浙江省台州市仙居县2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题(word版含答案)

这是一份浙江省台州市仙居县2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题(word版含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

浙江省台州市仙居县2021-2022学年八年级下学期期末教学
质量监测数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题有且只有一个答案正确，请在答题卷上填涂正确答案的代号，选错、多选和不选都不得分.）
1．（4分）下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）下列四边形中不一定是轴对称图形的是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
3．（4分）下列长度（单位：cm）的四组线段中，能组成直角三角形的是（　　）
A．2，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，5，6
4．（4分）下列二次根式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．4﹣3＝1 B．+＝ C．÷＝2 D．（﹣）2＝2
6．（4分）某商场试销一种新款衬衫，一周内各种尺码衬衫的销售情况如下表：
尺码
38
39
40
41
42
43
数量/件
18
25
30
52
35
8
商场经理要确定哪种尺码最畅销，则对她来说，最有意义的统计量是（　　）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
7．（4分）下列各图的直线或曲线中，不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，像这样，经过不相邻两个顶点的两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．对于如图的筝形ABCD，可以证明它具有的性质是（　　）

A．各对邻边分别相等 B．对角线互相平分
C．两组对角分别相等 D．对角线互相垂直
9．（4分）已知AB＝AD，用没有刻度的直尺和圆规作菱形ABCD，下面的作法中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（4分）甲车从服务区A出发，一段时间后乙车也从服务区A出发，它们沿着同一段笔直的高速公路同向匀速行驶，速度分别为v甲，v乙（v甲＜v乙）．乙车在B处超过甲车，再行驶一段路程后到达服务区C．乙车在服务区C停车休息一会儿后，甲车也到达服务区C．设甲车从服务区A出发后行驶时间为x（单位：min），甲、乙两车在这段公路上的距离为y（单位：km），则下面描述这段时间中y随x变化规律的图象中，最为合理的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分.在答题卷的相应空格上填上正确的答案.）
11．（5分）在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　．
12．（5分）已知正比例函数y＝kx，y随x增大而减少，则k　 　0．
13．（5分）木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为100cm，宽为80cm，对角线为130cm，则做出的这个桌面 　 　．（填“合格”或“不合格”）
14．（5分）甲、乙两名队员参加10次射击训练，他们的成绩的折线统计图如图，在这10次射击中，成绩更稳定的是 　 　．（填“甲”或“乙”）

15．（5分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若∠COB＝120°，AB＝6，则对角线BD＝　 　．

16．（5分）如图，正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交边BC于点F．则：
（1）则DE　 　EF（填“＞”、“＜”或“＝”）；
（2）线段AE和BF的数量关系是 　 　．

三、解答题（本题有8小题，共80分.第17～20题每题8分，第21题10分，第22～23题每题12分，第24题14分）
17．（8分）计算：×﹣．
18．（8分）如图，直线y＝x+1和y＝ax+4交于点A（1，m）．
（1）求m的值．
（2）写出不等式x+1＜ax+4的解集．

19．（8分）如图，一架梯子AB长5m，斜靠在一面竖直的墙上．若要使梯子顶端离地面的竖直高度AC为4.8m，求此时梯子底端离墙的距离BC．

20．（8分）已知一次函数的图象经过点A（﹣3，4），B（1，﹣2）两点．
（1）求这个一次函数的解析式．
（2）当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围．
21．（10分）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形．
（2）若四边形ABCD的对角线互相垂直且它们的乘积为48，求四边形EFGH的面积．

22．（12分）杨梅销售公司在向果农收购相同品种“东魁”杨梅时，按照杨梅单果质量（单位：g）的整体分布情况，确定整批杨梅的等级，并按照不同的等级确定不同的收购价．果农老张和老王各送来一批杨梅，收购员小李在他们送来的杨梅中分别随机抽检了100颗，秤出质量（单位：g），并把收集到的数据整理成下表：
杨梅单果质量（g）
二等
（15≤x＜20）
一等
（20≤x＜25）
优等
（25≤x＜30）
特优
（30≤x＜35）
组中值
17.5
22.5
27.5
32.5
老张家杨梅数量（个）
20
32
26
22
老王家杨梅数量（个）
14
26
36
24
（1）若用扇形图描述老王家各个等级杨梅的比例，其表示特优杨梅的扇形的圆心角是 　 　°
（2）从杨梅单果质量的平均数看，你认为老张家杨梅的收购价与老王家杨梅的收购价应该相同吗？请说明理由．
（3）结果，收购员小李给老张家杨梅定的收购价比老王家的杨梅收购价低一个等级，你能用统计知识解释小李这样做的合理性吗？
23．（12分）小王准备把牛奶加热后饮用，他先在锅中加水，再从冰箱冷藏室中拿出一杯牛奶浸入水中，用煤气灶缓慢加热．在这个过程中，他每隔10s测量一次水温和牛奶温度，获得数据如下表：
时间（s）
0
10
20
30
40
50
…
锅中水的温度（℃）
10
14
18
22
26
30
…
杯中牛奶的温度（℃）
6
7
8
10
12
14
…
（1）水在沸腾前，其温度是加热时间的 　 　函数，温度每秒钟升高 　 　℃．
（2）求牛奶温度y（单位：℃）与加热时间x（单位：s）之间的函数关系式．
（3）标准大气压下，水的沸点是100℃，水沸腾后温度保持不变．
①加热时间是多少时，水与牛奶的温度差最大？
②温度太高，会造成牛奶中蛋白质等营养成分损失，加热到60℃时饮用最佳，此时，水温是多少？请通过计算说明理由．

