还剩24页未读，
继续阅读
广东省茂名市高州市2021-2022学年七年级下学期期末监测数学试题(word版含答案)
展开
这是一份广东省茂名市高州市2021-2022学年七年级下学期期末监测数学试题(word版含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省茂名市高州市2021-2022学年七年级下学期期末监测
数学试题
一、选择题（共10小题）
1．实数﹣2022是2022的（ ）
A．绝对值 B．相反数
C．倒数 D．以上都不正确
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．“柳条初弄绿，已觉春风驻”．每到春天，人们在欣赏柳绿桃红的同时，也被飞舞的柳絮所烦恼，据了解柳絮纤维的直径约为0.00105cm，则0.00105用科学记数法可表示为（ ）
A．﹣1.05×103 B．1.05×10﹣3 C．1.05×10﹣4 D．105×10﹣5
4．下列计算中，正确的是（ ）
A．2x2+3x3＝5x5 B．2x2•3x3＝6x6
C．2x3÷（﹣x2）＝﹣2x D．（﹣2x2）3＝﹣2x6
5．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
6．已知9m＝2，27n＝3，则32m+3n的值为（ ）
A．1 B．5 C．6 D．12
7．“若a是实数，则a2≥0”这一事件发生的概率为P，则（ ）
A．P＝0 B．0＜P＜1 C．P＝1 D．P＞1
8．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，若∠CDE＝64°，∠A＝28°，则∠ABD的度数为（ ）
A．100° B．128° C．108° D．98°
9．如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ）
A．7 B．10 C．11 D．14
10．如图1，点G为BC边的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边运动，运动路径为G→C→D→E→F→H，相应的△ABP的面积y（cm2）关于运动时间t（s）的函数图象如图2，若AB＝6cm，则下列结论正确的个数有（ ）
①图1中BC长4cm；
②图1中DE的长是6cm；
③图2中点M表示4秒时的y值为24cm2；
④图2中的点N表示12秒时y值为15cm2．
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
二、填空题（共7小题）
11．已知一个长方形的面积为a2b﹣a，长为a，则它的宽为 ．
12．如图，体育课上，老师测量学生跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是 ．
13．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝30°，则∠2的大小为 度．
14．如图，点P在∠AOB的平分线上，只需添加一个条件即可证明△AOP≌△BOP，这个条件可以是 ．（只写一个即可不添加辅助线）
15．已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高D上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是 ．
16．如图，两个正方形的边长分别为a，b．若a+b＝10，ab＝10，则图中阴影部分的面积为 ．
17．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C＝110°，则∠1+∠2＝ ．
三、解答题（共8小题）
18．计算：．
19．先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷（2b），其中a＝﹣1，b＝1．
20．如图，△ABC中，点D在BC边上．
（1）在AC边求作点E，使得DE∥AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠ABC＝40°，∠ACB＝2∠CDE，求∠ACB的度数．
21．自新冠肺炎疫情暴发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．
根据上面图表信息，回答下列问题：
（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为 万人，扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为 °；
（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；
（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率．
22．如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB＝AC，AD＝AE．
求证：
（1）△ADB≌△AEC；
（2）DB⊥EC．
23．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴代数式y2+4y+8的最小值为4．
（1）求代数式x2﹣2x﹣2的最小值；
（2）若a2﹣6a+9+|b+1|＝0，则ab＝ ．
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
24．新知探究：
光在反射时，光束的路径可用图（1）来表示，AO叫做入射光线，OB叫做反射光线，从入射点O引出的一条垂直于镜面EF的射线OM叫做法线．AO与OM的夹角α叫入射角，OB与OM的夹角β叫反射角．根据科学实验可得：∠β＝∠α．
（1）试根据所学过的知识及新知说明∠1＝∠2．
问题解决：
生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图（2）当一束“激光”AB射入到平面镜EO上、被EO反射到平面镜OF上，又被平面镜OF反射后得到反射光线CD．
（2）当AB∥CD，∠DCF＝60°时，求∠ABC的度数．
（3）当∠O＝90°时，任何射到平面镜EO上的光线AB经过平面镜EO和OF的两次反射后，入射光线AB与反射光线CD总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明．（提示：三角形的内角和等于180°）
25．如图，AB＝20cm，点O在AB上，点P在以O为圆心，OA长为半径的圆上，且∠AOP＝60°．点O从点A出发沿直线AB向点B运动，速度为1cm/s，同时线段OP绕点O以30°/s的速度按顺时针旋转，点Q也同时从点B出发沿折线B﹣O﹣P运动，设运动时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度为2cm/s，当t＝2时，求OQ的长．
（2）在线段OP旋转一周的过程中，当∠POB＝30°时．
①求运动时间t．
②若此时点Q恰好在OB中点处，求点Q的运动速度．
（3）若点Q在BO上运动时，速度是2cm/s，在OP上运动时，速度是5cm/s，当点Q到达点P时，所有运动同时停止，求运动停止时∠AOP的度数．
广东省茂名市高州市2021-2022学年七年级下学期期末监测
数学试题参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．实数﹣2022是2022的（ ）
A．绝对值 B．相反数
C．倒数 D．以上都不正确
【分析】根据绝对值，相反数，倒数的定义判断即可．
【解答】解：﹣2022和2022互为相反数，
故选：B．
【点评】本题考查了实数的性质，绝对值，相反数，倒数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判定即可得出答案．
【解答】解：A．是轴对称图形，故A选项不符合题意；
