江西省吉安市吉州区2021-2022学年七年级下学期期末检测数学试卷 (word版含答案)

这是一份江西省吉安市吉州区2021-2022学年七年级下学期期末检测数学试卷 (word版含答案)，共31页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年江西省吉安市吉州区七年级（下）期末数学试卷
一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）“共圆冰雪梦，一起向未来．”2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在中国北京和张家口举行．以下选取了四届冬奥会会标图案的一部分，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）在党中央的坚强领导下，经过两年的战斗，新型冠状病毒引发的肺炎疫情得到了有效控制．研究发现，某种新型冠状病毒的直径约为213纳米，1纳米＝1.0×10﹣9米，若用科学记数法表示213纳米，则正确的结果是（　　）
A．2.13×10﹣6米 B．0.213×10﹣6米
C．2.13×10﹣7米 D．21.3×10﹣7米
3．（3分）小明将一枚均匀的硬币抛掷了10次，正面朝上的情况出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则下列说法正确的是（　　）
A．A的概率是0.6 B．A的频率是0.6
C．A的频率是6 D．A的频率接近0.6
4．（3分）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB平行CD，则下列结论正确的是（　　）

A．∠3＝∠1+∠2 B．∠3＝∠2+2∠1
C．∠2+∠3﹣∠1＝180° D．∠1+∠2+∠3＝180°
5．（3分）小明观看了《中国诗词大会》第三期，主题为“人生自有诗意”，受此启发根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”，如图用y轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用x轴表示父亲离家的时间，那么下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，在△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，在△ACE中，AC＝AE，∠EAC＝90°，CD，BE相交于点F，有下列四个结论：①DC＝BE；②∠BDC＝∠BEC；③DC⊥BE；④FA平分∠DFE．其中，正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）如图，为了防止门板变形，小明分钉共一根加固木条，请用数学知识说明这样做的依据 　 　．

8．（3分）若x2﹣2（a+1）xy+9y2是完全平方式，则实数a的值是 　 　．
9．（3分）已知：（a﹣2）2+|2b﹣1|＝0，则a2021•b2022的值为 　 　．
10．（3分）如图，两个直角三角形的直角顶点重合，若∠AOD＝125°，则∠BOC＝　 　°．

11．（3分）如图，用每张长6cm的纸片，重叠1cm粘贴成一条纸带，纸带的长度y（cm）与纸片的张数x之间的关系式是 　 　．

12．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿A→C→B的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿B→C→A的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，则点P的运动时间等于 　 　秒时，△PEC与△CFQ全等．

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算：
（1）22﹣（π﹣1）0+3﹣1×（﹣6）；
（2）（﹣2x2）2+x3•x﹣x5÷x．
14．（6分）已知：如图，C，D是直线AB上两点，∠1+∠2＝180°，DE平分∠CDF，EF∥AB，
（1）求证：CE∥DF；
（2）若∠DCE＝130°，求∠DEF的度数．

15．（6分）从男女学生共36人的班级中，选一名班长，任何人都有同样的当选机会，如果选得男生的概率为．
（1）求该班级男女生数各多少？
（2）若该班转入女生6人，那么选得女生为班长的概率？
16．（6分）作图题：
在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺．
①经过点P，画线段PQ平行于AB所在直线．
②过点C，画线段CN垂直于CB所在直线．

17．（6分）若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，大小两个正方形边长分别为a、b．
（1）用含a、b的代数式阴影部分的面积S；
（2）如果a+b＝7，ab＝5，求阴影部分的面积．

19．（8分）小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村（取东西的时间忽略不计）．如图是他们离家的距离s（km）与小南离家的时间t（h）的关系图．请根据图回答下列问题：
（1）小南家到该度假村的距离是 　 　km．
（2）爸爸驾车的平均速度为 　 　km/h，图中点A表示 　 　．
（3）小南从家到度假村的路途中，求当他与爸爸相遇时，离家的距离．

