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山东省济宁市高新区2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷（五四学制）(word版含答案)
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这是一份山东省济宁市高新区2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷（五四学制）(word版含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省济宁市高新区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列根式中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）若代数式+有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1
3．（3分）矩形、菱形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．对角线互相平分
D．对角线垂直、平分且相等
4．（3分）若x1、x2是方程x2﹣5x+6＝0的两个解，则代数式（x1+1）（x2+1）的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
5．（3分）已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的一个根，则2022﹣m2+m的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2023 D．2025
6．（3分）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为（ ）
A．12×8﹣12x﹣8x+2x2＝77 B．12×8﹣12x﹣2×8x＝77
C．（12﹣x）（8﹣x）＝77 D．（8﹣x）（12﹣2x）＝77
7．（3分）有下列四种说法：其中说法正确的有（ ）
①两个菱形相似；
②两个矩形相似；
③两个平行四边形相似；
④两个正方形相似
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且DG＝2，DF＝10，＝，则AG的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（3分）如图，点P是△ABC的AC边上一点，连接BP，添加下列条件，不能判定△ABC∽△APB的是（ ）
A．∠C＝∠ABP B．∠ABC＝∠APB C．＝ D．＝
10．（3分）将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，）
二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为 ．
12．（3分）随着新冠疫情趋于缓和，口罩市场趋于饱和，某N95口罩每盒原价为200元，连续两次降价后每盒的售价为72元，则平均每次下降的百分率为 ．
13．（3分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是 cm．
14．（3分）如图，△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，设△ABC的面积为S1，△BEF的面积为S2，则S1：S2＝ ．
15．（3分）对于任意的正数a、b定义运算“★”为：a★b＝，则（3★2）×（8★12）的运算结果为 ．
三.解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）计算：（﹣）﹣1﹣+﹣（π﹣）0+|1﹣|．
17．（6分）（1）解方程：x2﹣6x+4＝0；
（2）解方程：2x（x﹣3）+（3﹣x）＝0．
18．（7分）已知：关于x的方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）若方程有一根小于3，求m的取值范围．
19．（6分）如图，已知△ABC的顶点的坐标分别为A（﹣4，6），B（﹣8，0），C（﹣2，2）．
（1）在第四象限画出△ABC关于原点O的位似△A'B'C'，要求新图形与原图形的位似比为1：2，并写出点C'的坐标；
（2）求△A'B'C'的面积．
20．（8分）如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，AE．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）从下列条件①∠BAC＝90°，②AE平分∠BAC，③AB＝AC中选择一个添加到题干中，使得四边形ADEF为菱形．我选的是 （写序号），并证明．
21．（11分）某超市销售一种衬衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出多少件衬衫？此时每天销售获利多少元？
（2）在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，问每件衬衫应降价多少元？
（3）该衬衫每天的销售获利能达到1300元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能．请说明理由．
22．（11分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）点Q运动多少秒时，△APQ的面积为5cm2；
（2）当t为何值时，△QAP与△ABC相似？
2021-2022学年山东省济宁市高新区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列根式中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念即可得出答案．
【解答】解：A选项，原式＝2，故该选项不符合题意；
B选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
C选项，原式＝2，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝2，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2．（3分）若代数式+有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，再根据分式的分母不为0列出不等式解答即可．
【解答】解：由题意可知：x≥0，x+1≠0，
∴x≥0．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
3．（3分）矩形、菱形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．对角线互相平分
D．对角线垂直、平分且相等
【分析】由矩形的性质和菱形的性质可直接求解．
【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，
∴矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