B．是轴对称图形，故B选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C选项符合题意；
D．是轴对称图形，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义进行求解是解决本题的关键．
3．“柳条初弄绿，已觉春风驻”．每到春天，人们在欣赏柳绿桃红的同时，也被飞舞的柳絮所烦恼，据了解柳絮纤维的直径约为0.00105cm，则0.00105用科学记数法可表示为（ ）
A．﹣1.05×103 B．1.05×10﹣3 C．1.05×10﹣4 D．105×10﹣5
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00105＝1.05×10﹣3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．下列计算中，正确的是（ ）
A．2x2+3x3＝5x5 B．2x2•3x3＝6x6
C．2x3÷（﹣x2）＝﹣2x D．（﹣2x2）3＝﹣2x6
【分析】根据合并同类项法则、单项式乘单项式、单项式除以单项式及单项式的乘方逐一计算可得．
【解答】解：A、2x2、3x3不是同类项，不能合并，故A式子错误；
B、2x2•3x3＝6x5，故B式子错误；
C、2x3÷（﹣x2）＝﹣2x，故C式子正确；
D、（﹣2x2）3＝﹣8x6，故D式子错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、单项式乘单项式、单项式除以单项式及单项式的乘方．
5．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】根据“两直线平行，同位角相等”可得出∠BCD＝∠1＝40°，再根据DB⊥BC，得出∠BCD+∠2＝90°，通过角的计算即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝40°，
∴∠BCD＝∠1＝40°．
又∵DB⊥BC，
∴∠BCD+∠2＝90°，
∴∠2＝90°﹣40°＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质以及垂直的性质，解题的关键是找出∠BCD＝∠1＝40°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键．
6．已知9m＝2，27n＝3，则32m+3n的值为（ ）
A．1 B．5 C．6 D．12
【分析】根据幂的乘方和积的乘方法则化简解答即可．
【解答】解：∵9m＝2，27n＝3，
∴32m＝2，33n＝3，
∴32m+3n＝32m×33n＝2×3＝6，
故选：C．
【点评】此题考查幂的乘方和积的乘方，关键是根据幂的乘方法则化简解答．
7．“若a是实数，则a2≥0”这一事件发生的概率为P，则（ ）
A．P＝0 B．0＜P＜1 C．P＝1 D．P＞1
【分析】直接利用实数的性质以及结合必然事件的定义得出答案．
【解答】解：∵a是实数，a2≥0这一事件是必然事件．
∴这一事件发生的概率P＝1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了必然事件，正确把握相关定义是解题关键．
8．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，若∠CDE＝64°，∠A＝28°，则∠ABD的度数为（ ）
A．100° B．128° C．108° D．98°
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质结合三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴BD＝DC，
∴∠BDE＝∠CDE＝64°，
∴∠ADB＝180°﹣64°﹣64°＝52°，
∵∠A＝28°，
∴∠ABD＝180°﹣28°﹣52°＝100°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，正确掌握相关定理是解题关键．
9．如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ）
A．7 B．10 C．11 D．14
【分析】分四种情况、根据三角形的三边关系解答即可．
【解答】解：①选3+4、6、8作为三角形，则三边长为7、6、8；7﹣6＜8＜7+6，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为8；
②选6+4、3、8作为三角形，则三边长为10、3、8；8﹣3＜10＜8+3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为10；
③选3+8、4、6作为三角形，则三边长为111、4、6；4+6＜11，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选6+8、3、4作为三角形，则三边长为14、3、4；而3+4＜14，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为10，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．
10．如图1，点G为BC边的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边运动，运动路径为G→C→D→E→F→H，相应的△ABP的面积y（cm2）关于运动时间t（s）的函数图象如图2，若AB＝6cm，则下列结论正确的个数有（ ）
①图1中BC长4cm；
②图1中DE的长是6cm；
③图2中点M表示4秒时的y值为24cm2；
④图2中的点N表示12秒时y值为15cm2．
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
【分析】理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
【解答】解：由图象可得：0～2秒，点P在GC上运动，则GC＝2×2＝4cm，
∵点G是BC中点，
∴BC＝2GC＝8cm，
故①不合题意；
由图象可得：2﹣4秒，点P在CD上运动，则第4秒时，y＝S△ABP＝×6×8＝24cm2，
故③符合题意；
由图象可得：4﹣7秒，点P在DE上运动，则DE＝2×3＝6cm，
故②符合题意；
由图象可得：当第12秒时，点P在H处，
∵EF＝AB﹣CD＝6﹣4＝2cm，
∴t＝＝1s，
∴AH＝8+6﹣2×（12﹣7﹣1）＝6，
∴y＝S△ABP＝×6×6＝18cm2，
故④不合题意，
∴正确的是②③，
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
二、填空题（共7小题）
11．已知一个长方形的面积为a2b﹣a，长为a，则它的宽为 ab﹣1 ．
【分析】根据题意列出算式，再利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出结果．
【解答】解：（a2b﹣a）÷a＝ab﹣1，
故答案为：ab﹣1．
【点评】本题考查了整式的除法，掌握多项式除以单项式的法则是解决问题的关键．
12．如图，体育课上，老师测量学生跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是 垂线段最短 ．
【分析】垂线段的性质：垂线段最短．利用垂线段的性质求解．
【解答】解：测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是：垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点评】本题考查了垂线段的性质：垂线段最短．实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