20．（8分）如图①，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）图①中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系．
（2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与∠ACG平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．


五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝120°，一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD＝　 　∠COE；
（2）如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数；
（3）将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为α度，在旋转的过程中，能否使∠AOE＝3∠COD？若能，求出α的度数；若不能，说明理由．

22．（9分）已知点P在∠MON内．
（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．
①若∠MON＝50°，则∠GOH＝　 　；
②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；
（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．

六、解答题（本大题共1小题，共12分）
23．（12分）问题提出：
（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，△ABC中，AC＝7，BC＝9，AB＝10，P为AC上一点，当AP＝　 　时，△ABP与△CBP是偏等积三角形；
问题探究：
（2）如图2，△ABD与△ACD是偏等积三角形，AB＝2，AC＝6，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求AE的长度；
问题解决：
（3）如图3，四边形ABED是一片绿色花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°）．
①△ACD与△BCE是偏等积三角形吗？请说明理由；
②已知BE＝60m，△ACD的面积为2100m2．如图4，计划修建一条经过点C的笔直的小路CF，F在BE边上，FC的延长线经过AD中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．


2021-2022学年江西省吉安市吉州区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）“共圆冰雪梦，一起向未来．”2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在中国北京和张家口举行．以下选取了四届冬奥会会标图案的一部分，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）在党中央的坚强领导下，经过两年的战斗，新型冠状病毒引发的肺炎疫情得到了有效控制．研究发现，某种新型冠状病毒的直径约为213纳米，1纳米＝1.0×10﹣9米，若用科学记数法表示213纳米，则正确的结果是（　　）
A．2.13×10﹣6米 B．0.213×10﹣6米
C．2.13×10﹣7米 D．21.3×10﹣7米
【分析】首先根据：1纳米＝1.0×10﹣9米，把213纳米化成以米为单位的量；然后根据：绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，用科学记数法表示213纳米即可．
【解答】解：∵1纳米＝1.0×10﹣9米，
∴213纳米＝213×10﹣9米＝0.000000213米＝2.13×10﹣7米．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）小明将一枚均匀的硬币抛掷了10次，正面朝上的情况出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则下列说法正确的是（　　）
A．A的概率是0.6 B．A的频率是0.6
C．A的频率是6 D．A的频率接近0.6
【分析】根据频率公式即可求解．
【解答】解：∵小明将一枚均匀的硬币抛掷了10次，正面朝上的情况出现了6次，用A表示正面朝上这一事件，
∴A的频率是＝0.6．
故选：B．
【点评】本题考查了频率公式．用到的知识点为：频率＝频数与总情况数之比．
4．（3分）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB平行CD，则下列结论正确的是（　　）

A．∠3＝∠1+∠2 B．∠3＝∠2+2∠1
C．∠2+∠3﹣∠1＝180° D．∠1+∠2+∠3＝180°
【分析】根据三角形外角和平行线性质得出三个角的关系即可．
【解答】解：如下图：

