高考数学二轮复习专题10 利用导数解决一类整数问题（2份打包，解析版+原卷版）

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专题10 利用导数解决一类整数问题
【题型归纳目录】
题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离
题型二：整数解问题之直接限制法
题型三：整数解问题之虚设零点
题型四：整数解问题之必要性探路
【典例例题】
题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离
例1．已知函数．
（1）求函数在处的切线方程
（2）证明：在区间内存在唯一的零点；
（3）若对于任意的，都有，求整数的最大值．
【答案】
（1）y＝－1；
（2）见解析；
（3）3﹒
【分析】
(1)根据导数的几何意义即可切线；
(2)先利用导数证明在上单调递增，再结合零点存在定理，得证；
(3)参变分离得，令，原问题转化为求在上的最小值，结合(2)中结论和隐零点的思维，即可得解．
（1），
，，，
在处的切线为；
（2）证明：，，
当时，，在上单调递增，
（3），（4），
在区间内存在唯一的零点．
（3），且，，
令，则，，
由（2）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点，
设该零点为，则，
故当时，，即，在上单调递减，
当，时，，即，在，上单调递增，
，
，
故整数的最大值为3．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点，以及不等式问题，考查转化与划归思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
例2．已知函数，.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）令，若在恒成立，求整数的最大值.
（参考数据：，）.
【答案】（1）； （2）.
【分析】
（1）（1）当时，得到，求得，得出，且，结合直线的点斜式方程，即可求解.
（2）把在转化为在恒成立，令，利用导数求得函数的额单调性，零点的存在定理得到在上递减，在上递增，从而求得，即可求得整数的最大值.
【详解】
（1）（1）当时，可得，则，
可得，且，
即函数在点处的切线的斜率，
所以切线方程为，即，
函数在点处的切线方程.
（2）由，
因为在恒成立，即在恒成立，
即在恒成立，令，可得，
令，可得在上单调递增，且，
所以存在，使得，
从而在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为在恒成立，所以，
所以整数的最大值为.
例3．已知函数．
（1）证明：在区间内存在唯一的零点；
（2）若对于任意的，都有，求整数的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）3．
【分析】
（1）先利用导数证明在上单调递增，再结合零点存在定理，得证；
（2）参变分离得，令，原问题转化为求在上的最小值，
结合（1）中结论和隐零点的思维，即可得解．
【详解】
（1）证明：∵，∴，
当时，，∴在上单调递增，
∵，，
∴在区间内存在唯一的零点．
（2）解：∵，且，∴，
令，则，，
由（1）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点，
设该零点为，则，
故当时，，即，在上单调递减，
当时，，即，在上单调递增，
∴，
∴，
故整数的最大值为3．
题型二：整数解问题之直接限制法
例4．已知偶函数满足，且当，时，，关于的不等式在，上有且只有300个整数解，求实数的取值范围
【解答】解：是偶函数，，
，，的周期为．
当，时，，
当时，，当时，，
在上单调递增，在，上单调递减．
又（1），（4），且是以8为周期的偶函数，
当为整数时，，
在，上有300个整数解，
在，上有3个整数解，显然这三个整数解为1，2，3，
即在，上有三个整数解1，2，3．
，即，解得：．

例5．已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）试讨论的单调性；
（2）是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）．
①若，则恒成立，在上单调递增；
②若，令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
综上所述，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）要使在上恒成立，则在上恒成立，
令，则．
①当时，，
由知，在上单调递减，在上单调递增．
，满足题意．
②当时，当时，函数的取值情况，
，，．
又，，即，
当时，在上单调递增．
不妨取，则函数在上单调递增，
，且，
不能恒成立．
综上所述，正整数的最大值为2．





例6．已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）若函数有两个零点，求的取值范围；
（2）是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在．请说明理由．
【解答】解：（1），，
令，得，令，得，
函数在上单调递成，在上单调递增，（1），
函数有两个零点，（1），
的取值范围为；
（2）要使在上恒成立，即使在上恒成立，
令，则，
①当时，，
由知在单调递减，在单调递增，
，时满足题意；
②当时，考查时，函数的取值情况：
，，，
又，，即，
当时，在上单调递增，
取，则函数在上单增，
，且，
不能恒成立，
综上，的最大正整值为2．






