2021-2022学年山东省日照市高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山东省日照市高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知集合 ，，，，，， ， ，，， ， ，， 则(    )

A.  ，  B.  ，
C.  ，，，，  D.  ，，，， 

2. 函数的定义域为(    )

A.  B.
C.  D.

3. 已知，，且，，，那么的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图所示，函数的图像在点处的切线方程是，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知数列满足，且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数，则的图像上关于坐标原点对称的点共有(    )

A. 对 B. 对 C. 对 D. 对

8. 已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，且与的图像关于轴对称，则(    )

A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 是一个周期 D. 关于直线对称

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 实数，，在数轴上对应的点如图所示，则(    )

A.  B.
C.  D.

10. 下列说法正确的是(    )

A. 命题“，都有”的否定是“，使得”
B. 当时，的最小值是
C. 若不等式的解集为，则
D. “”是“”的充要条件

11. 已知函数，则(    )

A. 函数存在两个不同的零点
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 若方程有两个实根，则
D. 若时，，则的最小值为

12. 若正整数只有为公约数，则称，互质，对于正整数，是不大于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，已知欧拉函数是积性函数，即如果，互质，那么，例如：，则(    )

A.  B. 数列是等比数列
C. 数列不是递增数列 D. 数列的前项和小于

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 设函数，则______．
14. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______．
15. 已知前项和为的等差数列公差不为满足，仍是等差数列，则通项公式______．
16. 是圆周率，是自然对数的底数，在，，，，，，，八个数中，最小的数是______，最大的数是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知集合，或．
    当时，求；
    当时，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
18. 已知为等差数列的前项和，，．
    求，；
    若数列的前项和为，求满足的最小正整数．
19. 已知函数，其中常数．
    当时，求的极大值；
    试讨论在区间上的单调性．
20. 已知定义在上的函数是奇函数．
    求，的值；
    当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21. 数学的发展推动着科技的进步，得益于线性代数、群论等数学知识的应用，技术正蓬勃发展．目前某区域市场中智能终端产品的制造仅能由公司和公司提供技术支持．据市场调研预测，商用初期，该区域市场中采用公司与公司技术的智能终端产品分别占比及假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用公司技术的产品中有转而采用公司技术，采用公司技术的仅有转而采用公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用公司与公司技术的智能终端产品占比分别为及，不考虑其它因素的影响．
    求，；
    用表示，并求实数使是等比数列；
    经过若干次技术更新后该区域市场采用公司技术的智能终端产品占比能否达到以上？若能，至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由．
    参考数据：，
22. 设函数，其中．
    若，求曲线在点处的切线方程；
    若．
    证明：函数恰有两个零点；
    设为函数的极值点，为函数的零点，且，证明：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：已知集合，，，
，，则，
故选：．
结合集合并集、补集的意义直接求解．
本题考查集合的基本运算，属基本题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数定义域的求法，考查了计算能力，属于基础题．
可看出，要使得有意义，则需满足，然后解出的范围即可．

【解答】

解：要使有意义，则，解得，且，
的定义域为．
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，，，，
则，当且仅当时等号成立，
即的最大值为．
故选：．
根据题意，由基本不等式的性质可得，即可得答案．
本题考查基本不等式的性质以及应用，注意基本不等式的形式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据的图象知该函数非奇非偶，该选项错误；
B.根据的图象知该函数非奇非偶，该选项错误；
C.时，为增函数；
即在上单调递增，该选项错误；
D.显然为偶函数，根据其图象可看出该函数在上单调递减，该选项正确．
故选：．
由奇函数和偶函数图象的对称性，根据和的图象便可判断出，B错误，而由的单调性便可判断选项C错误，对于，由偶函数的定义便可判断该函数为偶函数，由该二次函数的图象便可判断出在上单调递减，从而得出D正确．
考查奇函数和偶函数图象的对称性，清楚和的图象，一次函数的单调性，偶函数的定义，以及二次函数的单调性的判断．
 

5.【答案】 

【解析】解：已知函数的图像在点处的切线方程是，
当时，，即，
且，则．
故选：．
由函数的图像在点处的切线方程可得，取求得，则的值可求．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数形结合思想，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：数列满足，
，即．
数列是公比为的等比数列．
且，
则．
故选：．
数列满足，可得，即再利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．
本题考查了等比数列的通项公式及其性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：作出函数的图像，如图示，