∵AB∥CD，
∴∠1＝∠A，
∵∠2＝∠A+∠4，
∴∠2＝∠1+∠4，
即∠4＝∠2﹣∠1，
∵∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠3﹣∠1＝180°，
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．
5．（3分）小明观看了《中国诗词大会》第三期，主题为“人生自有诗意”，受此启发根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”，如图用y轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用x轴表示父亲离家的时间，那么下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人出发点之间，而父亲早到，两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同．
【解答】解：开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人出发点之间，而父亲早到，故A，B，C不符合题意；两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同，则选项D符合题意．
故选：D．
【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
6．（3分）如图，在△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，在△ACE中，AC＝AE，∠EAC＝90°，CD，BE相交于点F，有下列四个结论：①DC＝BE；②∠BDC＝∠BEC；③DC⊥BE；④FA平分∠DFE．其中，正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】先证明△ADC≌△ABE得到DC＝BE，则可对①进行判断；利用全等三角形的性质得到∠ADC＝∠ABE，由于AB与AE不确定相等，所以∠ABE与∠AEB不确定相等，加上∠BDC＝45°﹣∠ADC，∠BEC＝45°﹣∠AEB，则可对②进行判断；利用三角形内角和证明∠BFD＝∠DAB＝90°，则可对③进行判断；过A点作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，如图，利用全等三角形对应边上的高相等得到AM＝AN，则根据角平分线的性质定理的逆定理可对④进行判断．
【解答】解：∵∠DAB＝∠EAC＝90°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE，
在△ADC和△ABE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴DC＝BE，所以①正确；
∴∠ADC＝∠ABE，
而AB与AE不确定相等，
∴∠ABE与∠AEB不确定相等，
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴∠ADB＝∠AEC＝45°，
∵∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝45°﹣∠ADC，
∠BEC＝∠AEC﹣∠AEB＝45°﹣∠AEB，
∴∠BDC与∠BEC不确定相等，所以②错误；
∵∠ADC+∠1+∠DAB＝∠ABE+∠2+∠BFD，
而∠ADC＝∠ABE，∠1＝∠2，
∴∠BFD＝∠DAB＝90°，
∴DC⊥BE，所以③正确；
过A点作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，如图，
∵△ADC≌△ABE，
∴AM＝AN，
∴AF平分∠DFE，所以④正确．
故选：B．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．证明△ADC≌△ABE是解决问题的关键．也考查了等腰直角三角形的性质．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）如图，为了防止门板变形，小明分钉共一根加固木条，请用数学知识说明这样做的依据 　三角形的稳定性　．

【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．
【解答】解：为了防止门板变形，小明在门板上钉了一根加固木条，形成三角形的结构，这样做的理由是利用了三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
8．（3分）若x2﹣2（a+1）xy+9y2是完全平方式，则实数a的值是 　2或﹣4　．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a的值．
【解答】解：∵x2﹣2（a+1）xy+9y2是完全平方式，x2﹣2（a+1）xy+9y2＝x2﹣2（a+1）xy+（3y）2，
∴﹣2（a+1）xy＝±2×x×3y，
解得a+1＝±3，
∴a＝2或a＝﹣4．
故答案为：2或﹣4．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
9．（3分）已知：（a﹣2）2+|2b﹣1|＝0，则a2021•b2022的值为 　　．
【分析】根据偶次方的非负性以及绝对值的非负性求得a与b，再代入a2021•b2022求值．
【解答】解：∵（a﹣2）2≥0，|2b﹣1|≥0，
∴当（a﹣2）2+|2b﹣1|＝0，则a﹣2＝0，2b﹣1＝0．
∴a＝2，b＝．
∴a2021•b2022＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查偶次方的非负性、绝对值的非负性，熟练掌握偶次方的非负性、绝对值的非负性是解决本题的关键．
10．（3分）如图，两个直角三角形的直角顶点重合，若∠AOD＝125°，则∠BOC＝　55　°．

【分析】根据题意得到∠AOB＝∠COD＝90°，再计算∠BOD＝∠AOD﹣90°＝35°，然后根据∠BOC＝∠COD﹣∠BOD进行计算即可．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
而∠AOD＝125°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣90°＝35°，
∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣35°＝55°．
故答案为：55．
【点评】本题考查了余角和补角，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．
11．（3分）如图，用每张长6cm的纸片，重叠1cm粘贴成一条纸带，纸带的长度y（cm）与纸片的张数x之间的关系式是 　y＝5x+1　．

【分析】根据纸带的长度y随着纸片的张数x的变化规律，得出相应的函数关系式．
【解答】解：根据纸带的长度y随着纸片的张数x的变化规律得，
y＝6x﹣（x﹣1）＝5x+1，
故答案为：y＝5x+1．
【点评】本题考查列函数关系式的方法，理解题目中的数量关系是得出函数关系式的前提．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿A→C→B的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿B→C→A的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，则点P的运动时间等于 　2或或12　秒时，△PEC与△CFQ全等．