例7．已知集合，集合，．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若中恰含有一个整数，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）或，
当时，由，
解得：，即，，
，；
（Ⅱ）函数的对称轴为，
，且中恰含有一个整数，
根据对称性可知这个整数为2，
（2）且（3），即，
解得：．
题型三：整数解问题之虚设零点
例8．设函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）
【答案】
（1）答案见解析
（2）存在，的最小值为0
【分析】
（1）求出函数的导数，就的不同取值可求的解，从而可得函数的单调增区间.
（2）利用导数结合虚设零点可求，从而可得整数的最小值.
（1）因为，
所以，
①当时，由，解得；
②当时，由，解得；
③当时，由，解得；
④当时，由，解得；
⑤当时，由，解得，
综上所述，当时，的增区间为；
当时，的增区间为；
时，的增区间为.
（2）当时，，所以，
而，
因为均为上的增函数，
故为上的增函数，
而，，
故在上有且只有一个零点，
且且时，；当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，
因为，所以，
所以，
而整数，使得关于x的不等式有解，故，
故存在整数满足题意，且的最小值为0.
【点睛】
思路点睛：利用导数求函数的最值时，如果导数的零点不易求得，则可以虚设零点，利用零点满足的关系式化简最值，从而得到最值的范围或符号.


例9．已知函数，求：
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，总有，求整数的最小值.
【答案】
（1）（2）-3
【分析】
（1）先对函数求导，计算出斜率，再用点斜式即可；（2）分离参数转化为函数的最值问题.
（1）当时，


