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浙江省宁波市海曙区部分校2021-2022学年七年级下学期期末联考数学试题(word版含答案)
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这是一份浙江省宁波市海曙区部分校2021-2022学年七年级下学期期末联考数学试题(word版含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省宁波市海曙区部分校2021-2022学年七年级下学期期末联考数学试题
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．（3分）细菌的个体十分微小，大约10亿个细菌堆积起来才有一颗小米粒那么大．某种细菌的直径是0.0000025米，用科学记数法表示这种细菌的直径是（ ）
A．25×10﹣5米 B．25×10﹣6米 C．2.5×10﹣5米 D．2.5×10﹣6米
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a6+a6＝a12 B．a6×a2＝a8 C．a6÷a2＝a3 D．（a6）2＝a8
3．（3分）下列调查适用抽样调查的是（ ）
A．了解全国人民对垃圾分类的赞同情况
B．某单位职工健康检查
C．疫情期间，对某校到校学生进行体温检测
D．检测长征火箭的零件质量
4．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．对顶角相等 B．同位角相等
C．同角的余角相等 D．同角的补角相等
5．（3分）如图，直线l1∥l2，一直角三角板ABC（∠ACB＝90°）放在平行线上，两直角边分别与l1、l2交于点D、E，现测得∠1＝75°，则∠2的度数为（ ）
A．15° B．25° C．30° D．35°
6．（3分）若是方程2x+ay＝3的解，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7
7．（3分）下列各数中，不能整除803﹣80的是（ ）
A．78 B．79 C．80 D．81
8．（3分）若代数式x2+mx+25通过变形可以写成（x+n）2的形式，则m的值是（ ）
A．5 B．10 C．±5 D．±10
9．（3分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤＝16两）．雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x两，燕重y两，可列出方程组（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）已知方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11．（3分）计算＝ ．
12．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝ ．
13．（3分）若分式没有意义，则x的值是 ．
14．（3分）已知x+y＝5，xy＝3，则x2+y2＝ ．
15．（3分）一组数共含有40个，把它分成5组，若第2，3，4组的频数之和为28，第1组的频率为0.2，则第5组的频数是 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于 ．
17．（3分）将一条两边沿互相平行的纸带按如图折叠，若∠1＝50°，则∠2＝ ．
18．（3分）已知长方形ABCD，AD＞AB，AD＝10，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当S2﹣S1＝3b时，AB＝ ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分）
19．（9分）解方程（组）：
（1）；
（2）．
20．（8分）学生对小区居民的健身方式进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据所给信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 人；
（2）补全条形统计图，扇形统计图中“跑步”所对应的扇形的圆心角的度数是 ；
（3）估计小区居民2000人中喜欢打太极的有多少人．
21．（6分）先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣（2a﹣3b）（2a+3b），其中，a＝，b＝1．
22．（7分）根据疫情防控工作需要，某社区组织甲、乙两支医疗队开展疫苗接种工作，甲队比乙队每小时多接种30人，甲队接种2250人与乙队接种1800人用时相同．问甲队每小时接种多少人？
23．（6分）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y①，2x+3y②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝ ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需 元．
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝ ．
24．（10分）如图①，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连结AE，∠B＝∠E＝60°．
（1）请说明AE∥BC；
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连结DQ．
a．如图②，当DE⊥DQ时，则∠Q的度数＝ ；
b．在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，∠Q＝ ．
浙江省宁波市海曙区部分校2021-2022学年七年级下学期期末联考 数学试题
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．（3分）细菌的个体十分微小，大约10亿个细菌堆积起来才有一颗小米粒那么大．某种细菌的直径是0.0000025米，用科学记数法表示这种细菌的直径是（ ）
A．25×10﹣5米 B．25×10﹣6米 C．2.5×10﹣5米 D．2.5×10﹣6米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000025米＝2.5×10﹣6米．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a6+a6＝a12 B．a6×a2＝a8 C．a6÷a2＝a3 D．（a6）2＝a8
