2021-2022学年山西省六校联考高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山西省六校联考高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 随机变量的分布列如表，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知为虚数单位，则复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在的展开式中，常数项为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知随机变量，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 五一期间，李阳的父母带着李阳和李阳的妹妹，一家人去五台山游玩，他们在入口处站成一排拍照留影，若李阳的父母相邻，则这人不同的站法种数是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 根据教育部的规定，从年月日以来，全国各地的中小学都开展了课后延时服务．各个学校都及时安排老师参加课后延时服务工作，学校要求张老师在每个星期的周一至周五要有三天参加课后延时服务．若张老师周五一定参加课后延时服务，则他周四也参加课后延时服务的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若，且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 为了配合社区核酸检测，某医院共派出名男志愿者和名女志愿者参与社区志愿服务．已知名志愿者将会被分为组派往个不同的社区，且女志愿者不单独成组．若每组不超过人，则不同的分配方法种数为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 设函数图象经过点，直线向左平移个单位长度后恰好经过函数的图象与轴的交点，若是的图象与轴的所有交点中距离点最近的点，则函数的一个单调递增区间为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数，若，，且时，都有，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 奶茶店老板对本店在年月份出售热饮的杯数与当天的平均气温进行线性回归分析，随机收集了该月某天的相关数据如下表，并由最小二乘法求得回归方程为．

表中有一个数据看不清楚，请你推断出该数据的值为______．

14. 设随机变量服从正态分布，若，则______．
15. 已知点是曲线上一点，若点到直线的距离最小，则点的坐标为______．
16. 如图所示，用一个平行于圆锥的底面的平面截这个圆锥，截得的圆台，上、下底面的面积之比为：，截去的圆锥的底面半径是，圆锥的高为则截得圆台的体积为______；若圆锥中有一内切球，则内切球的表面积为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 在等差数列中，，．
    求数列的通项公式；
    若，求数列的前项和．
18. 如图，已知四棱锥的底面是矩形，平面，，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且．
    求证：平面；
    求直线与平面所成角的正弦值．

19. 在中，角，，的对边分别是，，，．
    求角的大小；
    若，求周长的最大值，并求出此时对应，的值．
20. 司机在开车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命，为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门通过道路监控随机调查了名司机，得到以下统计：在名男性司机中，开车时使用手机的有人，开车时不使用手机的有人；在名女性司机中，开车时使用手机的有人，开车时不使用手机的有人．
    完成下面的列联表，依据小概率值的独立性核验，分析开车时使用手机与司机的性别的关联性；

采用分层抽样从开车时不使用手机的人中抽取人，再从这人中随机抽取人，记为开车时不使用手机的男性司机人数，求的分布列和数学期望．
参考数据：

参考公式：，其中．

21. 已知抛物线：，过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于，两点，交抛物线于，两点，抛物线上一点到焦点的距离为．
    求抛物线的方程；
    若线段的中点为，线段的中点为，求证：直线过定点．
22. 已知函数．
    求函数的单调区间；
    设函数，当时，若在上恒成立，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由，解得，，
，．
故选：．
利用对数型函数有意义求出集合，结合交集的定义即可求解．
本题考查了交集及其运算，对数不等式的解法，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，解得，
所以．
故选：．
根据离散型随机变量的分布列的性质即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量分布列的性质，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由，
得：．
故选：．
把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数的除法运算进行化简．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：二项式的展开式的通项公式是，
令，解得，
所以常数项为，
故选：．
求出展开式的通项公式，令的指数为，进而可以求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由，得，解得，
所以．
故选：．
根据二项分布的期望和方差公式，结合二项分布的定义即可求解．
本题考查了二项分布与次独立重复试验的模型，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：若要求李阳的父母相邻，他的父母先站好有种方法，然后将其看成一个人再与李阳以及李阳的妹妹站成一排有种排法，所以共有种不同的站法．
故选：．
利用排列中相邻问题捆绑法及排列数公式即可求解．
本题考查了排列数相关知识，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为在上单调递减，又，
所以，
即，
又因为，
所以．
故选：．
利用指数函数的单调性及中间值即可求解．
本题考查了指数比较大小问题，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：解法一：学校要求张老师在每个星期的周一至周五要有三天参加课后延时服务．
如果张老师周五一定参加课后延时服务，
则他参加课后延时服务的安排方案有种，
其中周四参加课后延时服务的安排方案有种，
所以他周四也参加课后延时服务的概率为．
解法二：设事件为张老师“周五参加课后延时服务”，
事件为张老师“周四参加课后延时服务”，
则，，
故他周四也参加课后延时服务的概率为．
故选：．
法一：他参加课后延时服务的安排方案有种，其中周四参加课后延时服务的安排方案有种，由此能求出他周四也参加课后延时服务的概率；
法二：设事件为张老师“周五参加课后延时服务”，事件为张老师“周四参加课后延时服务”，则，，利用条件概率能求出他周四也参加课后延时服务的概率．
本题考查概率的运算，考查古典概型、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为，且，
所以，
所以，
则．
故选：．
由题意可求范围，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据两角差的正弦公式即可求解的值．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，将名志愿者将会被分为组，有种分组方法，即分为两组或两组两种情况讨论，
分两种情况讨论：
当分为，的两组时，名女志愿者不单独成组，有种分组方法，再对应到两个社区参加志愿工作，有种情况，此时共有种分配方法；
当分为，的两组时，有种分组方法，其中有种两名女志愿者单独成组的情况，则有种符合条件的分组方法，再对应到两个社区参加志愿工作，有种情况，此时共有种分配方法，
故共有种分配方法．
故选：．
根据题意，按分成组的人数分种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：是的图象与轴的所有交点中距离点最近的点，为的最小值点，
的最小正周期，即，解得：，
，即，，解得：，
又，，
；
令，解得：，
的单调递增区间为，
令，则是的一个单调递增区间，
，是的一个单调递增区间．
故选：．
根据最小正周期和可求得，，进而得到解析式；利用余弦型函数单调区间的求法可求得的单调递增区间，验证选项即可得到结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：令，
因为，，且时，都有，
即，，且时，都有，
所以在上单调递增，即在上恒成立，
即在上恒成立．令，
，所以，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即．
故选：．
构造函数，再根据题意判断函数的单调性，求函数的最值即可求得的范围．
本题考查利用导数求函数的最值，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设看不清的这个数据为，
则，，
由于回归直线必过样本中心，
所以，解得．
所以该数据的值为．
故答案为：．
利用平均数的定义，结合样本中心在回归直线上，即可求解．
本题主要考查样本中心在回归直线上，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由于服从正态分布，
所以正态曲线关于直线对称，
所以．
故答案为：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可知，当过点的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，
设，，，
令，解得，故，
，
故答案为：．
设出与直线平行的直线与曲线的切点，然后令切点处的导数等于，即可求出切点的坐标．
本题考查导数的几何意义及其应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】   