13．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝30°，则∠2的大小为 60 度．
【分析】由折叠的性质可得∠3＝∠1＝30°，从而求得∠4＝120°，再根据平行线的性质定理求出∠ACD＝∠4＝120°，最后再根据平行线性质定理求出∠2＝60°．
【解答】解：如图，延长FA，由折叠的性质，可得∠3＝∠1＝30°，
∴∠4＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵CD∥BE，BE∥AF，
∴∠ACD＝∠4＝120°，
又∵AC∥BD，
∴∠2＝180°﹣∠ACD＝180°﹣120°＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
14．如图，点P在∠AOB的平分线上，只需添加一个条件即可证明△AOP≌△BOP，这个条件可以是 ∠APO＝∠BPO（答案不唯一） ．（只写一个即可不添加辅助线）
【分析】添加∠APO＝∠BPO，利用ASA判断得出△AOP≌△BOP．
【解答】解：∠APO＝∠BPO，理由：
∵点P在∠AOB的平分线上，
∴∠AOP＝∠BOP，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（ASA），
故答案为：∠APO＝∠BPO（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
15．已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高D上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是 ．
【分析】如图作等F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H．根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长．
【解答】解：如图作等F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝3，
∴点F′在AC上，
∵BE+EF＝BE+EF′，
根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长．
在Rt△ACD中，AC＝＝5，
∵•BC•AD＝•AC•BH，
∴BH＝，
∴BE+EF的最小值为，
故答案为．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．
16．如图，两个正方形的边长分别为a，b．若a+b＝10，ab＝10，则图中阴影部分的面积为 30 ．
【分析】1．把求不规则图形面积的问题转化为求规则图形面积的和或差的问题，阴影部分的面积等于大正方形面积的一半减去小正方形面积的一半，再减去上下两个相等三角形的面积．2．把含有字母a、b的代数式化成含有a+b或ab的式子．
【解答】解：；
；
；
；
；
；
S＝30．
故答案为：30．
【点评】考查学生对图形面积的计算以及把不规则图形问题转化成规则图形问题，涉及到三角形和正方形面积，再一个难点就是怎样利用完全平方公式把代数式化成含有a+b或ab的式子，考查学生对完全平方公式运用的熟练程度．
17．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C＝110°，则∠1+∠2＝ 80° ．
【分析】连接AA′．首先求出∠BAC，再证明∠1+∠2＝2∠BAC即可解决问题．
【解答】解：连接AA′．
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°，
∴∠A′BC+∠A′CB＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，
∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，
∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，
∴∠1+∠2＝2（∠DAA′+∠EAA′）＝2∠BAC＝80°，
故答案为80°．
【点评】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型．
三、解答题（共8小题）
18．计算：．
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、有理数的平方的知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：
＝
＝1+9﹣8
＝2．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方等知识点的运算．
19．先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷（2b），其中a＝﹣1，b＝1．
【分析】先根据乘法公式算乘法，合并同类项，计算除法，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝（4a2+4ab+b2﹣4a2+b2）÷（2b）
＝（4ab+2b2）÷（2b）
＝2a+b，
当a＝﹣1、b＝1时，
原式＝﹣2+1＝﹣1．
【点评】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及代数式的求值是解题的关键．
20．如图，△ABC中，点D在BC边上．
（1）在AC边求作点E，使得DE∥AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠ABC＝40°，∠ACB＝2∠CDE，求∠ACB的度数．
【分析】（1）如图，在CD的上方作∠EDC＝∠ABC，DE交AC于点E．
（2）利用平行线的性质求解即可．
【解答】解：（1）如图，点E即为所求．
（2）由作图可知，DE∥AB，
∴∠CDE＝∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝2∠CDE＝80°．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
21．自新冠肺炎疫情暴发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．
根据上面图表信息，回答下列问题：
（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为 20 万人，扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为 72 °；
（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；
（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率．
【分析】（1）由60﹣79岁人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以40﹣59岁感染人数所占比例即可；
（2）根据各年龄段人数之和等于总人数求出20﹣39岁的人数，从而补全图形；
（3）用患者年龄为60岁或60岁以上的人数除以总人数即可．
【解答】解：（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为9÷45%＝20（万人），
扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为360°×＝72°，
故答案为：20、72；
（2）20～39岁的人数为20﹣（0.5+4+9+4.5）＝2（万人），
补全折线图如下：
（3）该患者年龄为60岁或60岁以上的概率为＝．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是根据折线统计图和扇形统计图得出解题所需数据．