在点处的切线方程为即
（2）由题意，，即，即，
又，恒成立.
令，
令，则恒成立.在上递减，
，
使，即，则，
当时，，当时，

因为，且，，即整数k的最小值为-3
【点睛】方法点睛：对于零点不可求问题，可以设而不求，整体替换从而求出范围。
例10．已知函数（其中为自然对数的底数）．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在有唯一零点，求实数的取值范围；
（3）若不等式对任意的恒成立，求整数的最大值．
【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）；（3）.
【分析】（1）利用导数可确定单调性，由极值定义可求得结果；
（2）利用导数可确定的单调性；当时，可知，解不等式可知无满足题意的值；当时，根据，分别在，和三种情况下，根据在有唯一零点可构造不等式求得结果；
（3）将恒成立不等式化为，令得，令可确定，使得，由此可得，进而得到的范围，从而得到.
（1）当时，，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
的极小值为，无极大值.
（2），，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
①当时，在上单调递增，若在上有唯一零点，则，
即，解得：（舍）；
②当时，在上单调递减，在上单调递增；
当，即时，，则在上无零点，不合题意；
当，即时，在上有唯一零点，满足题意；
当，即时，由得：，
在上有唯一零点，此时需，即；
综上所述：当或时，在上有唯一零点，
即实数的取值范围为.
（3）若对恒成立，即对恒成立，则，
令，则，
令，则，在上单调递增，
，，，使得，即，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，
，，，
，整数的最大值为.
【点睛】
方法点睛：求解本题恒成立问题的常用方法是能够通过分离变量的方法将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系比较问题，即若恒成立，则；若恒成立，则.
例11．已知函数．
（1）求函数在处的切线方程
（2）证明：在区间内存在唯一的零点；
（3）若对于任意的，都有，求整数的最大值．
【答案】（1）y＝－1；（2）见解析；（3）3﹒
【分析】
(1)根据导数的几何意义即可切线；
(2)先利用导数证明在上单调递增，再结合零点存在定理，得证；
(3)参变分离得，令，原问题转化为求在上的最小值，结合(2)中结论和隐零点的思维，即可得解．
（1），，，，
在处的切线为；
（2）证明：，，
当时，，在上单调递增，
（3），（4），
在区间内存在唯一的零点．
（3），且，，
令，则，，
由（2）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点，
设该零点为，则，
故当时，，即，在上单调递减，
当，时，，即，在，上单调递增，
，
，
故整数的最大值为3．
题型四：整数解问题之必要性探路
例12．已知函数
（1）若函数与有公共点，求的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求整数的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值为.
【分析】
（1）由，可得，函数与有公共点，即有解，
设，求导数，求出函数的值域即可.
（2）不等式恒成立，即恒成立，当时，成立，
解得，故再验证时，不等式成立即可得出答案.
【详解】
解：（1）令，即，则，
函数与有公共点，即有解.
令，则.令，
当时，，所以，当时，，所以
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以且当时，
所以.
（2）不等式恒成立，即恒成立.
则时，成立，解得，
由题意求满足条件的整数最小值，下面验证是否满足题意.
当时，令，且在上单调递增.
又，可知存在唯一的正数，使得，即，
则在上单调递减，在上单调递增.所以，
即当时，不等式成立.
故整数的最小值为
【点睛】
关键点睛：本题考查根据两函数图像有公共点求参数范围和不等式恒成立求参数范围，解答本题的关键是先根据时，不等式成立，求处一个参数的范围，然后根据题目要求再验证满足条件，从而得出答案.属于中档题.
例13．已知，，．
（1）若，证明：；
（2）对任意都有，求整数的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）2．
【分析】
（1）利用二次求导求得存在唯一零点，使得，在上恒成立上可以证明在定义域上的单调性，可知，便可证明结论.
（2）先判断整数可知，接着证明
在区间上恒成立即可可出结论.
【详解】
解：（1）证明：设，，则．
因为，且
则在，单调递减，，
所以存在唯一零点，使得
则在时单调递增，在上单调递减
又，
所以在上恒成立上，所以在单调递增
则，即，所以．
（2）因为对任意的，即恒成立
令，则
由（1）知，所以
由于为整数，则
因此
下面证明，在区间上恒成立即可.
由（1）知，则
故
设，，则，
所以在上单调递减，所以，所以在上恒成立.
综上所述，的最大值为2．
例14.是否存在正整数，使得对一切恒成立?试求出的最大值.
解:易知对一切恒成立，当可得，则仅可取1、2
下证时不等式恒成立，设
在单调递减，单调递增，
当时，不等式恒成立，所以最大为2.
例15.求k的最大整数值.
解:令，显然
因此的最大整数值可能是4，下证时恒成立
由即
所以
【过关测试】
1．设函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若，且不等式对恒成立，求整数的最大值．
【答案】(1)见解析；(2)2
【解析】【分析】
（1）先求导，讨论导数的实根个数，然后分别研究相应区间的导数符号从而确定函数单调性；
（2）分离参数得对恒成立，构造函数，研究其最小值，然后求出的最大值.
(1)，
当时，在上恒成立，单调递增；
当时，令，解得，
在上，单调递减；
在上恒成立，单调递增.
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
(2)因为，所以原不等式等价于对恒成立，即
令，
令，即，令，
因为，所以在上单调递增，
因为，
所以使得，即
在上，，单调递减；
在上，，单调递增，
所以
又因为，所以，
又，所以的最大值为2.
【点睛】
本题第一问的关键是分类标准的正确选择；第二问的关键是零点虚设，通过设而不求的思想解决问题.
2．已知函数.
(1)讨论函数的单调性与极值；
(2)当时，函数在上的最大值为，求使得上的整数k的值（其中e为自然对数的底数，参考数据：，）.
【答案】(1)单调性见解析，极大值为，无极小值；(2)
【解析】
【分析】
（1）对函数求导，并对a的取值范围进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性、极值即可求解；
（2）对函数求导，构造新函数，利用导数研究函数的单调性、零点、函数值域即可求解.
(1)，.
当，即时，恒成立，则函数在上单调递增，无极值；
当，即时，令，即，解得，
当时，，故函数在上单调递增；
当时，，故函数在上单调递减，
所以当时，函数取得极大值，且极大值为.
综上所述，当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在上单调递增；在上单调递减，在处，
取得极大值，且极大值为，无极小值.
(2)依题意，当时，，
.
因为，所以.令，，
则在上恒成立，所以在上单调递增.
又，，
所以存在，使得，即，
则当时，，则，所以函数在上单调递增；
当时，，则，所以函数在上单调递减，
所以函数在上的最大值.
又因为，所以，.
令，，
则在上恒成立，所以函数在上单调递增，
所以.
因为，，
所以，又，所以整数.
3．设函数．
(1)当时，恒成立，求b的范围；
(2)若在处的切线为，且，求整数m的最大值．
【答案】(1);(2)2
【解析】【分析】
（1）求出当时，只需要；（2）先根据切线的条件求出参数，在类似（1）中用恒成立的方式来处理.
(1)由，当时，得．
当时，，所以，即在上单调递增，
所以，由恒成立，
得，所以，即b的范围是．
(2)由得，且．
由题意得，所以，
又在切线上．所以，所以，即．
因为，所以有．
令，则等价于，即，从而．
设，则．
易知在上单调递增，且．
所以，由函数零点存在性定理知，存在唯一的使得，即，则．
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
从而．而在上是减函数，所以．
因此的最小值．
从而整数m的最大值是2．
4．已知函数，其中e为自然对数的底数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当a＝0时，若存在使得关于x的不等式成立，求k的最小整数值．
（参考数据：）
【答案】(1)答案见解析；(2)0.
【解析】【分析】
（1）求出函数的导数，分，，三种情况讨论的符号求解作答.
（2）构造函数，求出的最小值取值范围，再由不等式成立求整数k的最小值作答.
(1)函数的定义域R，求导得：，
若，由，得，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
若，则对任意都有，则在R上单调递增，
若，当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
(2)当a=0时，令，则，令，
则，则当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
因，，则存在，
使得，即，
则当时，，当时，，
又当时，，所以当时，，
因此在上单调递减，在上单调递增，
于是，，，．
若存在使得关于x的不等式成立，且k为整数，得，
所以k的最小整数值为0.
【点睛】
结论点睛：函数的定义区间为，若，使得成立，则；
若，使得成立，则.