则的图像上关于坐标原点对称的点，即为当时，关于原点对称的函数图像，与的图像的交点，
由图像可知，交点有个，
所以函数的图像上关于坐标原点对称的点共有对．
故选：．
做出的图像，将图像上关于坐标原点对称的点转化为关于原点对称的图像与另一段图像交点个数即可求解．
本题考查的知识点是分段函数的应用，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，是定义域为的奇函数，则关于点中心对称，是定义域为的偶函数，则关于对称，
与的图像关于轴对称，则关于对称，
又由关于点中心对称，则关于原点中心对称，故是奇函数，故A正确．
对于，是奇函数，且与的图像关于轴对称，故也是奇函数，故B错误．
对于，是定义域为的奇函数，则，
关于对称，故，可得，
联立可得：，变形可得，则有，函数是周期为的周期函数，故C错误．
对于，因为是函数的周期，关于点中心对称，所以是的中心对称，关于轴对称为，为的对称中心，故D错误．
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的对称性，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由数轴可以看出，
对于，，
，故A正确，
对于，，，
，故B错误，
对于，，
，故C正确，
对于，，
，故D错误．
故选：．
由数轴可以看出，再结合不等式的性质，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于：命题“，都有”的否定是“，使得”，故A错误；
对于：当时，，当且仅当，即时，等号成立，故B正确；
对于：由不等式的解集为，
可知，，
，，，故C正确；
对于：由“”可推出“”，
由，可得或，推不出“”，故D错误，
故答案为：．
对于：写出命题的否定，即可判断是否正确；
对于：利用基本不等式，即可判断是否正确；
对于：利用根与系数关系，解得，，即可判断是否正确；
对于：由“”可推出“”，可得或，推不出“”，即可判断是否正确．
本题考查命题的真假，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，解得，所以A正确；
对于．，
当时，，当时，或，
所以，是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，
所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确．
对于当时，，根据可知，函数的最小值是，
再根据单调性可知，结合图像可知若方程有两个实根，则或，所以C错误；
对于：由图像可知，的最大值是，所以D错误．
故选：．
首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．
本题考查导数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，，对；
为质数，在不超过的正整数中，所有偶数的个数为，
为等比数列，对；
与互质的数为，，，，，，，，，，，
共有个，，
又，
一定是单调增数列，错；
的前项和为对．
故选：．
根据欧拉函数定义及运算性质，结合数列的性质与求和公式，依次判断各选项即可得出结果．
本题考查了欧拉函数定义及运算性质，等比数列的求和计算，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
根据分段函数的解析式，先求出的值，再求的值．
本题考查了求分段函数的函数值问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：依题意，函数的定义域，，，解得，，
的递减区间，又在区间上单调递减，则应，，
答案为：．
首先运用导数求函数的递减区间，然后建立的不等式解之．
本题考查了运用导数求函数的单调区间，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设等差数列的公差为，
，，，，，，
是等差数列，，
即，
解得舍去或，
，
故答案为：．
设等差数列的公差为，根据是等差数列列方程，解方程求出公差，进一步得到通项公式．
本题考查等差数列的性质和通项公式，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用，是基础题．
 

16.【答案】   

【解析】解：显然八个数中最小的数是．
函数是增函数，且，；
函数是增函数，且，；
函数是增函数，且，；
函数在是增函数，且，，则八个数中最小的数是
函数在是增函数，且，，
八个数中最大的数为或，构造函数，
求导得，当时，函数在是減函数，，
即，即，即，，
则八个数中最大的数是．
故答案为：；．
分别利用指数函数的单调性，判断出底数同为，以及的数的大小关系，再由函数的单调性，找出最小的数，最后利用函数的单调性，判断出最大的数．
本题考查利用导数研究函数的最值，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：当时，
，
又或，
．
当时，，
是的充分条件，，
或，
或，又，
，
实数的取值范围为． 

【解析】先解一元二次不等式求出，再利用交集运算求解即可．
将充要条件转化为，得到不等式，求解即可．
本题考查了一元二次不等式的解法，交集运算，充要条件的应用，属于中档题．
 

18.【答案】解：设等差数列的公差为，
因为，，所以，解得，，
所以，
．
由知，，
所以，
因为，所以，即，解得，
故满足的最小正整数为． 

【解析】利用等差数列的通项公式与前项和公式，可得关于和公差的方程组，解之即可；
裂项可得，再求和得，然后解不等式，得解．
本题考查数列的通项公式与前项和的求法，熟练掌握等差数列的通项公式与前项和公式，裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：当时，，
，
，可得或；
令，可得，
在和上单调递减，在单调递增             
故极大；
，
当时，则，故，；
时，
此时在上单调递减，在单调递增；           
当时，则，故，有恒成立，
此时在上单调递减；                  
当时，则，
故时，；时，，
此时在上单调递减，在单调递增． 

【解析】利用导数，我们可以确定函数的单调性，这样就可求的极大值；
求导数，再进行类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性．
用导数，我们可解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键．
 

20.【答案】解：由题意可得，解得，
再由，
得，解得，
当，时，的定义域为，
由，可得为奇函数，
所以，；
由，得，
因为，所以，
所以．
令，则，此时不等式可化为，
记，因为当时，和均为减函数，
所以为减函数，故，
因为恒成立，所以． 

【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
由题意可得，求得，再由，求得，检验可得所求值；
运用参数分离和换元法、结合指数函数的单调性，以及反比例函数、一次函数的单调性，求得函数的值域，结合恒成立思想，可得所求范围．
 

21.【答案】解：；
由题意，可设商用初期，该区域市场中采用公司与公司技术的智能终端产品的占比分别为，
易知经过次技术更新后，
则，
由式，可设，对比式可知．
由可得，
故．
从而当时，是以为首项，为公比的等比数列；
由可知，所以经过次技术更形后，该区域市场采用公司技术的智能终端产品占比，
由题意，令，得
．
故，即至少经过次技术更新，该区域市场采用公司技术的智能终端产品占比能达到以上． 

【解析】根据与的关系，列式求，再根据，即可求解；
根据条件得到数列的递推关系，利用数列是等比数列，求的值；
首先由得数列的通项公式，再解不等式，即可求的值．
本题考查数列与函数的综合，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题设，且，则，
所以，又，
所以切线方程为，
即：．
由，令，又，
易知在上递减，
又，
在上有唯一零点，即在上唯一零点，设零点为，则，
，，递增；，，递减；
是唯一极值点，且为极大值，
令且，则，故在上递减，
，即，
，又，
根据零点存在性定理，在上存在零点，又在单调递减；
在存在唯一零点，
又，在上单调递增；，
在上的唯一零点为，
故恰有两个零点；
证明：由题意，，则，即，
当时，，又，则，
，即是，得证． 

【解析】先，再求与，由点斜式即可求解；
求导得，构造并应用导数研究单调性，进而判断符号确定单调性，可求极值点所在的区间为，再证上，由此得，结合零点存在性定理即可证结论；由结合题设可得，结合上，即可证结论．
本题考查导数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．