22．如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB＝AC，AD＝AE．
求证：
（1）△ADB≌△AEC；
（2）DB⊥EC．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠BAC＝∠DAE＝90°，进而得到∠CAE＝∠BAD，即可利用SAS证明△ABD≌△ACE；
（2）根据全等三角形的性质、直角三角形的性质推出∠BFC＝90°，据此即可得解．
【解答】证明：（1）∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）如图，BD交CE于点F，
由（1）知△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CBD+∠BCE＝∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴DB⊥EC．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用利用SAS证明△ABD≌△ACE是解题的关键．
23．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴代数式y2+4y+8的最小值为4．
（1）求代数式x2﹣2x﹣2的最小值；
（2）若a2﹣6a+9+|b+1|＝0，则ab＝ ．
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
【分析】（1）根据阅读材料将所求的式子配方为（x﹣1）2﹣3，再根据非负数的性质得出最小值；
（2）根据阅读材料将所求的式子配方成（a﹣3）2+|b+1|＝0，再根据非负数的性质求出a、b，代入ab计算即可；
（3）先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2﹣3≥﹣3，
∴代数式x2﹣2x﹣2的最小值为﹣3；
（2）∵a2﹣6a+9+|b+1|＝0，
∴（a﹣3）2+|b+1|＝0，
∴a﹣3＝0，b+1＝0，
∴a＝3，b＝﹣1，
∴ab＝3﹣1＝．
故答案为：；
（3）由题意可得，
花园的面积为：x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x＝﹣2（x2﹣10x）＝﹣2（x﹣5）2+50，
∴当x＝5时，花园的面积取得最大值，此时花园的面积是50，BC的长是20﹣2×5＝10＜15，
即当x取5时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24．新知探究：
光在反射时，光束的路径可用图（1）来表示，AO叫做入射光线，OB叫做反射光线，从入射点O引出的一条垂直于镜面EF的射线OM叫做法线．AO与OM的夹角α叫入射角，OB与OM的夹角β叫反射角．根据科学实验可得：∠β＝∠α．
（1）试根据所学过的知识及新知说明∠1＝∠2．
问题解决：
生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图（2）当一束“激光”AB射入到平面镜EO上、被EO反射到平面镜OF上，又被平面镜OF反射后得到反射光线CD．
（2）当AB∥CD，∠DCF＝60°时，求∠ABC的度数．
（3）当∠O＝90°时，任何射到平面镜EO上的光线AB经过平面镜EO和OF的两次反射后，入射光线AB与反射光线CD总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明．（提示：三角形的内角和等于180°）
【分析】（1）利用OM⊥EF可得∠EOM＝∠FOM，再由∠α＝∠β即可说明；
（2）由（1）可得∠OCB＝∠DCF，从而得出∠BCD，再由平行线的性质即可求解；
（3）先设出∠OBC，再由三角形内角和定理表示出∠OCB，由（1）可得∠ABE和∠DCF，从而得出∠ABC和∠BCD，相加即可证明．
【解答】解：（1）∵OM⊥EF，
∴∠EOM＝∠FOM，
∵∠α＝∠β，
∴∠EOM﹣∠α＝∠FOM﹣∠β，
∴∠1＝∠2；
（2）∵∠DCF＝60°，
∴∠OCB＝60°，
∴∠BCD＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣∠BCD＝120°；
（3）设∠OBC＝x，
∴∠ABE＝x，
∴∠ABC＝180°﹣∠OBC﹣∠ABE＝180°﹣2x，
∵∠O＝90°，
∴∠OCB＝90°﹣x，
∴∠DCF＝90°﹣x，
∴∠BCD＝180°﹣∠OCB﹣∠DCF＝2x，
∵∠ABC+∠BCD＝180°﹣2x+2x＝180°，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质的内容与平行线的判定的条件．
25．如图，AB＝20cm，点O在AB上，点P在以O为圆心，OA长为半径的圆上，且∠AOP＝60°．点O从点A出发沿直线AB向点B运动，速度为1cm/s，同时线段OP绕点O以30°/s的速度按顺时针旋转，点Q也同时从点B出发沿折线B﹣O﹣P运动，设运动时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度为2cm/s，当t＝2时，求OQ的长．
（2）在线段OP旋转一周的过程中，当∠POB＝30°时．
①求运动时间t．
②若此时点Q恰好在OB中点处，求点Q的运动速度．
（3）若点Q在BO上运动时，速度是2cm/s，在OP上运动时，速度是5cm/s，当点Q到达点P时，所有运动同时停止，求运动停止时∠AOP的度数．
【分析】（1）分别表示出OA，BQ，即可求解OQ；
（2）首先分情况讨论∠BOP的度数，然后求出运动时间，从而求出OA，然后利用点Q在OB的中点，求解即可；
（3）首先求出点Q在OB上的运动时间，然后需要注意OP的长度随OA变化，再求出点Q在OP上的运动时间，最后求出旋转角度即可．
【解答】解：（1）∵AB＝20cm，点O从点A出发沿直线AB向点B运动，速度为1cm/s，点Q的运动速度为2cm/s，
当t＝2时，
OA＝2×1＝2cm，BQ＝2×2＝4cm，
∴OQ＝AB﹣OA﹣BQ＝20﹣2﹣4＝14cm，
（2）①在线段OP旋转一周的过程中，当∠POB＝30°时，分为两种情况：
当点P在AB上方时，
OP旋转的角度为：120°﹣30°＝90°，
∵线段OP绕点O以30°/s的速度按顺时针旋转，
∴t＝90÷30＝3，
当点P在AB下方时，
OP旋转的角度为：120°+30°＝150°，
∴t＝150÷30＝5，
②当t＝3时，
OA＝3×1＝3cm，
OB＝AB﹣OA＝20﹣3＝17cm，
∵点Q恰好在OB中点处，
∴BQ＝OB＝cm，
∴点Q的运动速度为：÷3＝cm/s，
当t＝5时，
OA＝5×1＝5cm，
OB＝AB﹣OA＝20﹣5＝15cm，
∵点Q恰好在OB中点处，
∴BQ＝OB＝cm，
∴点Q的运动速度为：÷5＝cm/s，
（3）∵点O运动速度为1cm/s，点Q在BO上的运动速度为2cm/s，在OP上的运动速度为5cm/s，
∴点O与点Q重合时，
时间为：20÷（1+2）＝s，
此时OP＝OA＝×1＝cm，
设Q点从O点运动到P点的时间为x，则：
+x＝5x，
解得：x＝，
∴整个运动过程所花时间为：+＝s，
∵OP绕点O以30°/s的速度按顺时针旋转，
∴旋转的度数为：s×30°/s＝250°，
∵开始运动时∠AOP＝60°，
∴停止运动时∠AOP＝360°﹣250°﹣60°＝50°．
【点评】本题考查的点在直线上的运动以及角的旋转，解题的关键是∠POB＝30°分为两种情况，同时需要注意速度的变化，涉及动点问题，比较复杂，难度较大．
广东省茂名市高州市2021-2022学年七年级下学期期末监测
数学试题
一、选择题（共10小题）
1．实数﹣2022是2022的（ ）
A．绝对值 B．相反数
C．倒数 D．以上都不正确