【分析】分四种情况，点P在AC上，点Q在BC上；点P、Q都在AC上；点P到BC上，点Q在AC上；点Q到A点，点P在BC上．
【解答】解：∵△PEC与△CFQ全等，
∴斜边PC＝斜边CQ，
分四种情况：
当点P在AC上，点Q在BC上，如图：

∵CP＝CQ，
∴6﹣t＝8﹣2t，
∴t＝2，
当点P、Q都在AC上时，此时P、Q重合，如图：

∵CP＝CQ，
∴6﹣t＝2t﹣8，
∴t＝，
当点P到BC上，点Q在AC上时，如图：

∵CP＝CQ，
∴t﹣6＝2t﹣8，
∴t＝2，不符合题意，
当点Q到A点，点P在BC上时，如图：

∵CQ＝CP，
∴6＝t﹣6，
∴t＝12，
综上所述：点P的运动时间等于2或或12秒时，△PEC与△CFQ全等，
故答案为：2或或12．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论是解题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算：
（1）22﹣（π﹣1）0+3﹣1×（﹣6）；
（2）（﹣2x2）2+x3•x﹣x5÷x．
【分析】（1）先分别化简有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，然后再计算；
（2）幂的混合运算，先算乘方，然后算乘除，最后算加减．
【解答】解：（1）原式＝4﹣1﹣×6
＝4﹣1﹣2
＝1；
（2）原式＝4x4+x4﹣x4
＝4x4．
【点评】本题考查零指数幂，负整数指数幂，幂的混合运算，掌握运算法则准确计算是解题关键．
14．（6分）已知：如图，C，D是直线AB上两点，∠1+∠2＝180°，DE平分∠CDF，EF∥AB，
（1）求证：CE∥DF；
（2）若∠DCE＝130°，求∠DEF的度数．

【分析】（1）由∠1+∠DCE＝180°，∠1+∠2＝180°，可得∠2＝∠DCE，即可证明CE∥DF；
（2）由平行线的性质，可得∠CDF＝50°，又∵DE平分∠CDF，则∠CDE＝∠CDF＝25°，根据平行线的性质，即可得到∠DEF的度数．
【解答】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，C，D是直线AB上两点，
∴∠1+∠DCE＝180°，
∴∠2＝∠DCE，
∴CE∥DF；

（2）解：∵CE∥DF，∠DCE＝130°，
∴∠CDF＝180°﹣∠DCE＝180°﹣130°＝50°，
∵DE平分∠CDF，
∴∠CDE＝∠CDF＝25°，
∵EF∥AB，
∴∠DEF＝∠CDE＝25°．

【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质和角平分线的性质，注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
15．（6分）从男女学生共36人的班级中，选一名班长，任何人都有同样的当选机会，如果选得男生的概率为．
（1）求该班级男女生数各多少？
（2）若该班转入女生6人，那么选得女生为班长的概率？
【分析】（1）根据男生概率公式可求得男生人数，让学生总数减去男生人数即为女生人数；
（2）根据概率公式即可得到答案．
【解答】解：（1）设有男生x人，
∵男生的概率为，即，
解得x＝24（人）；
∴女生36﹣24＝12（人），
答：该班级男女生数各有24人，12人；
（2）女生12+6＝18（人），全班36+6＝42（人），
选得女生为班长的概率为．
【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
16．（6分）作图题：
在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺．
①经过点P，画线段PQ平行于AB所在直线．
②过点C，画线段CN垂直于CB所在直线．

【分析】①根据平行线的定义，画出图形即可；
②根据垂线的定义，画出图形即可．
【解答】解：①如图，线段PQ即为所求（答案不唯一）；
②如图，线段CN即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行线，垂线等知识，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
17．（6分）若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．
【分析】利用引入新参数简化运算过程，再采用完全平方公式进行求解，
【解答】解：设：30﹣x＝a，x﹣10＝b，
则ab＝160，a+b＝20，
则a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80．
所以（30﹣x）2+（x﹣10）2＝80．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，牢记公式的变形是解题的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，大小两个正方形边长分别为a、b．
（1）用含a、b的代数式阴影部分的面积S；
（2）如果a+b＝7，ab＝5，求阴影部分的面积．