4．（3分）若x1、x2是方程x2﹣5x+6＝0的两个解，则代数式（x1+1）（x2+1）的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝5，x1x2＝6，再利用乘法公式展开得到（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝5，x1x2＝6，
所以（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝6+5+1＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
5．（3分）已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的一个根，则2022﹣m2+m的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2023 D．2025
【分析】把x＝m代入方程x2﹣x﹣3＝0得m2﹣m＝3，再把2021﹣m2+m变形为2021﹣（m2﹣m），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣3＝0得m2﹣m＝3，
所以m2﹣m＝3，
所以2022﹣m2+m＝2022﹣（m2﹣m）＝2022﹣3＝2019．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6．（3分）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为（ ）
A．12×8﹣12x﹣8x+2x2＝77 B．12×8﹣12x﹣2×8x＝77
C．（12﹣x）（8﹣x）＝77 D．（8﹣x）（12﹣2x）＝77
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【解答】解：∵道路的宽应为x米，
∴由题意得，（12﹣x）（8﹣x）＝77，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
7．（3分）有下列四种说法：其中说法正确的有（ ）
①两个菱形相似；
②两个矩形相似；
③两个平行四边形相似；
④两个正方形相似
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】直接利用相似图形的判定方法分别判断得出答案．
【解答】解：①两个菱形不一定相似，因为对应角不一定相等；
②两个矩形不一定相似，因为对应边不一定成比例；
③两个平行四边形不一定相似，因为形状不一定相同；
④两个正方形相似，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似多边形的判定，正确掌握判定方法是解题关键．
8．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且DG＝2，DF＝10，＝，则AG的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．依据平行线分线段成比例定理，即可得出AG的长．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
又∵DG＝2，DF＝10，＝，
∴＝，
∴AG＝4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
9．（3分）如图，点P是△ABC的AC边上一点，连接BP，添加下列条件，不能判定△ABC∽△APB的是（ ）
A．∠C＝∠ABP B．∠ABC＝∠APB C．＝ D．＝
【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
【解答】解：A、∵∠A＝∠A，∠C＝∠ABP，
∴△ABC∽△APB，故本选项错误；
B、∵∠A＝∠A，∠ABC＝∠APB，
∴△ABC∽△APB，故本选项错误；
C、∵∠A＝∠A，，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
D、根据和∠A＝∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了相似的三角形的判定定理的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键．
10．（3分）将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，）
【分析】首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM＝，MO＝3，进而得出答案．
【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，
过点C作CM⊥x轴于点M，
∵∠EAO+∠AOE＝90°，∠AOE+∠MOC＝90°，
∴∠EAO＝∠COM，
又∵∠AEO＝∠CMO＝90°，
∴△AEO∽△OMC，
∴，
∵∠BAN+∠OAN＝90°，∠EAO+∠OAN＝90°，
∴∠BAN＝∠EAO＝∠COM，
在△ABN和△OCM中，
，
∴△ABN≌△OCM（AAS），
∴BN＝CM，
∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，
∴BN＝，
∴CM＝，
∴，
∴MO＝3，
∴点C的坐标是：（3，）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识，正确得出CM的长是解题关键．
二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为 ．
【分析】根据菱形的性质和勾股定理，可以求得AD的长，然后根据等面积法即可求得OE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，
∴AD＝＝＝5，
又∵OE⊥AD，
∴，
∴，
解得OE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确等面积法，利用数形结合的思想解答．
12．（3分）随着新冠疫情趋于缓和，口罩市场趋于饱和，某N95口罩每盒原价为200元，连续两次降价后每盒的售价为72元，则平均每次下降的百分率为 40% ．
【分析】设平均每次下降的百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次下降的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设平均每次下降的百分率为x，
依题意得：200（1﹣x）2＝72，
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝1.6（不合题意，舍去），
∴平均每次下降的百分率为40%．
故答案为：40%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（3分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是 4 cm．
【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
【解答】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形的性质得到：＝．
解得x＝4．