5．设函数.
(1)求的单调区间；
(2)当时，恒成立，求整数的最大值.
【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为；(2)2
【解析】【分析】
（1）求导，分别解不等式，可得；
（2）分离参数，将恒成立问题转化为函数的最值问题，通过二次求导可得导函数单调性，结合导函数的零点可得函数的单调区间，从而可得最值，然后可得.
(1)，由解得，由解得，
所以的单调增区间为，单调减区间为
(2)当时，
所以记，
则记
因为当时，，所以在上单调递增，
，所以存在，
记，则…①
所以当时，，即，此时单调递减，
当时，，即，此时单调递增
所以当时，由最小值…②
将①代入②可得
所以，因为a为整数，所以a的最大值为2.








6．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，对任意的恒成立，求满足条件的实数的最小整数值.
【答案】(1)(2)−3
【解析】【分析】
（1）求出在处的导数值，求出，即可得出切线方程；
（2）不等式化为对任意的恒成立即可，构造函数，
利用导数求出最大值即可得出.
(1)当时，，，
则，，所以切线方程为.
(2)因为对任意的恒成立，
即，当时，对任意的恒成立，
∵，，∴，
只需对任意的恒成立即可.
构造函数，，
∵，∴，且单调递增，
∵，，
∴一定存在唯一的，使得，即，，
且当时，，即；当时，，即.
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴，
所以b的最小整数值为−3.


7．已知函数，曲线在点处切线方程为.
(1)求实数a的值及函数的单调区间；
(2)若时，，求整数m的最大值.
【答案】(1)，单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0）(2)2
【解析】【分析】
（1）根据所给的条件，写出在 处的点斜式直线方程即可求出a；
（2）参数分离，构造函数，由函数的单调性即可求解.
(1)函数的定义域为（-∞，+∞），因 ， ，
在处的切线方程为： ，由己知得，
，所以；
由 得，由 得，
所以函数的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0）；
(2)时，不等式等价于，
令，则 ，
由（1）得在（0，+∞）上单调递增，
又因为，，所以在上有唯一零点 ，且 ，
当时， ，
当时，   ，
所以的最小值为，由 得
所以，由于，所以，
因为，所以m的最大值为2；
综上，，函数的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0），
m的最大值为2.