【分析】（1）利用整体面积减去空白面积得出阴影部分面积求出即可；
（2）利用完全平方公式结合已知条件求出即可．
【解答】解：（1）∵大小两个正方形边长分别为a、b，
∴阴影部分的面积为：S＝a2+b2﹣a2﹣（a+b）b＝a2+b2﹣ab；

（2）∵a+b＝7，ab＝5，
∴a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab＝×72﹣×5＝17．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算以及化简求值，正确利用整体面积减去空白面积得出阴影部分面积是解题关键．
19．（8分）小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村（取东西的时间忽略不计）．如图是他们离家的距离s（km）与小南离家的时间t（h）的关系图．请根据图回答下列问题：
（1）小南家到该度假村的距离是 　60　km．
（2）爸爸驾车的平均速度为 　60　km/h，图中点A表示 　A点离家50千米，离度假村10千米　．
（3）小南从家到度假村的路途中，求当他与爸爸相遇时，离家的距离．

【分析】（1）从图象中直接得出结论；
（2）利用函数图象求出爸爸的速度以及点A表示的实际意义；
（3）根据图象可以直接得出小南和爸爸第一次相遇时距家的距离；再用待定系数法求出线段BC和OD的解析式，联立方程组解方程组即可得出小南和爸爸第二次相遇时距家的距离．
【解答】解：（1）由图象可知小南家到该度假村的距离是60km，
故答案为：60；
（2）爸爸驾车的平均速度为：＝60km/h；
图中点A表示A点离家50千米，离度假村10千米；
故答案为：60，A点离家50千米，离度假村10千米；
（3）从图象可知，小南从家去度假村途中第一次和爸爸相遇时离家距离为30km；

设线段BC的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴线段BC的解析式为y＝﹣60x+180；
线段OD的解析式为y＝mx，
则3m＝60，
解得m＝20，
∴线段OD的解析式为y＝20x，
联立方程组，
解得：，
∴小南从家去度假村途中第二次和爸爸相遇时离家距离为45km；
综上，小南从家去度假村途中和爸爸相遇时离家距离为30km或45km．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，利用函数图象获取正确信息是解题关键．
20．（8分）如图①，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）图①中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系．
（2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与∠ACG平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．


【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质即可得出结论；
（2）利用（1）的方法解答即可；
（3）利用角平分线的定义和平行线的性质可以判定△BEO和△CFO为等腰三角形，利用线段和差的关系可得结论．
【解答】解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC，共5个等腰三角形；
EF、BE、FC的关系是EF＝BE+FC．理由如下：
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC＝∠EBO，∠FOC＝∠OCB＝∠FCO；
即EO＝EB，FO＝FC，
∴EF＝EO+OF＝BE+CF；
（2）当AB≠AC时，（1）的结论仍然成立．
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC＝∠EBO，∠FOC＝∠OCB＝∠FCO，
即EO＝EB，FO＝FC；
∴EF＝EO+OF＝BE+CF；
（3）EF＝BE﹣FC．理由如下：
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBC，
∵EO∥BC，
∴∠FOC＝∠OCG，∠EOB＝∠OBC，
∴∠ABO＝∠EOB，
∴BE＝OE，
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO＝∠FOC＝∠OCG，
∴FO＝FC，
∴EF＝EO﹣FO＝BE﹣FC．
【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，利用角平分线与平行线的组合模型得出等腰三角形是解题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝120°，一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD＝　2　∠COE；
（2）如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数；
（3）将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为α度，在旋转的过程中，能否使∠AOE＝3∠COD？若能，求出α的度数；若不能，说明理由．