即蜡烛火焰的高度是4cm．
故答案为：4．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
14．（3分）如图，△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，设△ABC的面积为S1，△BEF的面积为S2，则S1：S2＝ 4：1 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形用S△ABC表示出△ABD、△ACD、△BDE，△CDE的面积，然后表示出△BCE的面积，再表示出△BEF的面积，即可得解．
【解答】解：∵点D、E分别为BC、AD的中点，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，
S△BDE＝S△ABD＝S△ABC，
S△CDE＝S△ACD＝S△ABC，
∴S△BCE＝S△BDE+S△CDE＝S△ABC+S△ABC＝S△ABC，
∵F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×S△ABC＝S△ABC，
∴S△BEF：S△ABC＝1：4，
∴S1：S2＝4：1
故答案为：4：1．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，是此类题目常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．
15．（3分）对于任意的正数a、b定义运算“★”为：a★b＝，则（3★2）×（8★12）的运算结果为 2 ．
【分析】根据题意选择合适的对应法则．因为3＞2，所以选择第二种对应法则；8＜12，选第一种对应法则．
【解答】解：∵3★2＝，8★12＝＝
∴（3★2）×（8★12）＝（）（）
＝2（）（）
＝2．
故答案为2．
【点评】主要考查二次根式的乘法运算及化简．定义新运算题型能很好的考查学生对新情景知识的学习能力．读懂题意，按照定义是关键．
三.解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）计算：（﹣）﹣1﹣+﹣（π﹣）0+|1﹣|．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣3﹣2+﹣1+﹣1
＝﹣5．
【点评】此题考查了分母有理化，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（6分）（1）解方程：x2﹣6x+4＝0；
（2）解方程：2x（x﹣3）+（3﹣x）＝0．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣3）2＝5，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣6x＝﹣4，
x2﹣6x+9＝5，
（x﹣3）2＝5，
x﹣3＝±，
所以x1＝3+，x2＝3﹣；
（2）2x（x﹣3）+（3﹣x）＝0．
2x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2x﹣1）＝0，
x﹣3＝0或2x﹣1＝0，
所以x1＝3，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
18．（7分）已知：关于x的方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）若方程有一根小于3，求m的取值范围．
【分析】（1）先求出△，再判断出△不小于0，即可得出结论；
（2）先求出方程的两根，由一根小于3建立不等式求解，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵关于x的方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣3）2﹣4×1•（﹣3m）＝m2+6m+9＝（m+3）2，
∵（m+3）2≥0，
∴△≥0，
∴关于x的方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0总有实数根；
（2）解：由（1）知，△＝（m+3）2，
∴x＝＝＝，
∴x1＝3，x2＝﹣m，
∵方程有一根小于3，
∴﹣m＜3，
∴m＞﹣3，
即m的取值范围为m＞﹣3．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的求根公式，解不等式，建立不等式是解本题的关键．
19．（6分）如图，已知△ABC的顶点的坐标分别为A（﹣4，6），B（﹣8，0），C（﹣2，2）．
（1）在第四象限画出△ABC关于原点O的位似△A'B'C'，要求新图形与原图形的位似比为1：2，并写出点C'的坐标；
（2）求△A'B'C'的面积．
【分析】（1）把A、B、C点的横纵坐标都乘以﹣得到A′、B′、C′的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A'B'C'的面积．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'为所作，点C'的坐标为（1，﹣1）；
（2）△A'B'C'的面积＝3×3﹣×2×1﹣×2×3﹣×3×1＝3.5．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．
20．（8分）如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，AE．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）从下列条件①∠BAC＝90°，②AE平分∠BAC，③AB＝AC中选择一个添加到题干中，使得四边形ADEF为菱形．我选的是 ②、① （写序号），并证明．
【分析】（1）根据三角形中位线定理可证；
（2）若选②AE平分∠BAC，在（1）中ADEF为平行四边形基础上，再证一组邻边相等即证明AF＝EF；若选③AB＝AC：根据三角形中位线定理即可证明．
【解答】（1）证明：已知D、E、F为AB、BC、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，
∴DE∥AC，DE＝AC＝AF．
即DE∥AF，DE＝AF，
∴四边形ADEF为平行四边形．
（2）解：选②AE平分∠BAC证明①四边形ADEF为菱形，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠FAE，
又∵ADEF为平行四边形，
∴EF∥DA，
∴∠DAE＝∠AEF，
∴∠FAE＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴平行四边形ADEF为菱形．
选③AB＝AC证明①四边形ADEF为菱形，
∵EF∥AB，EF＝AB，DE∥AC，DE＝AC，
又∵AB＝AC，
∴EF＝DE，
∴平行四边形ADEF为菱形．
故答案为：②、①．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，菱形的判定定理．认真分析图中的几何关系，熟练掌握平行四边形以及菱形的判定定理是解题关键．
21．（11分）某超市销售一种衬衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出多少件衬衫？此时每天销售获利多少元？