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．“柳条初弄绿，已觉春风驻”．每到春天，人们在欣赏柳绿桃红的同时，也被飞舞的柳絮所烦恼，据了解柳絮纤维的直径约为0.00105cm，则0.00105用科学记数法可表示为（ ）
A．﹣1.05×103 B．1.05×10﹣3 C．1.05×10﹣4 D．105×10﹣5
4．下列计算中，正确的是（ ）
A．2x2+3x3＝5x5 B．2x2•3x3＝6x6
C．2x3÷（﹣x2）＝﹣2x D．（﹣2x2）3＝﹣2x6
5．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
6．已知9m＝2，27n＝3，则32m+3n的值为（ ）
A．1 B．5 C．6 D．12
7．“若a是实数，则a2≥0”这一事件发生的概率为P，则（ ）
A．P＝0 B．0＜P＜1 C．P＝1 D．P＞1
8．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，若∠CDE＝64°，∠A＝28°，则∠ABD的度数为（ ）
A．100° B．128° C．108° D．98°
9．如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ）
A．7 B．10 C．11 D．14
10．如图1，点G为BC边的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边运动，运动路径为G→C→D→E→F→H，相应的△ABP的面积y（cm2）关于运动时间t（s）的函数图象如图2，若AB＝6cm，则下列结论正确的个数有（ ）
①图1中BC长4cm；
②图1中DE的长是6cm；
③图2中点M表示4秒时的y值为24cm2；
④图2中的点N表示12秒时y值为15cm2．
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
二、填空题（共7小题）
11．已知一个长方形的面积为a2b﹣a，长为a，则它的宽为 ．
12．如图，体育课上，老师测量学生跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是 ．
13．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝30°，则∠2的大小为 度．
14．如图，点P在∠AOB的平分线上，只需添加一个条件即可证明△AOP≌△BOP，这个条件可以是 ．（只写一个即可不添加辅助线）
15．已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高D上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是 ．
16．如图，两个正方形的边长分别为a，b．若a+b＝10，ab＝10，则图中阴影部分的面积为 ．
17．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C＝110°，则∠1+∠2＝ ．
三、解答题（共8小题）
18．计算：．
19．先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷（2b），其中a＝﹣1，b＝1．
20．如图，△ABC中，点D在BC边上．
（1）在AC边求作点E，使得DE∥AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠ABC＝40°，∠ACB＝2∠CDE，求∠ACB的度数．
21．自新冠肺炎疫情暴发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．
根据上面图表信息，回答下列问题：
（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为 万人，扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为 °；
（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；
（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率．
22．如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB＝AC，AD＝AE．
求证：
（1）△ADB≌△AEC；
（2）DB⊥EC．
23．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴代数式y2+4y+8的最小值为4．
（1）求代数式x2﹣2x﹣2的最小值；
（2）若a2﹣6a+9+|b+1|＝0，则ab＝ ．
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
24．新知探究：
光在反射时，光束的路径可用图（1）来表示，AO叫做入射光线，OB叫做反射光线，从入射点O引出的一条垂直于镜面EF的射线OM叫做法线．AO与OM的夹角α叫入射角，OB与OM的夹角β叫反射角．根据科学实验可得：∠β＝∠α．
（1）试根据所学过的知识及新知说明∠1＝∠2．
问题解决：
生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图（2）当一束“激光”AB射入到平面镜EO上、被EO反射到平面镜OF上，又被平面镜OF反射后得到反射光线CD．
（2）当AB∥CD，∠DCF＝60°时，求∠ABC的度数．
（3）当∠O＝90°时，任何射到平面镜EO上的光线AB经过平面镜EO和OF的两次反射后，入射光线AB与反射光线CD总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明．（提示：三角形的内角和等于180°）
25．如图，AB＝20cm，点O在AB上，点P在以O为圆心，OA长为半径的圆上，且∠AOP＝60°．点O从点A出发沿直线AB向点B运动，速度为1cm/s，同时线段OP绕点O以30°/s的速度按顺时针旋转，点Q也同时从点B出发沿折线B﹣O﹣P运动，设运动时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度为2cm/s，当t＝2时，求OQ的长．
（2）在线段OP旋转一周的过程中，当∠POB＝30°时．
①求运动时间t．
②若此时点Q恰好在OB中点处，求点Q的运动速度．
（3）若点Q在BO上运动时，速度是2cm/s，在OP上运动时，速度是5cm/s，当点Q到达点P时，所有运动同时停止，求运动停止时∠AOP的度数．
广东省茂名市高州市2021-2022学年七年级下学期期末监测
数学试题参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．实数﹣2022是2022的（ ）
A．绝对值 B．相反数
C．倒数 D．以上都不正确
【分析】根据绝对值，相反数，倒数的定义判断即可．
【解答】解：﹣2022和2022互为相反数，
故选：B．
【点评】本题考查了实数的性质，绝对值，相反数，倒数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判定即可得出答案．
【解答】解：A．是轴对称图形，故A选项不符合题意；
B．是轴对称图形，故B选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C选项符合题意；
D．是轴对称图形，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义进行求解是解决本题的关键．
3．“柳条初弄绿，已觉春风驻”．每到春天，人们在欣赏柳绿桃红的同时，也被飞舞的柳絮所烦恼，据了解柳絮纤维的直径约为0.00105cm，则0.00105用科学记数法可表示为（ ）
A．﹣1.05×103 B．1.05×10﹣3 C．1.05×10﹣4 D．105×10﹣5