【分析】（1）由邻补角和余角的定义求出两个角，即可得出结论；
（2）由角平分线的定义可得∠COE＝∠BOC＝60°，再根据∠DOE＝90°，从而可求解；
（3）分5种情况讨论：①0≤α＜60；②60≤α＜90；③90≤α＜240；④240≤α＜270；⑤270≤α≤360．分析清楚角关系求解即可．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝120°，OD与射线OB重合，
∴∠COD＝180°﹣∠AOC＝60°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠COE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠COD＝2∠COE，
故答案为：2；
（2）由（1）得，∠BOC＝60°，
∵OC是∠BOE的角平分线，
∴∠COE＝∠BOC＝60°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠COD＝90°﹣60°＝30°；
（3）能，
①当0≤α＜60时，有：
∠COD＝60°﹣α，∠AOE＝180°﹣∠DOE﹣α＝90°﹣α，
则90°﹣α＝3（60°﹣α），
解得：α＝45°；
②60≤α＜90时，有：
∠COD＝α﹣60°，∠AOE＝90°﹣α，
则90°﹣α＝3（α﹣60°），
解得：α＝67.5°；
③90≤α＜240时，有：
∠COD＝α﹣60°，∠AOE＝α﹣90°，
则α﹣90°＝3（α﹣60°），
解得：α＝45°（舍去）；
④240≤α＜270时，有：
∠COD＝420°﹣α，∠AOE＝α﹣90°，
则α﹣90°＝3（420°﹣α），
解得：α＝337.5°（舍去）；
⑤270≤α≤360时，有：
∠COD＝420°﹣α，∠AOE＝450°﹣α，
则450°﹣α＝3（420°﹣α），
解得：α＝465°（舍去）．
综上所述，α的度数为45°或67.5°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，余角和补角，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
22．（9分）已知点P在∠MON内．
（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．
①若∠MON＝50°，则∠GOH＝　100°　；
②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；
（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．

【分析】（1）依据轴对称可得OG＝OP，OM⊥GP，即可得到OM平分∠POG，ON平分∠POH，进而得出∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°；②当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，此时点G，O，H在同一直线上，可得GH＝GO+HO＝10；
（2）设点P关于OM、ON对称点分别为P′、P″，当点A、B在P′P″上时，△PAB周长为PA+AB+BP＝P′P″，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数．
【解答】解：（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，
∴OG＝OP，OM⊥GP，
∴OM平分∠POG，
同理可得ON平分∠POH，
∴∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°，
故答案为：100°；
②∵PO＝5，
∴GO＝HO＝5，
当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，
∴点G，O，H在同一直线上，
∴GH＝GO+HO＝10；
（2）如图所示：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，
连接PA、PB，则AP＝AP'，BP＝BP“，此时△PAB周长的最小值等于P′P″的长．
由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°，
∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣120°）÷2＝30°，
∴∠OPA＝∠OP'A＝30°，
同理可得∠BPO＝∠OP″B＝30°，
∴∠APB＝30°+30°＝60°．

【点评】本题主要考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
六、解答题（本大题共1小题，共12分）
23．（12分）问题提出：
（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，△ABC中，AC＝7，BC＝9，AB＝10，P为AC上一点，当AP＝　　时，△ABP与△CBP是偏等积三角形；
问题探究：
（2）如图2，△ABD与△ACD是偏等积三角形，AB＝2，AC＝6，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求AE的长度；
问题解决：
（3）如图3，四边形ABED是一片绿色花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°）．
①△ACD与△BCE是偏等积三角形吗？请说明理由；
②已知BE＝60m，△ACD的面积为2100m2．如图4，计划修建一条经过点C的笔直的小路CF，F在BE边上，FC的延长线经过AD中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．