（2）在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，问每件衬衫应降价多少元？
（3）该衬衫每天的销售获利能达到1300元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能．请说明理由．
【分析】（1）利用日销售量＝20+2×每件衬衫降低的价格，可求出日销售量，再利用每天销售该种衬衫获得的利润＝每件盈利×日销售量，即可求出每天销售该种衬衫获得的利润；
（2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可售出（20+2x）件，利用每天销售该种衬衫获得的利润＝每件盈利×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（3）该衬衫每天的销售获利不能达到1300元，设每件衬衫应降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，每天可售出（20+2y）件，利用每天销售该种衬衫获得的利润＝每件盈利×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，可得出该方程无实数根，即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元．
【解答】解：（1）20+2×4＝28（件），
（40﹣4）×28＝1008（元）．
答：均每天可售出28件衬衫，此时每天销售获利1008元．
（2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可售出（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵每件盈利不少于25元，
∴x＝10．
答：每件衬衫应降价10元．
（3）该衬衫每天的销售获利不能达到1300元，理由如下：
设每件衬衫应降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，每天可售出（20+2y）件，
依题意得：（40﹣y）（20+2y）＝1300，
整理得：y2﹣30y+250＝0．
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0，
∴该方程无实数根，
即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混用运算以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（11分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）点Q运动多少秒时，△APQ的面积为5cm2；
（2）当t为何值时，△QAP与△ABC相似？
【分析】（1）当运动时间为ts时，AP＝2tcm，AQ＝（6﹣t）cm，利用三角形的面积计算公式，结合△QAP的面积等于5cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值；
（2）由题意可设AP＝2tcm，DQ＝tcm，又由AB＝12cm，AD＝6cm，即可求得AQ的值，然后分别从①当＝时，△AQP∽△BCA与②当时，△AQP∽△BAC，然后利用方程即可求得t的值．
【解答】解：（1）当运动时间为ts时，AP＝2tcm，AQ＝（6﹣t）cm，
依题意得：×2t（6﹣t）＝5，
整理得：t2﹣6t+5＝0，
解得：t1＝1，t2＝5．
答：当t为1或5时，△QAP的面积等于5cm2；
（2）∵AP＝2tcm，DQ＝tcm，AB＝12cm，AD＝6cm，
∴AQ＝（6﹣t）cm，
∵∠A＝∠A，
∴①当＝时，△AQP∽△BCA，
∴＝，
解得：t＝3；
②当时，△AQP∽△BAC，
∴＝，
解得：t＝1.2．
∴当t＝3或1.2时，△APQ与△ABC相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2021-2022学年山东省济宁市高新区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列根式中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）若代数式+有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1
3．（3分）矩形、菱形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．对角线互相平分
D．对角线垂直、平分且相等
4．（3分）若x1、x2是方程x2﹣5x+6＝0的两个解，则代数式（x1+1）（x2+1）的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
5．（3分）已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的一个根，则2022﹣m2+m的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2023 D．2025
6．（3分）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为（ ）
A．12×8﹣12x﹣8x+2x2＝77 B．12×8﹣12x﹣2×8x＝77
C．（12﹣x）（8﹣x）＝77 D．（8﹣x）（12﹣2x）＝77
7．（3分）有下列四种说法：其中说法正确的有（ ）
①两个菱形相似；
②两个矩形相似；
③两个平行四边形相似；
④两个正方形相似
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且DG＝2，DF＝10，＝，则AG的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（3分）如图，点P是△ABC的AC边上一点，连接BP，添加下列条件，不能判定△ABC∽△APB的是（ ）
A．∠C＝∠ABP B．∠ABC＝∠APB C．＝ D．＝
10．（3分）将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，）
二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为 ．
12．（3分）随着新冠疫情趋于缓和，口罩市场趋于饱和，某N95口罩每盒原价为200元，连续两次降价后每盒的售价为72元，则平均每次下降的百分率为 ．
13．（3分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是 cm．
14．（3分）如图，△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，设△ABC的面积为S1，△BEF的面积为S2，则S1：S2＝ ．
15．（3分）对于任意的正数a、b定义运算“★”为：a★b＝，则（3★2）×（8★12）的运算结果为 ．
三.解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）计算：（﹣）﹣1﹣+﹣（π﹣）0+|1﹣|．
17．（6分）（1）解方程：x2﹣6x+4＝0；
（2）解方程：2x（x﹣3）+（3﹣x）＝0．
18．（7分）已知：关于x的方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）若方程有一根小于3，求m的取值范围．