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a6+a6＝2a6，故此选项错误；
B、a6×a2＝a8，故此选项正确；
C、a6÷a2＝a4，故此选项错误；
D、（ a6）2＝a12，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（3分）下列调查适用抽样调查的是（ ）
A．了解全国人民对垃圾分类的赞同情况
B．某单位职工健康检查
C．疫情期间，对某校到校学生进行体温检测
D．检测长征火箭的零件质量
【分析】根据全面调查和抽样调查的概念判断即可．
【解答】解：A、了解全国人民对垃圾分类的赞同情况，适用抽样调查，故本选项符合题意；
B、某单位职工健康检查，适用全面调查，故本选项不符合题意；
C、疫情期间，对某校到校学生进行体温检测，故本选项不符合题意；
D、检测长征火箭的零件质量，适用全面调查，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是全面调查和抽样调查，通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．其二，调查过程带有破坏性．其三，有些被调查的对象无法进行普查．
4．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．对顶角相等 B．同位角相等
C．同角的余角相等 D．同角的补角相等
【分析】根据对顶角，同位角，余角和补角的定义以及性质解答．
【解答】解：A、对顶角相等，说法正确．
B、同位角不一定相等，说法错误．
C、同角的余角相等，说法正确．
D、同角的补角相等，说法正确．
故选：B．
【点评】考查了同位角，余角和补角以及对顶角的概念，属于基础题，熟记概念即可解答．
5．（3分）如图，直线l1∥l2，一直角三角板ABC（∠ACB＝90°）放在平行线上，两直角边分别与l1、l2交于点D、E，现测得∠1＝75°，则∠2的度数为（ ）
A．15° B．25° C．30° D．35°
【分析】直接利用平行线的性质得出内错角的关系，进而根据直角三角形的性质得出答案．
【解答】解：延长AC交l2于点F，
∵l1∥l2，
∴∠AFE＝∠1＝75°，
∴∠2＝90°﹣75°＝15°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确把握平行线的性质得出内错角的关系是解题关键．
6．（3分）若是方程2x+ay＝3的解，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7
【分析】把方程的解代入方程，把关于x和y的方程转化为关于a的方程，然后解方程即可．
【解答】解：∵是方程2x+ay＝3的解，
∴满足方程2x+ay＝3，
∴2×（﹣2）+a＝3，
即﹣4+a＝3，
解得：a＝7．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的解．解题的关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数a为未知数的方程．
7．（3分）下列各数中，不能整除803﹣80的是（ ）
A．78 B．79 C．80 D．81
【分析】直接利用提取公因式以及平方差公式分解因式，进而得出答案．
【解答】解：803﹣80
＝80×（802﹣1）
＝80×（80+1）×（80﹣1）
＝80×81×79，
故不能整除803﹣80的是78，
故选：A．
【点评】此题主要考查了提取公因式以及平方差公式分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
8．（3分）若代数式x2+mx+25通过变形可以写成（x+n）2的形式，则m的值是（ ）
A．5 B．10 C．±5 D．±10
【分析】根据题意，利用完全平方公式配方，进而确定出m的值即可．
【解答】解：根据题意得：x2+mx+25＝（x+n）2，
整理得：x2+mx+25＝x2+2nx+n2，
∴m＝2n，n2＝25，
解得：n＝±5，m＝2n＝±10．
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方式，因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．（3分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤＝16两）．雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x两，燕重y两，可列出方程组（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”，即可得出关于x，y的二元一次方程组．
【解答】解：∵五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤＝16两），
∴5x+6y＝16，
∵雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，
∴5x﹣x+y＝6y﹣y+x，即4x+y＝5y+x，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（3分）已知方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】用换元法求解方程组的解．
【解答】解：方程组可以变形为：方程组，
设x＝m，y＝n，则方程组可变为，
∴m＝3，n＝4，
即，，
解得．
故选：D．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．弄清题意是解本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11．（3分）计算＝ 3 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝1+2
＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝ x（y+2）（y﹣2） ．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），
故答案为：x（y+2）（y﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（3分）若分式没有意义，则x的值是 1 ．
【分析】根据分式的分母等于0即可得出答案．
【解答】解：∵x﹣1＝0，
