等分点，，．
证明：平面；
求点到平面的距离．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由题意得，，
故A，
故选：．
求出集合，根据集合的并集运算，即可求得答案．
本题考查集合的运算，考查并集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，
则的共轭复数．
故选：．
由复数的运算法则先求出，由此能求出的共轭复数．
本题考查复数的运算法则、共轭复数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 3.【答案】 【解析】解：从甲种型号的产品中抽取的产品数量为．
故选：．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的的定义，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：因为四边形为平行四边形，故当时，四边形为矩形，
此时，故；
当时，，此时四边形为矩形，．
故“”是“”的充要条件，
故选：．
根据平行四边形的性质与数量积的运算律，分别分析充分性与必要性即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了向量垂直问题，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：由于，
故只需将函数的图象向左平移个单位长度，即得到，
也即的图象，
故选：．
利用三角函数诱导公式将函数化为，根据三角函数图象的平移变换，可得答案．
本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：数据依次为，，，，，，，，，，而这组数据的极差为，数据中最小值为，
故应为最大值，
则，
将数据从小到大排列：，，，，，，，，，，，
故这组数据的第百分位数为，
故选：．
利用极差以及可判断为最大值，可求，再利用百分位数定义可解．
本题考查了百分位数的计算，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：如图，设的中点为，连接，，

因为，，故A，，
即为二面角的平面角，
因为平面平面，故，
又，
故．
故选：．
设的中点为，连接，，根据题意可说明，，即可证明，根据勾股定理即可求得答案．
本题考查了面面垂直的应用，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：由题意可知，，，海里，
由正弦定理可得，解得海里．
故选：．
根据正弦定理可得，即可求解．
本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．
 9.【答案】 【解析】解：由题意，可设圆锥的底面半径为，
则，故，则圆锥的高，
设该圆锥外接球的半径为，则，
解得，故该圆锥外接球的表面积为，
故选：．
根据题意求得圆锥的底面半径和高，列方程求得外接球的半径，即可求得答案．
本题考查了圆锥的外接球的表面积计算，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解；建立以为坐标原点的平面直角坐标系，
则，，，，
由于“马”每步只能走“日”字，故“马”走动一步到达点的位置可能为，，，
则，或或，
则的值可能为，
或，
或，
即的值可能为，，，
则的值不可能为，
故选：．
建立平面直角坐标系，求出，，的坐标，确定可能的位置，从而计算的坐标，根据数量积的计算，可得答案．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题．
 11.【答案】 【解析】解：因为方程在上有且仅有一解，
所以要使函数在有两个零点，
只需在上有且仅有一个解，同时该解不能为．
因为在上值域为，因此要满足即有解，只需．
又因为在上单调递增，因此当时，在上有且仅有一个解
因为且，所以整数可以为，，，，，，，，，
其中当或时，．
因此满足条件的为，，，，，，共个．
故选：．
先判断出函数在有两个零点为和，由的范围求出符合题意的整数．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
 12.【答案】 【解析】解：取的中点，连接，，则，，所以为二面角的平面角，

在中，，，．
故选：．
取的中点，连接，，，证明为二面角的平面角，求出二面角的余弦值为．
本题考查面面角的余弦值的求法，属基础题．
 13.【答案】 【解析】解：年中国人口最多的前大姓氏也是百家姓的前大姓氏的是赵、李、周、吴、王、陈、杨、张、孙，共个，故所求概率为，
故答案为：．
在年人口最多的前大姓氏中找出位于百家姓的前位的姓氏，并确定这些姓氏的数目，再利用古典概型的概率公式计算所求事件的概率．
本题考查了古典概型概率的计算问题，属于基础题．
 14.【答案】   【解析】解：由频率分布直方图可得，
，
解得；
这名学生期末考试语文成绩的及格率为．
故答案为：；．
由频率分布直方图的面积之和为列方程求解即可；再求不低于分的频率即可．
本题考查了频率分布直方图的综合应用，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：由题可知，该圆台上底面圆的面积为，下底面圆的面积为，
设该圆台的高为，则该圆台的体积为，解得．
故答案为：．
根据圆台的体积公式计算高即可．
本题考查某圆台的体积公式，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：由题意可得，，
，
 