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00105＝1.05×10﹣3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．下列计算中，正确的是（ ）
A．2x2+3x3＝5x5 B．2x2•3x3＝6x6
C．2x3÷（﹣x2）＝﹣2x D．（﹣2x2）3＝﹣2x6
【分析】根据合并同类项法则、单项式乘单项式、单项式除以单项式及单项式的乘方逐一计算可得．
【解答】解：A、2x2、3x3不是同类项，不能合并，故A式子错误；
B、2x2•3x3＝6x5，故B式子错误；
C、2x3÷（﹣x2）＝﹣2x，故C式子正确；
D、（﹣2x2）3＝﹣8x6，故D式子错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、单项式乘单项式、单项式除以单项式及单项式的乘方．
5．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】根据“两直线平行，同位角相等”可得出∠BCD＝∠1＝40°，再根据DB⊥BC，得出∠BCD+∠2＝90°，通过角的计算即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝40°，
∴∠BCD＝∠1＝40°．
又∵DB⊥BC，
∴∠BCD+∠2＝90°，
∴∠2＝90°﹣40°＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质以及垂直的性质，解题的关键是找出∠BCD＝∠1＝40°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键．
6．已知9m＝2，27n＝3，则32m+3n的值为（ ）
A．1 B．5 C．6 D．12
【分析】根据幂的乘方和积的乘方法则化简解答即可．
【解答】解：∵9m＝2，27n＝3，
∴32m＝2，33n＝3，
∴32m+3n＝32m×33n＝2×3＝6，
故选：C．
【点评】此题考查幂的乘方和积的乘方，关键是根据幂的乘方法则化简解答．
7．“若a是实数，则a2≥0”这一事件发生的概率为P，则（ ）
A．P＝0 B．0＜P＜1 C．P＝1 D．P＞1
【分析】直接利用实数的性质以及结合必然事件的定义得出答案．
【解答】解：∵a是实数，a2≥0这一事件是必然事件．
∴这一事件发生的概率P＝1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了必然事件，正确把握相关定义是解题关键．
8．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，若∠CDE＝64°，∠A＝28°，则∠ABD的度数为（ ）
A．100° B．128° C．108° D．98°
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质结合三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴BD＝DC，
∴∠BDE＝∠CDE＝64°，
∴∠ADB＝180°﹣64°﹣64°＝52°，
∵∠A＝28°，
∴∠ABD＝180°﹣28°﹣52°＝100°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，正确掌握相关定理是解题关键．
9．如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ）
A．7 B．10 C．11 D．14
【分析】分四种情况、根据三角形的三边关系解答即可．
【解答】解：①选3+4、6、8作为三角形，则三边长为7、6、8；7﹣6＜8＜7+6，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为8；
②选6+4、3、8作为三角形，则三边长为10、3、8；8﹣3＜10＜8+3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为10；
③选3+8、4、6作为三角形，则三边长为111、4、6；4+6＜11，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选6+8、3、4作为三角形，则三边长为14、3、4；而3+4＜14，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为10，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．
10．如图1，点G为BC边的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边运动，运动路径为G→C→D→E→F→H，相应的△ABP的面积y（cm2）关于运动时间t（s）的函数图象如图2，若AB＝6cm，则下列结论正确的个数有（ ）
①图1中BC长4cm；
②图1中DE的长是6cm；
③图2中点M表示4秒时的y值为24cm2；
④图2中的点N表示12秒时y值为15cm2．
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
【分析】理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
【解答】解：由图象可得：0～2秒，点P在GC上运动，则GC＝2×2＝4cm，
∵点G是BC中点，
∴BC＝2GC＝8cm，
故①不合题意；
由图象可得：2﹣4秒，点P在CD上运动，则第4秒时，y＝S△ABP＝×6×8＝24cm2，
故③符合题意；
由图象可得：4﹣7秒，点P在DE上运动，则DE＝2×3＝6cm，
故②符合题意；
由图象可得：当第12秒时，点P在H处，
∵EF＝AB﹣CD＝6﹣4＝2cm，
∴t＝＝1s，
∴AH＝8+6﹣2×（12﹣7﹣1）＝6，
∴y＝S△ABP＝×6×6＝18cm2，
故④不合题意，
∴正确的是②③，
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
二、填空题（共7小题）
11．已知一个长方形的面积为a2b﹣a，长为a，则它的宽为 ab﹣1 ．
【分析】根据题意列出算式，再利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出结果．
【解答】解：（a2b﹣a）÷a＝ab﹣1，
故答案为：ab﹣1．
【点评】本题考查了整式的除法，掌握多项式除以单项式的法则是解决问题的关键．
12．如图，体育课上，老师测量学生跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是 垂线段最短 ．
【分析】垂线段的性质：垂线段最短．利用垂线段的性质求解．
【解答】解：测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是：垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点评】本题考查了垂线段的性质：垂线段最短．实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
13．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝30°，则∠2的大小为 60 度．
【分析】由折叠的性质可得∠3＝∠1＝30°，从而求得∠4＝120°，再根据平行线的性质定理求出∠ACD＝∠4＝120°，最后再根据平行线性质定理求出∠2＝60°．
【解答】解：如图，延长FA，由折叠的性质，可得∠3＝∠1＝30°，
∴∠4＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵CD∥BE，BE∥AF，
∴∠ACD＝∠4＝120°，
又∵AC∥BD，