∴x＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母等于0时，分式无意义是解题的关键．
14．（3分）已知x+y＝5，xy＝3，则x2+y2＝ 19 ．
【分析】将x+y＝5两边平方，利用完全平方公式化简，把xy的值代入即可求出所求式子的值．
【解答】解：将x+y＝5两边平方得：（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25，
把xy＝3代入得：x2+y2＝19．
故答案为：19．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15．（3分）一组数共含有40个，把它分成5组，若第2，3，4组的频数之和为28，第1组的频率为0.2，则第5组的频数是 4 ．
【分析】根据频数＝总次数×频率，先求出第一组的频数，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
40×0.2＝8，
∴40﹣28﹣8＝4，
∴第5组的频数是4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了频数与频率，熟练掌握频数＝总次数×频率是解题的关键．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于 8 ．
【分析】根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，可得四边形ABED是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，平移距离为2，
∴AD∥BE，AD＝BE＝2，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴四边形ABED的面积＝BE×AC＝2×4＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等．
17．（3分）将一条两边沿互相平行的纸带按如图折叠，若∠1＝50°，则∠2＝ 65° ．
【分析】根据平行线的性质可得∠BEF＝180°﹣∠1＝130°，再利用折叠的性质可得∠BEG＝∠BEF＝65°，然后利用平行线的性质即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠BEF＝180°，
∵∠1＝50°，
∴∠BEF＝180°﹣∠1＝130°，
由折叠得：
∠BEG＝∠FEG＝∠BEF＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEG＝65°，
故答案为：65°．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
18．（3分）已知长方形ABCD，AD＞AB，AD＝10，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当S2﹣S1＝3b时，AB＝ 7 ．
【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差，再由S2﹣S1＝3b，AD＝10，列出方程求得AB便可．
【解答】解：S1＝（AB﹣a）•a+（CD﹣b）（AD﹣a）＝（AB﹣a）•a+（AB﹣b）（AD﹣a），
S2＝AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a），
∴S2﹣S1＝AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）•a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）
＝（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）
＝b•AD﹣ab﹣b•AB+ab
＝b（AD﹣AB），
∵S2﹣S1＝3b，AD＝10，
∴b（10﹣AB）＝3b，
∴AB＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了列代数式，整式的混合运算，整体思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．
三、解答题（本大题共6小题，共46分）
19．（9分）解方程（组）：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1），
②﹣①得：4x＝28，
解得：x＝7，
把x＝7代入①得：7﹣3y＝﹣8，
解得：y＝5，
则方程组的解为；
（2）去分母得：3（x+1）﹣4x＝x﹣1，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝2．
【点评】此题考查了解分式方程，以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
20．（8分）学生对小区居民的健身方式进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据所给信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 50 人；
（2）补全条形统计图，扇形统计图中“跑步”所对应的扇形的圆心角的度数是 36° ；
（3）估计小区居民2000人中喜欢打太极的有多少人．
【分析】（1）根据条形图和扇形图得到喜欢广场舞的人数、喜欢广场舞所占的百分比，计算即可；
（2）根据调查人数，求出球类人数，根据圆心角的计算方法求出“跑步”所在扇形对应的圆心角度数；
（3）样本估计总体即可．
【解答】解：（1）从条形图可知，喜欢广场舞的人数是18人，从扇形图可知喜欢广场舞所占的百分比是36%，
则本次调查人数为：18÷36%＝50（人）；
故答案为：50；
（2）球类人数为：50﹣3﹣17﹣18﹣5＝7（人），
补全条形统计图如下：
“跑步”所在扇形对应的圆心角度数为：×360°＝36°；
故答案为：36°；
（3）2000×＝120（人）．
答：2000人中喜欢打太极的人数大约有120人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（6分）先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣（2a﹣3b）（2a+3b），其中，a＝，b＝1．
【分析】原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4a2﹣4ab+b2﹣4a2+9b2
＝﹣4ab+10b2，