故

，
因为平行四边形的面积为，，则，
所以，即，
故，
当且仅当时取等号，
故，
即的最大值为．
故答案为：．
选定基底向量，根据向量的线性运算表示出，，再根据数量积的运算律得到的表达式，结合四边形面积求得，再利用基本不等式即可求得的最大值．
本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．
 17.【答案】解：当时，，
因为，所以在上的投影向量的模为．
因为向量，且，
所以，解得，即，，
所以． 【解析】当时，，然后直接求出在上的投影向量的模即可；
根据求出，再利用夹角公式求出与夹角的余弦值．
本题主要考查向量的投影和向量的夹角公式，属于基础题．
 18.【答案】解：因为，故，
由，联立可得，，
所以，是锐角，
故B．
由知，，故，
解得，所以，，
所以：，即
，
故BD即为所求． 【解析】根据已知，利用正弦定理，余弦定理得到，，的方程，用表示，，然后利用正弦定理求出即可；
结合面积公式求出三角形的，的长以及，最后利用向量的模长公式求解．
本题考查正余弦定理、面积公式在解三角形问题中的运用，属于中档题．
 19.【答案】解：设事件“甲在第一轮测试中的成绩合格”，事件“甲在第二轮测试中的成绩合格”，事件“乙在第一轮测试中的成绩合格”，事件“乙在第二轮测试中的成绩合格”，
则事件“甲同学在本次测试中成绩合格”，，事件“乙同学在本次测试中成绩合格”，．
，甲同学在本次测试中成绩合格的概率更大．
设事件“甲在本次测试中成绩合格”，事件“乙在本次测试中成绩合格”，
则，，事件“甲、乙两人中至少有一人在本次测试中合格”，． 【解析】利用相互独立事件概率乘法公式分别求出甲同学在本次测试中成绩合格的概率和乙同学在本次测试中成绩合格的概率，由此得到甲同学在本次测试中成绩合格的概率更大；
设“甲在本次测试中成绩合格”，“乙在本次测试中成绩合格”，“甲、乙两人中至少有一人在本次测试中合格”，由此能求出甲、乙两人中至少有一人在本次测试中合格的概率．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 20.【答案】解：这件零件内径尺寸的平均数为：
．
，，
，，
，
，
，
件零件内径尺寸在的频率为．
估计该厂件零件中其内径尺寸单位：在内的件数为：
．
甲工厂抽检的个零件内径尺寸的方差，
乙工厂抽检的件零件内径尺寸的稳定性更好． 【解析】根据平均数的计算公式求解即可；
根据方差的公式求解可得，进而根据内的频率估计即可；
根据甲工厂抽检的个零件内径尺寸的方差与比较判断即可．
本题考查平均数、方差、标准差、频率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 21.【答案】解：因为函数，为钝角，所以，
因为，所以，解得：舍去，
所以

，
把代入可得：
；
因为，所以，
所以，即，
因为，均为锐角，所以，所以，所以，
因为，所以，所以，
所以



，
因为，所以，所以，所以
即的取值范围为． 【解析】先利用二倍角的正切公式求出，再进行弦化切，代入求出的值；
由求出，把消去，利用三角函数求最值．
本题考查了三角函数的综合应用，属于中档题．
 22.【答案】证明：连接，并交于点，连接，．
在中，，分别为，的中点，所以，
同理，在中，有．
又因为，，所以平面平面．
又平面，所以平面．
解：连接因为，，所以，则．
又因为是的中点，所以．
因为底面是菱形，所以．
因为，所以平面，则．
因为底面是边长为的菱形，，所以．
又因为，所以，
则，
则，故BG．
又因为，所以平面．
又因为平面平面，所以平面，则点到平面的距离即．
又因为，所以点到平面的距离为．
 【解析】连接，并交于点，连接，先证明出平面平面，即可得到平面；
连接先证明出点到平面的距离即，即可求解．
本题考查点到平面的距离，考查学生的分析运算能力，属于中档题．