19．（6分）如图，已知△ABC的顶点的坐标分别为A（﹣4，6），B（﹣8，0），C（﹣2，2）．
（1）在第四象限画出△ABC关于原点O的位似△A'B'C'，要求新图形与原图形的位似比为1：2，并写出点C'的坐标；
（2）求△A'B'C'的面积．
20．（8分）如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，AE．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）从下列条件①∠BAC＝90°，②AE平分∠BAC，③AB＝AC中选择一个添加到题干中，使得四边形ADEF为菱形．我选的是 （写序号），并证明．
21．（11分）某超市销售一种衬衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出多少件衬衫？此时每天销售获利多少元？
（2）在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，问每件衬衫应降价多少元？
（3）该衬衫每天的销售获利能达到1300元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能．请说明理由．
22．（11分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）点Q运动多少秒时，△APQ的面积为5cm2；
（2）当t为何值时，△QAP与△ABC相似？
2021-2022学年山东省济宁市高新区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列根式中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念即可得出答案．
【解答】解：A选项，原式＝2，故该选项不符合题意；
B选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
C选项，原式＝2，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝2，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2．（3分）若代数式+有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，再根据分式的分母不为0列出不等式解答即可．
【解答】解：由题意可知：x≥0，x+1≠0，
∴x≥0．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
3．（3分）矩形、菱形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．对角线互相平分
D．对角线垂直、平分且相等
【分析】由矩形的性质和菱形的性质可直接求解．
【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，
∴矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
4．（3分）若x1、x2是方程x2﹣5x+6＝0的两个解，则代数式（x1+1）（x2+1）的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝5，x1x2＝6，再利用乘法公式展开得到（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝5，x1x2＝6，
所以（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝6+5+1＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
5．（3分）已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的一个根，则2022﹣m2+m的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2023 D．2025
【分析】把x＝m代入方程x2﹣x﹣3＝0得m2﹣m＝3，再把2021﹣m2+m变形为2021﹣（m2﹣m），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣3＝0得m2﹣m＝3，
所以m2﹣m＝3，
所以2022﹣m2+m＝2022﹣（m2﹣m）＝2022﹣3＝2019．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6．（3分）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为（ ）
A．12×8﹣12x﹣8x+2x2＝77 B．12×8﹣12x﹣2×8x＝77
C．（12﹣x）（8﹣x）＝77 D．（8﹣x）（12﹣2x）＝77
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【解答】解：∵道路的宽应为x米，
∴由题意得，（12﹣x）（8﹣x）＝77，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
7．（3分）有下列四种说法：其中说法正确的有（ ）
①两个菱形相似；
②两个矩形相似；
③两个平行四边形相似；
④两个正方形相似
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】直接利用相似图形的判定方法分别判断得出答案．
【解答】解：①两个菱形不一定相似，因为对应角不一定相等；
②两个矩形不一定相似，因为对应边不一定成比例；
③两个平行四边形不一定相似，因为形状不一定相同；
④两个正方形相似，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似多边形的判定，正确掌握判定方法是解题关键．
8．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且DG＝2，DF＝10，＝，则AG的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．依据平行线分线段成比例定理，即可得出AG的长．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
又∵DG＝2，DF＝10，＝，
∴＝，
∴AG＝4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
9．（3分）如图，点P是△ABC的AC边上一点，连接BP，添加下列条件，不能判定△ABC∽△APB的是（ ）
A．∠C＝∠ABP B．∠ABC＝∠APB C．＝ D．＝
【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
【解答】解：A、∵∠A＝∠A，∠C＝∠ABP，
∴△ABC∽△APB，故本选项错误；
B、∵∠A＝∠A，∠ABC＝∠APB，
∴△ABC∽△APB，故本选项错误；
C、∵∠A＝∠A，，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