【分析】（1）当AP＝CP时，则AP＝，证S△ABP＝S△CBP，再证△ABP与△CBP不全等，即可得出结论；
（2）由偏等积三角形的定义得S△ABD＝S△ACD，则BD＝CD，再证△CDE≌△BDA（AAS），则CE＝AB＝2，ED＝AD，得AE＝ED+AD＝2AD，然后由三角形的三边关系求解即可；
（3）①过A作AM⊥DC于M，过B作BN⊥CE于N，证△ACM≌△BCN（AAS），得AM＝BN，则S△ACD＝S△BCE，再证△ACD与△BCE不全等，即可得出结论；
②过点A作AN∥CD，交CG的延长线于N，证得△AGN≌△DGC（AAS），得到AN＝CD，再证△ACN≌△CBE（SAS），得∠ACN＝∠CBE，由余角的性质可证CF⊥BE，然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得S△BCE＝BE•CF，S△BCE＝S△ACD＝2100，求出CF＝70（m），即可求解．
【解答】解：（1）当AP＝CP＝时，△ABP与△CBP是偏等积三角形，理由如下：
设点B到AC的距离为h，则S△ABP＝AP•h，S△CBP＝CP•h，
∴S△ABP＝S△CBP，
∵AB＝10，BC＝7，
∴AB≠BC，
∵AP＝CP、PB＝PB，
∴△ABP与△CBP不全等，
∴△ABP与△CBP是偏等积三角形，
故答案为：；
（2）设点A到BC的距离为n，则S△ABD＝BD•n，S△ACD＝CD•n，
∵△ABD与△ACD是偏等积三角形，
∴S△ABD＝S△ACD，
∴BD＝CD，
∵CE∥AB，
∴∠ECD＝∠B，∠E＝∠BAD，
在△CDE和△BDA中，
，
∴△CDE≌△BDA（AAS），
∴CE＝AB＝2，ED＝AD，
∴AE＝ED+AD＝2AD，
∵线段AD的长度为正整数，
∴AE的长度为偶数，
在△ACE中，AC＝6，CE＝2，
∴6﹣2＜AE＜6+2，
即：4＜AE＜8，
∴AE＝6；
（3）①△ACD与△BCE是偏等积三角形，理由如下：
过A作AM⊥DC于M，过B作BN⊥CE于N，如图3所示：
则∠AMC＝∠BNC＝90°，
∵△ACB、△DCE是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE，
∴∠BCN+∠ACD＝360°﹣∠ACB﹣∠DCE＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠ACM+∠ACD＝180°，
∴∠ACM＝∠BCN，
在△ACM和△BCN中，
，
∴△ACM≌△BCN（AAS），
∴AM＝BN，
∵S△ACD＝CD•AM，S△BCE＝CE•BN，
∴S△ACD＝S△BCE，
∵∠BCE+∠ACD＝180°，0°＜∠BCE＜90°，
∴∠ACD≠∠BCE，
∵CD＝CE，AC＝BC，
∴△ACD与△BCE不全等，
∴△ACD与△BCE是偏等积三角形；
②如图3，过点A作AN∥CD，交CG的延长线于N，
则∠N＝∠GCD，
∵G点为AD的中点，
∴AG＝GD，
在△AGN和△DGC中，
，
∴△AGN≌△DGC（AAS），
∴AN＝CD，
∵CD＝CE，∴AN＝CE，
∵AN∥CD，
∴∠CAN+∠ACD＝180°，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠BCE＝∠CAN，
在△ACN和△CBE中，
，
∴△ACN≌△CBE（SAS），
∴∠ACN＝∠CBE，
∵∠ACN+∠BCF＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴CF⊥BE．
由①得：△ACD与△BCE是偏等积三角形，
∴S△BCE＝BE•CF，S△BCE＝S△ACD＝2100，
∴CF＝＝＝70（m），
∴修建小路CF的总造价为：600×70＝42000（元）．


【点评】本题是四边形综合题目，考查了新定义“偏等积三角形”的定义、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明△ACM≌△BCN和△ACN≌△CBE是解题的关键，属于中考常考题型．