当a＝，b＝1时，原式＝﹣4××1+10×12＝﹣2+10＝8．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（7分）根据疫情防控工作需要，某社区组织甲、乙两支医疗队开展疫苗接种工作，甲队比乙队每小时多接种30人，甲队接种2250人与乙队接种1800人用时相同．问甲队每小时接种多少人？
【分析】设甲队每小时接种x人，则乙队每小时接种（x﹣30）人，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲队接种2250人与乙队接种1800人用时相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设甲队每小时接种x人，则乙队每小时接种（x﹣30）人，
依题意得：＝，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意．
答：甲队每小时接种150人．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．（6分）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y①，2x+3y②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝ ﹣1 ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需 30 元．
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝ ﹣11 ．
【分析】（1）利用①﹣②可求出x﹣y的值；
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，利用①×10﹣②×5，即可求出结论；
（3）根据“3*5＝15，4*7＝28”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，利用①×3﹣②×2，即可求出1*1的值．
【解答】解：（1），
由①﹣②可得x﹣y＝﹣1．
故答案为：﹣1．
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
依题意得：，
由①×10﹣②×5可得5m+5n+5p＝30，
即购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
故答案为：30．
（3）依题意得：，
由①×3﹣②×2可得a+b+c＝﹣11，
即1*1＝﹣11．
故答案为：﹣11．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）利用整体思想，求出x﹣y的值；（2）（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组．
24．（10分）如图①，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连结AE，∠B＝∠E＝60°．
（1）请说明AE∥BC；
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连结DQ．
a．如图②，当DE⊥DQ时，则∠Q的度数＝ 30° ；
b．在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，∠Q＝ 40°或120° ．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAE+∠E＝180°，等量代换得到∠BAE+∠B＝180°，于是得到结论；
（2）a．如图2，过D作DF∥AE交AB于F，b．如图3，过D作DF∥AE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵DE∥AB，
∴∠BAE+∠E＝180°，
∵∠B＝∠E，
∴∠BAE+∠B＝180°，
∴AE∥BC；
（2）a．如图2，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∵∠E＝60°，
∴∠EDF＝120°，
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ＝90°，
∴∠FDQ＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
∴∠DPQ+∠QDP＝150°，
∴∠Q＝180°﹣150°＝30°；
故答案为：30°；
b．如图3，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠QDF＝180°﹣∠Q，
∵∠Q＝2∠EDQ，
∴∠EDQ＝∠Q，
∵∠E＝60°，
∴∠EDF＝120°，
∴180°﹣∠Q﹣Q＝120°，
∴∠Q＝40°．
如图4，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠QDF＝180°﹣∠Q，
∵∠Q＝2∠EDQ，
∴∠EDQ＝∠Q，
∵∠E＝60°，
∴∠EDF＝120°，
∴180°﹣∠Q+Q＝120°，
∴∠Q＝120°，
综上所述，∠Q＝40°或120°，
故答案为：40°或120°．
【点评】本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
浙江省宁波市海曙区部分校2021-2022学年七年级下学期期末联考数学试题
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．（3分）细菌的个体十分微小，大约10亿个细菌堆积起来才有一颗小米粒那么大．某种细菌的直径是0.0000025米，用科学记数法表示这种细菌的直径是（ ）
A．25×10﹣5米 B．25×10﹣6米 C．2.5×10﹣5米 D．2.5×10﹣6米
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a6+a6＝a12 B．a6×a2＝a8 C．a6÷a2＝a3 D．（a6）2＝a8
3．（3分）下列调查适用抽样调查的是（ ）
A．了解全国人民对垃圾分类的赞同情况
B．某单位职工健康检查
C．疫情期间，对某校到校学生进行体温检测
D．检测长征火箭的零件质量
4．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．对顶角相等 B．同位角相等
C．同角的余角相等 D．同角的补角相等
5．（3分）如图，直线l1∥l2，一直角三角板ABC（∠ACB＝90°）放在平行线上，两直角边分别与l1、l2交于点D、E，现测得∠1＝75°，则∠2的度数为（ ）
A．15° B．25° C．30° D．35°