24．（14分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，O是对角线BD的中点．过O点的直线与矩形的一组对边AB，CD分别相交于点F和点E．B'与B关于直线EF对称，连接BE，DB'，EB'，OB'．
（1）判断△ODB'的形状，并说明理由．
（2）求证：DB'∥OE．
（3）若四边形OEB'D是平行四边形，求线段EF的长．



浙江省台州市仙居县2021-2022学年八年级下学期期末教学
质量监测数学试题
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题有且只有一个答案正确，请在答题卷上填涂正确答案的代号，选错、多选和不选都不得分.）
1．（4分）下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．
【解答】解：A、＝＝，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、＝2，故C不符合题意；
D、＝2，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2．（4分）下列四边形中不一定是轴对称图形的是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【分析】根据轴对称图形的概念逐一判断即可．
【解答】解：A．平行四边形不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．菱形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．矩形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．正方形是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
3．（4分）下列长度（单位：cm）的四组线段中，能组成直角三角形的是（　　）
A．2，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，5，6
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
【解答】解：A、22+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、22+32≠52，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．（4分）下列二次根式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的是同类二次根式，即可解答．
【解答】解：A、与不能合并，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、＝3，与不能合并，故C不符合题意；
D、＝2，与能合并，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同类二次根式，先把每一个二次根式化成最简二次根式是解题的关键．
5．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．4﹣3＝1 B．+＝ C．÷＝2 D．（﹣）2＝2
【分析】由合并同类二次根式的法则，二次根式的乘方，除法法则逐项判断．
【解答】解：4﹣3＝，故A错误，不符合题意；
与不是同类二次根式，不能合并，故B错误，不符合题意；
÷＝，故C错误，不符合题意；
（﹣）2＝2，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
6．（4分）某商场试销一种新款衬衫，一周内各种尺码衬衫的销售情况如下表：
尺码
38
39
40
41
42
43
数量/件
18
25
30
52
35
8
商场经理要确定哪种尺码最畅销，则对她来说，最有意义的统计量是（　　）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
【分析】商场经理要了解哪种型号最畅销，所最关心的即为众数．
【解答】解：根据题意知：对商场经理来说，最有意义的是各种尺码的衬衫的销售数量，即众数．
故选：A．
【点评】本题主要考查数据集中趋势中的平均数、众数、中位数、方差在实际问题中的正确应用．
7．（4分）下列各图的直线或曲线中，不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数判断即可．
【解答】解：A选项，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，是函数，故该选项不符合题意；
B选项，对于x的每一个确定的值，y有可能有2个值与其对应，不是函数，故该选项符合题意；
C选项，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，是函数，故该选项不符合题意；
D选项，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，是函数，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了函数的概念，掌握设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数是解题的关键．
8．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，像这样，经过不相邻两个顶点的两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．对于如图的筝形ABCD，可以证明它具有的性质是（　　）