D、根据和∠A＝∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了相似的三角形的判定定理的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键．
10．（3分）将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，）
【分析】首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM＝，MO＝3，进而得出答案．
【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，
过点C作CM⊥x轴于点M，
∵∠EAO+∠AOE＝90°，∠AOE+∠MOC＝90°，
∴∠EAO＝∠COM，
又∵∠AEO＝∠CMO＝90°，
∴△AEO∽△OMC，
∴，
∵∠BAN+∠OAN＝90°，∠EAO+∠OAN＝90°，
∴∠BAN＝∠EAO＝∠COM，
在△ABN和△OCM中，
，
∴△ABN≌△OCM（AAS），
∴BN＝CM，
∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，
∴BN＝，
∴CM＝，
∴，
∴MO＝3，
∴点C的坐标是：（3，）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识，正确得出CM的长是解题关键．
二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为 ．
【分析】根据菱形的性质和勾股定理，可以求得AD的长，然后根据等面积法即可求得OE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，
∴AD＝＝＝5，
又∵OE⊥AD，
∴，
∴，
解得OE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确等面积法，利用数形结合的思想解答．
12．（3分）随着新冠疫情趋于缓和，口罩市场趋于饱和，某N95口罩每盒原价为200元，连续两次降价后每盒的售价为72元，则平均每次下降的百分率为 40% ．
【分析】设平均每次下降的百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次下降的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设平均每次下降的百分率为x，
依题意得：200（1﹣x）2＝72，
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝1.6（不合题意，舍去），
∴平均每次下降的百分率为40%．
故答案为：40%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（3分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是 4 cm．
【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
【解答】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形的性质得到：＝．
解得x＝4．
即蜡烛火焰的高度是4cm．
故答案为：4．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
14．（3分）如图，△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，设△ABC的面积为S1，△BEF的面积为S2，则S1：S2＝ 4：1 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形用S△ABC表示出△ABD、△ACD、△BDE，△CDE的面积，然后表示出△BCE的面积，再表示出△BEF的面积，即可得解．
【解答】解：∵点D、E分别为BC、AD的中点，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，
S△BDE＝S△ABD＝S△ABC，
S△CDE＝S△ACD＝S△ABC，
∴S△BCE＝S△BDE+S△CDE＝S△ABC+S△ABC＝S△ABC，
∵F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×S△ABC＝S△ABC，
∴S△BEF：S△ABC＝1：4，
∴S1：S2＝4：1
故答案为：4：1．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，是此类题目常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．
15．（3分）对于任意的正数a、b定义运算“★”为：a★b＝，则（3★2）×（8★12）的运算结果为 2 ．
【分析】根据题意选择合适的对应法则．因为3＞2，所以选择第二种对应法则；8＜12，选第一种对应法则．
【解答】解：∵3★2＝，8★12＝＝
∴（3★2）×（8★12）＝（）（）
＝2（）（）
＝2．
故答案为2．
【点评】主要考查二次根式的乘法运算及化简．定义新运算题型能很好的考查学生对新情景知识的学习能力．读懂题意，按照定义是关键．
三.解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）计算：（﹣）﹣1﹣+﹣（π﹣）0+|1﹣|．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣3﹣2+﹣1+﹣1
＝﹣5．
【点评】此题考查了分母有理化，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（6分）（1）解方程：x2﹣6x+4＝0；
（2）解方程：2x（x﹣3）+（3﹣x）＝0．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣3）2＝5，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣6x＝﹣4，
x2﹣6x+9＝5，
（x﹣3）2＝5，
x﹣3＝±，
所以x1＝3+，x2＝3﹣；
（2）2x（x﹣3）+（3﹣x）＝0．
2x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2x﹣1）＝0，
x﹣3＝0或2x﹣1＝0，
所以x1＝3，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
18．（7分）已知：关于x的方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）若方程有一根小于3，求m的取值范围．
【分析】（1）先求出△，再判断出△不小于0，即可得出结论；
（2）先求出方程的两根，由一根小于3建立不等式求解，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵关于x的方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣3）2﹣4×1•（﹣3m）＝m2+6m+9＝（m+3）2，
∵（m+3）2≥0，
∴△≥0，
∴关于x的方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0总有实数根；