【解析】解：设轴截面如图所示，由已知得，又，
所以，，，，
，所以圆台的体积为，
设内切球的半径为，则，
即，解得，
所认内切球的表面积为．
故答案为：，．
由已知得，又，可求得，，从而可求圆台的体积；设内切球的半径为，由已知可得，可求得，从而可求内切球的表面积．
本题考查圆台的体积的求法，以及圆台的内切球的表面积的求法，考查圆台的结构特征、勾股定理、相似三角形等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

17.【答案】解：等差数列中，，，
设数列的公差为，
所以，解得，
故；
由得：；
所以． 

【解析】直接利用等差数列的性质的应用求出数列的通项公式；
利用的通项，进一步利用分组法的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，分组法的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

18.【答案】证明：在棱上取一点，使得，连接，，

在中，，，所以，且分
又，
所以，，所以四边形是平行四边形． 分
所以，分
又平面，平面，
所以平面           分
解：如图，以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．

不妨设，易得所以，，．，，所以，，       分
设平面的一个法向量是，可得，
令，解得，所以分
设直线与平面所成角为，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值是 分 

【解析】连接，，证明四边形是平行四边形．得到，然后证明平面．
以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．求出平面的一个法向量，利用空间向量的数量积，求解直线与平面所成角的正弦值即可．
本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
 

19.【答案】解：因为，
所以，
由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
由为三角形内角得；
由余弦定理得，
当且仅当时取等号，
解得，此时，
所以三角形周长的最大值为． 

【解析】由已知结合同角基本关系，正弦定理及和差角公式进行化简可求，进而可求；
由余弦定理及基本不等式可求的范围，进而可求三角形周长的最大值及相应的，．
本题主要考查了同角商的关系，正弦定理，余弦定理及和差角公式，基本不等式在求解三角形中的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：由已知数据可得列联表如下：

零假设为开车时使用手机与司机的性别无关联，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为开车时使用手机与司机的性别有关，此推断犯错误的概率不大于．
解：开车时不使用手机的男性司机人数为：人；开车时不使用手机的女性司机人数为：人．
由题意可知：的所有可能取值为，，，，
；；；．
则的分布列为：

则． 

【解析】根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
由题可得，服从超几何分布，计算对应的概率写出的分布列，计算数学期望．
本题考查了独立性检验以及离散型随机变量的分布列与期望的计算，属于中档题．
 

21.【答案】解：到焦点的距离为，则准线为，，
抛物线方程为；
由题意知和斜率均存在，，
设直线方程为，
则直线方程为，
由，联立得，，
设，，
则，，
故，同理得，
故直线方程为，
整理得，故直线过定点． 

【解析】由抛物线的定义求解
待定系数法设直线方程，联立抛物线方程由韦达定理表示，坐标，继而求出直线的方程后求定点
本题考查了抛物线的定义、性质及直线过定点问题，直线与圆锥曲线的问题，很多时候都采用设而不解法求解，属于中档题．
 

22.【答案】解：因为，
所以，
当时，在上恒成立，
所以的单调递减区间为，
当时，令，得，
令，得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间是，
当时，令，得，
所以的单调递减区间为．
，，
，
令，得，单调递增，
令，得，单调递减，
所以，
因为在上恒成立，
所以恒成立，
即在上恒成立，
所以或，
所以或，
所以，
所以的取值范围为． 

【解析】求导得，分三种情况：当时，当时，当时，讨论的单调性．
，，求导分析单调性，得，若在上恒成立，则在上恒成立，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要一定的理解能力，属于中档题．