A．各对邻边分别相等 B．对角线互相平分
C．两组对角分别相等 D．对角线互相垂直
【分析】根据线段的垂直平分线的定义即可判定AC垂直平分线段BD．进而可以解决问题．
【解答】解：∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分线段BD．
∴筝形的AC⊥BD或AC垂直平分线段BD．
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9．（4分）已知AB＝AD，用没有刻度的直尺和圆规作菱形ABCD，下面的作法中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据菱形的定义一一判断即可．
【解答】解：由作图可知，选项C中，四边形ABCD是菱形（理由是对角线互相平分且垂直）．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（4分）甲车从服务区A出发，一段时间后乙车也从服务区A出发，它们沿着同一段笔直的高速公路同向匀速行驶，速度分别为v甲，v乙（v甲＜v乙）．乙车在B处超过甲车，再行驶一段路程后到达服务区C．乙车在服务区C停车休息一会儿后，甲车也到达服务区C．设甲车从服务区A出发后行驶时间为x（单位：min），甲、乙两车在这段公路上的距离为y（单位：km），则下面描述这段时间中y随x变化规律的图象中，最为合理的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意和各个选项中的函数图象，可以判断哪个函数图象可以表达题目中的运动过程，从而可以解答本题．
【解答】解：甲车从服务区A出发，一段时间后乙车也从服务区A出发，说明开始时两车距离由0开始增加，故选项A、B不合题意；
它们沿着同一段笔直的高速公路同向匀速行驶，速度分别为v甲，v乙（v甲＜v乙）．乙车在B处超过甲车，再行驶一段路程后到达服务区C．乙车在服务区C停车休息一会儿后，甲车也到达服务区C，这个过程中两车距离开始缩小，乙车追上甲车时两车距离为0，接着两车距离开始增加，当乙车到达服务区C后两车距离缩小，直到甲车也到达服务区C时，两车距离为0，故选项C符合题意，选项D不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分.在答题卷的相应空格上填上正确的答案.）
11．（5分）在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥2　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：∵x﹣2≥0，
∴x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12．（5分）已知正比例函数y＝kx，y随x增大而减少，则k　＜　0．
【分析】根据正比例函数的性质解答即可．
【解答】解：若正比例函数y＝kx，y随x增大而减少，则k＜0．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了正比例函数，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
13．（5分）木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为100cm，宽为80cm，对角线为130cm，则做出的这个桌面 　不合格　．（填“合格”或“不合格”）
【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格．
【解答】解：不合格，
理由：∵802+1002＝16400≠1302，
即：AD2+DC2≠AC2，
∴∠D≠90°，
∴四边形ABCD不是矩形，
∴这个桌面不合格．
故答案为：不合格．

【点评】本题考查的是勾股定理逆定理在实际中的应用，以及矩形的判定，关键是熟练掌握勾股定理逆定理与矩形的判定方法；勾股定理逆定理：在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形；矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
14．（5分）甲、乙两名队员参加10次射击训练，他们的成绩的折线统计图如图，在这10次射击中，成绩更稳定的是 　乙　．（填“甲”或“乙”）

【分析】利用折线统计图可判断甲队员的成绩波动较大，然后根据方差的意义可得到甲乙的方差的大小．
【解答】解：由折线统计图得甲队员的成绩波动较大，
所以S甲2＜S乙2．
故答案为：乙．
【点评】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了方差的意义．
15．（5分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若∠COB＝120°，AB＝6，则对角线BD＝　12　．

【分析】根据矩形性质求出BD＝2OB，OA＝OB，求出∠AOB＝60°，得出等边△AOB，求出OB＝AB，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2OB，AC＝2OA，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB＝AB＝6，
∴BD＝2OB＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形性质的应用，注意：矩形的对角线相等且互相平分．
16．（5分）如图，正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交边BC于点F．则：
（1）则DE　＝　EF（填“＞”、“＜”或“＝”）；
（2）线段AE和BF的数量关系是 　BF＝AE　．

【分析】（1）由“SAS”可证△BAE≌△DAE，可得DE＝BE，∠ADE＝∠ABE，由余角的性质和四边形内角和定理可得∠EBF＝∠EFB，可得BE＝EF＝DE；
（2）先证四边形GEHB是矩形，可得BH＝GE，由等腰三角形的性质BF＝2BH＝2GE，由等腰直角三角形的性质可得AE＝GE，即可求解．
【解答】解：（1）如图，连接BE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴DE＝BE，∠ADE＝∠ABE，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠EBC＝∠EDC，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴∠EDC+∠EFC＝180°，
∵∠EFC+∠EFB＝180°，
∴∠EFB＝∠EDC，
∴∠EBF＝∠EFB，
∴BE＝EF，
∴DE＝EF；
故答案为：＝；
（2）如图，过点E作EH⊥BF于H，EG⊥AB于G，

∵EH⊥BF，EG⊥AB，∠ABC＝90°，
∴四边形GEHB是矩形，
∴BH＝GE，
∵BE＝EF，EH⊥BF，
∴BF＝2BH＝2GE，
∵∠BAC＝45°，GE⊥AB，
∴∠GAE＝∠AEG＝45°，
∴AG＝GE，
∴AE＝GE，
∴BF＝AE，
故答案为：BF＝AE．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，共80分.第17～20题每题8分，第21题10分，第22～23题每题12分，第24题14分）
17．（8分）计算：×﹣．
【分析】原式利用二次根式乘法法则变形，化简后合并即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣2
＝4﹣2
＝2．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（8分）如图，直线y＝x+1和y＝ax+4交于点A（1，m）．
（1）求m的值．
（2）写出不等式x+1＜ax+4的解集．