（2）解：由（1）知，△＝（m+3）2，
∴x＝＝＝，
∴x1＝3，x2＝﹣m，
∵方程有一根小于3，
∴﹣m＜3，
∴m＞﹣3，
即m的取值范围为m＞﹣3．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的求根公式，解不等式，建立不等式是解本题的关键．
19．（6分）如图，已知△ABC的顶点的坐标分别为A（﹣4，6），B（﹣8，0），C（﹣2，2）．
（1）在第四象限画出△ABC关于原点O的位似△A'B'C'，要求新图形与原图形的位似比为1：2，并写出点C'的坐标；
（2）求△A'B'C'的面积．
【分析】（1）把A、B、C点的横纵坐标都乘以﹣得到A′、B′、C′的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A'B'C'的面积．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'为所作，点C'的坐标为（1，﹣1）；
（2）△A'B'C'的面积＝3×3﹣×2×1﹣×2×3﹣×3×1＝3.5．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．
20．（8分）如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，AE．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）从下列条件①∠BAC＝90°，②AE平分∠BAC，③AB＝AC中选择一个添加到题干中，使得四边形ADEF为菱形．我选的是 ②、① （写序号），并证明．
【分析】（1）根据三角形中位线定理可证；
（2）若选②AE平分∠BAC，在（1）中ADEF为平行四边形基础上，再证一组邻边相等即证明AF＝EF；若选③AB＝AC：根据三角形中位线定理即可证明．
【解答】（1）证明：已知D、E、F为AB、BC、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，
∴DE∥AC，DE＝AC＝AF．
即DE∥AF，DE＝AF，
∴四边形ADEF为平行四边形．
（2）解：选②AE平分∠BAC证明①四边形ADEF为菱形，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠FAE，
又∵ADEF为平行四边形，
∴EF∥DA，
∴∠DAE＝∠AEF，
∴∠FAE＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴平行四边形ADEF为菱形．
选③AB＝AC证明①四边形ADEF为菱形，
∵EF∥AB，EF＝AB，DE∥AC，DE＝AC，
又∵AB＝AC，
∴EF＝DE，
∴平行四边形ADEF为菱形．
故答案为：②、①．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，菱形的判定定理．认真分析图中的几何关系，熟练掌握平行四边形以及菱形的判定定理是解题关键．
21．（11分）某超市销售一种衬衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出多少件衬衫？此时每天销售获利多少元？
（2）在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，问每件衬衫应降价多少元？
（3）该衬衫每天的销售获利能达到1300元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能．请说明理由．
【分析】（1）利用日销售量＝20+2×每件衬衫降低的价格，可求出日销售量，再利用每天销售该种衬衫获得的利润＝每件盈利×日销售量，即可求出每天销售该种衬衫获得的利润；
（2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可售出（20+2x）件，利用每天销售该种衬衫获得的利润＝每件盈利×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（3）该衬衫每天的销售获利不能达到1300元，设每件衬衫应降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，每天可售出（20+2y）件，利用每天销售该种衬衫获得的利润＝每件盈利×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，可得出该方程无实数根，即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元．
【解答】解：（1）20+2×4＝28（件），
（40﹣4）×28＝1008（元）．
答：均每天可售出28件衬衫，此时每天销售获利1008元．
（2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可售出（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵每件盈利不少于25元，
∴x＝10．
答：每件衬衫应降价10元．
（3）该衬衫每天的销售获利不能达到1300元，理由如下：
设每件衬衫应降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，每天可售出（20+2y）件，
依题意得：（40﹣y）（20+2y）＝1300，
整理得：y2﹣30y+250＝0．
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0，
∴该方程无实数根，
即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混用运算以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（11分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）点Q运动多少秒时，△APQ的面积为5cm2；
（2）当t为何值时，△QAP与△ABC相似？
【分析】（1）当运动时间为ts时，AP＝2tcm，AQ＝（6﹣t）cm，利用三角形的面积计算公式，结合△QAP的面积等于5cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值；
（2）由题意可设AP＝2tcm，DQ＝tcm，又由AB＝12cm，AD＝6cm，即可求得AQ的值，然后分别从①当＝时，△AQP∽△BCA与②当时，△AQP∽△BAC，然后利用方程即可求得t的值．
【解答】解：（1）当运动时间为ts时，AP＝2tcm，AQ＝（6﹣t）cm，
依题意得：×2t（6﹣t）＝5，
整理得：t2﹣6t+5＝0，
解得：t1＝1，t2＝5．
答：当t为1或5时，△QAP的面积等于5cm2；
（2）∵AP＝2tcm，DQ＝tcm，AB＝12cm，AD＝6cm，
∴AQ＝（6﹣t）cm，
∵∠A＝∠A，
∴①当＝时，△AQP∽△BCA，
∴＝，
解得：t＝3；
②当时，△AQP∽△BAC，
∴＝，
解得：t＝1.2．
∴当t＝3或1.2时，△APQ与△ABC相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
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