8．设函数， 为实数， 若有最大值为
(1)求的值；
(2)若，求实数的最小整数值.
【答案】(1)(2)1
【解析】【分析】
（1）求定义域，求导，得到在处取得极大值，也是最大值，进而列出方程，求出；
（2）参变分离后，利用隐零点得到在处取得极大值，也是最大值，
令，，求出最大值的范围，确定实数的最小整数值.
(1)，定义域为，，
当时，，当时，，
所以在处取得极大值，也是最大值，
所以，解得：；
(2)，即,
，令，定义域为，，
令，，则，
可以看出在单调递减，
又，，
由零点存在性定理可知：，使得，即，
当时，，当时，，
在处取得极大值，也是最大值，
，
，，
，
故存在，，使得，
所以当时，，当时，，
所以在上大于0，在上小于0，
所以在单调递增，在上单调递减，
且当时，恒成立，
所以在处取得极大值，也是最大值，其中，
，，令，
，当时，，故，
所以实数的最小整数值为1.
【点睛】
对于函数隐零点问题，要结合零点存在性定理得到隐零点的大致范围，然后对函数值进行变形，最后确定函数值的取值范围，确定参数的取值范围.
9．已知函数 ，为的导函数．
(1)证明：当时，函数在区内存在唯一的极值点，；
(2)若在上单调递减，求整数a的最小值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】【分析】
(1)求导，根据导函数的符号以及零点存在定理可以证明；
(2)求导后，参数分离，构造函数求最大值即可.
(1)当时， ， ，
，，令 ，
则 ，所以导函数 在区间单调递减，
又 ， ，
据零点存在定理可知， 存在唯一零点，使得 ，
所以当时， ，在区间上单调递增，
当]时， ，在区间上单调递减，
所以函数在区间内存在唯一的极值点，
又，所以；
(2)若在上单调递减，则 在上恒成立，
参变分离得 ，，令 ，，
即是求 在 时的最大值， ，
当时，   ，令 ，
则 ， 单调递增，
， ，
根据零点存在定理可知，存在唯一，
使得 ，
∴ 在上单调递减，在上单调递增，
，
， ， ，
根据零点存在定理可知，存在唯一，
使 ， ，
大致图像如下：

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，
， ∴，，∴；
综上，a的最小值为1.
【点睛】
本题的难点在第二问，参数分离后用导数求最大值时，
必须要用缩放法才能判断导函数的零点位置，可以先画出导函数的大致图像，
根据图像判断零点位置，再考虑用缩放法，精确求解.
10．已知，e为自然对数的底数．
(1)设在上的最小值为m，证明：；
(2)若恒成立，求最大整数a的值．（参考数据：，，）
【答案】(1)证明见解析(2)2
【解析】【分析】
（1）求导，设，，判断出在上单调递增，由零点存在定理得到，存在，使得，当时，单调递减；当时，单调递增求出的最小值，即可证明；
（2）先赋值求出最大整数，转化为证明不等式，
构造函数，证明出，进一步证明出，即可得解.
(1)由题可知．
设，，则，
故在上单调递增，又，，
所以存在，使得，即，即．
当时，，即，单调递减；当时，，
即，单调递增．
所以的最小值，
又是增函数且，所以．
(2)令x＝3，则，即，故．
（问题求最大整数a的值，可先猜后证，转化为不等式的证明，简化思维难度）
当a＝2时，可得不等式，则．
设，，则，当时，，当时，．
则在上单调递增，在上单调递减，因此．
故要证成立，只需证明成立，注意到，则，
若成立，则成立，故只需证明成立．
设，，则，当时，，
当时，．则在上单调递增，在上单调递减．
因此，所以不等式得证，即．
综上可知，整数a的最大值为2．
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围；
（4）利用导数证明不等式.