【分析】（1）把A（1，m）代入y＝x+1，即可求得m的值；
（2）以交点为分界，结合图象写出不等式x+1＜ax+4的解集即可．
【解答】解：（1）把A（1，m）代入y＝x+1，
得m＝1+1＝2；

（2）由图象得，不等式x+1＜ax+4的解集为x＜1．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键．
19．（8分）如图，一架梯子AB长5m，斜靠在一面竖直的墙上．若要使梯子顶端离地面的竖直高度AC为4.8m，求此时梯子底端离墙的距离BC．

【分析】利用勾股定理解答即可．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，
∴BC＝＝＝1.4（m）．
答：梯子底端离墙的距离BC为1.4m．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理，如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
20．（8分）已知一次函数的图象经过点A（﹣3，4），B（1，﹣2）两点．
（1）求这个一次函数的解析式．
（2）当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围．
【分析】（1）设一次函数的解析式是y＝kx+b（k≠0），把A和B点的坐标代入，再求出k、b即可；
（2）根据一次函数的性质得出y随x的增大而减小，把x＝﹣1和x＝3分别代入函数的解析式，求出对应的y的值，再得出答案即可．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式是y＝kx+b（k≠0），
把A和B点的坐标代入得：，
解得：k＝﹣，b＝﹣，
所以这个一次函数的解析式是y＝﹣x﹣；

（2）∵y＝﹣x﹣中k＝﹣＜0，
∴y随x的增大而减小，
当x＝﹣1时，y＝﹣×（﹣1）﹣＝﹣＝1，
当x＝3时，y＝﹣×3﹣＝﹣﹣＝﹣5，
所以y的取值范围是﹣5≤y≤1．
【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图＝图象上点的坐标特征和一次函数的性质等知识点，能用待定系数法求出一次函数的解析式是解此题的关键．
21．（10分）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形．
（2）若四边形ABCD的对角线互相垂直且它们的乘积为48，求四边形EFGH的面积．

【分析】（1）连接BD，根据三角形中位线定理证明EH∥FG，EH＝FG，根据平行四边形的判定定理证明即可；
（2）先由三角形的中位线定理和矩形的判定定理推知四边形EFGH的形状是矩形，进而利用矩形的面积解答即可．
【解答】（1）证明：如图，连接BD，
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH＝BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG＝BD，
∴EH∥FG，EH＝GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：如图，连接AC，
由（1）知，四边形EFGH是平行四边形．
在△ABD中，E、H分别是AD、CD的中点，
则EH∥AC，
同理GH∥BD，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH的面积＝EH•EF＝AC×BD＝AC•BD＝12．
即四边形EFGH的面积是12．

【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、中点四边形，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线．
22．（12分）杨梅销售公司在向果农收购相同品种“东魁”杨梅时，按照杨梅单果质量（单位：g）的整体分布情况，确定整批杨梅的等级，并按照不同的等级确定不同的收购价．果农老张和老王各送来一批杨梅，收购员小李在他们送来的杨梅中分别随机抽检了100颗，秤出质量（单位：g），并把收集到的数据整理成下表：
杨梅单果质量（g）
二等
（15≤x＜20）
一等
（20≤x＜25）
优等
（25≤x＜30）
特优
（30≤x＜35）
组中值
17.5
22.5
27.5
32.5
老张家杨梅数量（个）
20
32
26
22
老王家杨梅数量（个）
14
26
36
24
（1）若用扇形图描述老王家各个等级杨梅的比例，其表示特优杨梅的扇形的圆心角是 　86.4　°
（2）从杨梅单果质量的平均数看，你认为老张家杨梅的收购价与老王家杨梅的收购价应该相同吗？请说明理由．
（3）结果，收购员小李给老张家杨梅定的收购价比老王家的杨梅收购价低一个等级，你能用统计知识解释小李这样做的合理性吗？
【分析】（1）用360°乘以老王家特优杨梅的频率即可；
（2）分别求出两家的平均数，即可比较出来；
（3）根据所求数据进行分析即可．
【解答】解：（1）360°×＝86.4°，
故答案为：86.4．
（2）老张家杨梅的等级的平均数为＝＝25，
老王家杨梅的等级的平均数为＝＝26，
∴收购价应该不相同．
（3）∵按照不同的等级确定不同的收购价，25＜26，
∴给老张家杨梅定的收购价比老王家的杨梅收购价低一个等级是合理的．
【点评】本题考查扇形统计图，平均数及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．
23．（12分）小王准备把牛奶加热后饮用，他先在锅中加水，再从冰箱冷藏室中拿出一杯牛奶浸入水中，用煤气灶缓慢加热．在这个过程中，他每隔10s测量一次水温和牛奶温度，获得数据如下表：
时间（s）
0
10
20
30
40
50
…
锅中水的温度（℃）
10
14
18
22
26
30
…
杯中牛奶的温度（℃）
6
7
8
10
12
14
…
（1）水在沸腾前，其温度是加热时间的 　一次　函数，温度每秒钟升高 　0.4　℃．
（2）求牛奶温度y（单位：℃）与加热时间x（单位：s）之间的函数关系式．
（3）标准大气压下，水的沸点是100℃，水沸腾后温度保持不变．
①加热时间是多少时，水与牛奶的温度差最大？
②温度太高，会造成牛奶中蛋白质等营养成分损失，加热到60℃时饮用最佳，此时，水温是多少？请通过计算说明理由．