∴∠2＝180°﹣∠ACD＝180°﹣120°＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
14．如图，点P在∠AOB的平分线上，只需添加一个条件即可证明△AOP≌△BOP，这个条件可以是 ∠APO＝∠BPO（答案不唯一） ．（只写一个即可不添加辅助线）
【分析】添加∠APO＝∠BPO，利用ASA判断得出△AOP≌△BOP．
【解答】解：∠APO＝∠BPO，理由：
∵点P在∠AOB的平分线上，
∴∠AOP＝∠BOP，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（ASA），
故答案为：∠APO＝∠BPO（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
15．已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高D上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是 ．
【分析】如图作等F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H．根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长．
【解答】解：如图作等F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝3，
∴点F′在AC上，
∵BE+EF＝BE+EF′，
根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长．
在Rt△ACD中，AC＝＝5，
∵•BC•AD＝•AC•BH，
∴BH＝，
∴BE+EF的最小值为，
故答案为．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．
16．如图，两个正方形的边长分别为a，b．若a+b＝10，ab＝10，则图中阴影部分的面积为 30 ．
【分析】1．把求不规则图形面积的问题转化为求规则图形面积的和或差的问题，阴影部分的面积等于大正方形面积的一半减去小正方形面积的一半，再减去上下两个相等三角形的面积．2．把含有字母a、b的代数式化成含有a+b或ab的式子．
【解答】解：；
；
；
；
；
；
S＝30．
故答案为：30．
【点评】考查学生对图形面积的计算以及把不规则图形问题转化成规则图形问题，涉及到三角形和正方形面积，再一个难点就是怎样利用完全平方公式把代数式化成含有a+b或ab的式子，考查学生对完全平方公式运用的熟练程度．
17．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C＝110°，则∠1+∠2＝ 80° ．
【分析】连接AA′．首先求出∠BAC，再证明∠1+∠2＝2∠BAC即可解决问题．
【解答】解：连接AA′．
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°，
∴∠A′BC+∠A′CB＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，
∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，
∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，
∴∠1+∠2＝2（∠DAA′+∠EAA′）＝2∠BAC＝80°，
故答案为80°．
【点评】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型．
三、解答题（共8小题）
18．计算：．
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、有理数的平方的知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：
＝
＝1+9﹣8
＝2．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方等知识点的运算．
19．先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷（2b），其中a＝﹣1，b＝1．
【分析】先根据乘法公式算乘法，合并同类项，计算除法，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝（4a2+4ab+b2﹣4a2+b2）÷（2b）
＝（4ab+2b2）÷（2b）
＝2a+b，
当a＝﹣1、b＝1时，
原式＝﹣2+1＝﹣1．
【点评】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及代数式的求值是解题的关键．
20．如图，△ABC中，点D在BC边上．
（1）在AC边求作点E，使得DE∥AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠ABC＝40°，∠ACB＝2∠CDE，求∠ACB的度数．
【分析】（1）如图，在CD的上方作∠EDC＝∠ABC，DE交AC于点E．
（2）利用平行线的性质求解即可．
【解答】解：（1）如图，点E即为所求．
（2）由作图可知，DE∥AB，
∴∠CDE＝∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝2∠CDE＝80°．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
21．自新冠肺炎疫情暴发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．
根据上面图表信息，回答下列问题：
（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为 20 万人，扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为 72 °；
（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；
（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率．
【分析】（1）由60﹣79岁人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以40﹣59岁感染人数所占比例即可；
（2）根据各年龄段人数之和等于总人数求出20﹣39岁的人数，从而补全图形；
（3）用患者年龄为60岁或60岁以上的人数除以总人数即可．
【解答】解：（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为9÷45%＝20（万人），
扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为360°×＝72°，
故答案为：20、72；
（2）20～39岁的人数为20﹣（0.5+4+9+4.5）＝2（万人），
补全折线图如下：
（3）该患者年龄为60岁或60岁以上的概率为＝．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是根据折线统计图和扇形统计图得出解题所需数据．
22．如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB＝AC，AD＝AE．
求证：
（1）△ADB≌△AEC；
（2）DB⊥EC．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠BAC＝∠DAE＝90°，进而得到∠CAE＝∠BAD，即可利用SAS证明△ABD≌△ACE；
（2）根据全等三角形的性质、直角三角形的性质推出∠BFC＝90°，据此即可得解．
【解答】证明：（1）∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）如图，BD交CE于点F，
由（1）知△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CBD+∠BCE＝∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴DB⊥EC．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用利用SAS证明△ABD≌△ACE是解题的关键．
23．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴代数式y2+4y+8的最小值为4．
（1）求代数式x2﹣2x﹣2的最小值；
（2）若a2﹣6a+9+|b+1|＝0，则ab＝ ．
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
【分析】（1）根据阅读材料将所求的式子配方为（x﹣1）2﹣3，再根据非负数的性质得出最小值；
（2）根据阅读材料将所求的式子配方成（a﹣3）2+|b+1|＝0，再根据非负数的性质求出a、b，代入ab计算即可；
（3）先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2﹣3≥﹣3，
∴代数式x2﹣2x﹣2的最小值为﹣3；
（2）∵a2﹣6a+9+|b+1|＝0，
∴（a﹣3）2+|b+1|＝0，
∴a﹣3＝0，b+1＝0，
∴a＝3，b＝﹣1，
∴ab＝3﹣1＝．
故答案为：；
（3）由题意可得，
花园的面积为：x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x＝﹣2（x2﹣10x）＝﹣2（x﹣5）2+50，
∴当x＝5时，花园的面积取得最大值，此时花园的面积是50，BC的长是20﹣2×5＝10＜15，
即当x取5时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24．新知探究：
光在反射时，光束的路径可用图（1）来表示，AO叫做入射光线，OB叫做反射光线，从入射点O引出的一条垂直于镜面EF的射线OM叫做法线．AO与OM的夹角α叫入射角，OB与OM的夹角β叫反射角．根据科学实验可得：∠β＝∠α．
（1）试根据所学过的知识及新知说明∠1＝∠2．
问题解决：
生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图（2）当一束“激光”AB射入到平面镜EO上、被EO反射到平面镜OF上，又被平面镜OF反射后得到反射光线CD．
（2）当AB∥CD，∠DCF＝60°时，求∠ABC的度数．
（3）当∠O＝90°时，任何射到平面镜EO上的光线AB经过平面镜EO和OF的两次反射后，入射光线AB与反射光线CD总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明．（提示：三角形的内角和等于180°）
【分析】（1）利用OM⊥EF可得∠EOM＝∠FOM，再由∠α＝∠β即可说明；
（2）由（1）可得∠OCB＝∠DCF，从而得出∠BCD，再由平行线的性质即可求解；
（3）先设出∠OBC，再由三角形内角和定理表示出∠OCB，由（1）可得∠ABE和∠DCF，从而得出∠ABC和∠BCD，相加即可证明．
【解答】解：（1）∵OM⊥EF，
∴∠EOM＝∠FOM，
∵∠α＝∠β，
∴∠EOM﹣∠α＝∠FOM﹣∠β，
∴∠1＝∠2；
（2）∵∠DCF＝60°，
∴∠OCB＝60°，
∴∠BCD＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣∠BCD＝120°；
（3）设∠OBC＝x，
∴∠ABE＝x，
∴∠ABC＝180°﹣∠OBC﹣∠ABE＝180°﹣2x，
∵∠O＝90°，
∴∠OCB＝90°﹣x，
∴∠DCF＝90°﹣x，
∴∠BCD＝180°﹣∠OCB﹣∠DCF＝2x，
∵∠ABC+∠BCD＝180°﹣2x+2x＝180°，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质的内容与平行线的判定的条件．
25．如图，AB＝20cm，点O在AB上，点P在以O为圆心，OA长为半径的圆上，且∠AOP＝60°．点O从点A出发沿直线AB向点B运动，速度为1cm/s，同时线段OP绕点O以30°/s的速度按顺时针旋转，点Q也同时从点B出发沿折线B﹣O﹣P运动，设运动时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度为2cm/s，当t＝2时，求OQ的长．
（2）在线段OP旋转一周的过程中，当∠POB＝30°时．
①求运动时间t．
②若此时点Q恰好在OB中点处，求点Q的运动速度．
（3）若点Q在BO上运动时，速度是2cm/s，在OP上运动时，速度是5cm/s，当点Q到达点P时，所有运动同时停止，求运动停止时∠AOP的度数．
【分析】（1）分别表示出OA，BQ，即可求解OQ；
（2）首先分情况讨论∠BOP的度数，然后求出运动时间，从而求出OA，然后利用点Q在OB的中点，求解即可；
（3）首先求出点Q在OB上的运动时间，然后需要注意OP的长度随OA变化，再求出点Q在OP上的运动时间，最后求出旋转角度即可．
【解答】解：（1）∵AB＝20cm，点O从点A出发沿直线AB向点B运动，速度为1cm/s，点Q的运动速度为2cm/s，
当t＝2时，
OA＝2×1＝2cm，BQ＝2×2＝4cm，
∴OQ＝AB﹣OA﹣BQ＝20﹣2﹣4＝14cm，
（2）①在线段OP旋转一周的过程中，当∠POB＝30°时，分为两种情况：
当点P在AB上方时，
OP旋转的角度为：120°﹣30°＝90°，
∵线段OP绕点O以30°/s的速度按顺时针旋转，
∴t＝90÷30＝3，
当点P在AB下方时，
OP旋转的角度为：120°+30°＝150°，
∴t＝150÷30＝5，
②当t＝3时，
OA＝3×1＝3cm，
OB＝AB﹣OA＝20﹣3＝17cm，
∵点Q恰好在OB中点处，
∴BQ＝OB＝cm，
∴点Q的运动速度为：÷3＝cm/s，
当t＝5时，
OA＝5×1＝5cm，
OB＝AB﹣OA＝20﹣5＝15cm，
∵点Q恰好在OB中点处，
∴BQ＝OB＝cm，
∴点Q的运动速度为：÷5＝cm/s，
（3）∵点O运动速度为1cm/s，点Q在BO上的运动速度为2cm/s，在OP上的运动速度为5cm/s，
∴点O与点Q重合时，
时间为：20÷（1+2）＝s，
此时OP＝OA＝×1＝cm，
设Q点从O点运动到P点的时间为x，则：
+x＝5x，
解得：x＝，
∴整个运动过程所花时间为：+＝s，
∵OP绕点O以30°/s的速度按顺时针旋转，
∴旋转的度数为：s×30°/s＝250°，
∵开始运动时∠AOP＝60°，
∴停止运动时∠AOP＝360°﹣250°﹣60°＝50°．
【点评】本题考查的点在直线上的运动以及角的旋转，解题的关键是∠POB＝30°分为两种情况，同时需要注意速度的变化，涉及动点问题，比较复杂，难度较大．
相关试卷
2021-2022学年广东省茂名市高州市七年级（下）期末数学试卷（Word解析版）： 这是一份2021-2022学年广东省茂名市高州市七年级（下）期末数学试卷（Word解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省茂名市高州市2021-2022学年七年级下学期期末数学试题(word版含答案)： 这是一份广东省茂名市高州市2021-2022学年七年级下学期期末数学试题(word版含答案)，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省茂名市高州市2021-2022学年八年级下学期期末数学试题(word版含答案)： 这是一份广东省茂名市高州市2021-2022学年八年级下学期期末数学试题(word版含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