【分析】（1）根据表格即可填空；
（2）待定系数法求解析式即可；
（3）①根据水的温度比牛奶升温快，当水的温度达到100℃时，水与牛奶的温度差最大，列方程求解即可；
②根据加热到牛奶的温度求出时间，再求出水的温度，根据水的沸点为100°C即可确定．
【解答】解：（1）根据表格可知，水在沸腾前，其温度是加热时间的一次函数，
温度每秒升高4÷10＝0.4（°C），
故答案为：一次，0.4；
（2）当0≤x＜20时，设y＝kx+b，
代入点（0，6）和点（10，7），
得，
解得，
∴y＝0.1x+6；
当x≥20时，设y＝mx+n，
代入（20，8），（30，10），
得，
解得，
∴y＝；
（3）①∵水的温度比牛奶升温快，当水的温度达到100℃时，水与牛奶的温度差最大，
∴10+0.4x＝100，
解得x＝225（s），
∴加热时间为225s时，水与牛奶的温度差最大；
②当y＝60℃时，0.2x+4＝60，
解得x＝280，
10+0.4×280＝122（℃），
∵水的沸点为100℃，
∴水温是100℃．
【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意并用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
24．（14分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，O是对角线BD的中点．过O点的直线与矩形的一组对边AB，CD分别相交于点F和点E．B'与B关于直线EF对称，连接BE，DB'，EB'，OB'．
（1）判断△ODB'的形状，并说明理由．
（2）求证：DB'∥OE．
（3）若四边形OEB'D是平行四边形，求线段EF的长．


【分析】（1）根据线段中点的定义和对称的性质可知：△ODB'是等腰三角形；
（2）如图1，连接BB'交OE于M，根据对称的性质得：BB'⊥EF，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得：∠DB'B＝90°，则∠DB'B＝∠OMB，可得结论；
（3）如图2，作辅助线构建直角三角形EFH，计算EH＝FH＝4，根据勾股定理可得结论．
【解答】（1）解：△ODB'是等腰三角形，理由如下：
∵O是BD的中点，
∴OD＝OB，
∵B'与B关于直线EF对称，
∴OB＝OB'，
∴OD＝OB'，
∴△ODB'是等腰三角形；
（2）证明：如图1，连接BB'交OE于M，

∵B'与B关于直线EF对称，
∴BB'⊥EF，
∴∠OMB＝90°，
由（1）知：OB＝OD＝OB'，
∴∠ODB'＝∠OB'D，∠OBM＝∠OB'M，
∵∠ODB'+∠DB'B+∠OBM＝180°，
∴∠DB'B＝90°，
∴∠DB'B＝∠OMB，
∴DB'∥OE；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝4，
由勾股定理得：BD＝＝4，
∴OD＝2，
∵四边形OEB'D是平行四边形，
∴EB'＝OD＝2，
由对称得：BE＝B'E＝2，
∵BC＝4，
∴CE＝＝2，
∴DE＝8﹣2＝6，
过点E作EH⊥AB于H，则BH＝CE＝2，

∵AB∥CD，
∴∠EDO＝∠OBF，
∵DO＝OB，∠DOE＝∠BOF，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴BF＝DE＝6，
∴FH＝BF﹣BH＝6﹣2＝4，
∵EH＝BC＝4，∠EHF＝90°，
∴EF＝＝4．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，轴对称的性质，勾股定理的运用，题目的综合性较强，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键．