6．（3分）若是方程2x+ay＝3的解，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7
7．（3分）下列各数中，不能整除803﹣80的是（ ）
A．78 B．79 C．80 D．81
8．（3分）若代数式x2+mx+25通过变形可以写成（x+n）2的形式，则m的值是（ ）
A．5 B．10 C．±5 D．±10
9．（3分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤＝16两）．雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x两，燕重y两，可列出方程组（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）已知方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11．（3分）计算＝ ．
12．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝ ．
13．（3分）若分式没有意义，则x的值是 ．
14．（3分）已知x+y＝5，xy＝3，则x2+y2＝ ．
15．（3分）一组数共含有40个，把它分成5组，若第2，3，4组的频数之和为28，第1组的频率为0.2，则第5组的频数是 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于 ．
17．（3分）将一条两边沿互相平行的纸带按如图折叠，若∠1＝50°，则∠2＝ ．
18．（3分）已知长方形ABCD，AD＞AB，AD＝10，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当S2﹣S1＝3b时，AB＝ ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分）
19．（9分）解方程（组）：
（1）；
（2）．
20．（8分）学生对小区居民的健身方式进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据所给信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 人；
（2）补全条形统计图，扇形统计图中“跑步”所对应的扇形的圆心角的度数是 ；
（3）估计小区居民2000人中喜欢打太极的有多少人．
21．（6分）先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣（2a﹣3b）（2a+3b），其中，a＝，b＝1．
22．（7分）根据疫情防控工作需要，某社区组织甲、乙两支医疗队开展疫苗接种工作，甲队比乙队每小时多接种30人，甲队接种2250人与乙队接种1800人用时相同．问甲队每小时接种多少人？
23．（6分）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y①，2x+3y②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝ ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需 元．
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝ ．
24．（10分）如图①，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连结AE，∠B＝∠E＝60°．
（1）请说明AE∥BC；
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连结DQ．
a．如图②，当DE⊥DQ时，则∠Q的度数＝ ；
b．在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，∠Q＝ ．
浙江省宁波市海曙区部分校2021-2022学年七年级下学期期末联考 数学试题
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．（3分）细菌的个体十分微小，大约10亿个细菌堆积起来才有一颗小米粒那么大．某种细菌的直径是0.0000025米，用科学记数法表示这种细菌的直径是（ ）
A．25×10﹣5米 B．25×10﹣6米 C．2.5×10﹣5米 D．2.5×10﹣6米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000025米＝2.5×10﹣6米．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a6+a6＝a12 B．a6×a2＝a8 C．a6÷a2＝a3 D．（a6）2＝a8
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a6+a6＝2a6，故此选项错误；
B、a6×a2＝a8，故此选项正确；
C、a6÷a2＝a4，故此选项错误；
D、（ a6）2＝a12，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（3分）下列调查适用抽样调查的是（ ）
A．了解全国人民对垃圾分类的赞同情况
B．某单位职工健康检查
C．疫情期间，对某校到校学生进行体温检测
D．检测长征火箭的零件质量
【分析】根据全面调查和抽样调查的概念判断即可．
【解答】解：A、了解全国人民对垃圾分类的赞同情况，适用抽样调查，故本选项符合题意；
B、某单位职工健康检查，适用全面调查，故本选项不符合题意；
C、疫情期间，对某校到校学生进行体温检测，故本选项不符合题意；
D、检测长征火箭的零件质量，适用全面调查，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是全面调查和抽样调查，通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．其二，调查过程带有破坏性．其三，有些被调查的对象无法进行普查．
4．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．对顶角相等 B．同位角相等
C．同角的余角相等 D．同角的补角相等
【分析】根据对顶角，同位角，余角和补角的定义以及性质解答．
【解答】解：A、对顶角相等，说法正确．
B、同位角不一定相等，说法错误．
C、同角的余角相等，说法正确．
D、同角的补角相等，说法正确．
故选：B．
【点评】考查了同位角，余角和补角以及对顶角的概念，属于基础题，熟记概念即可解答．
5．（3分）如图，直线l1∥l2，一直角三角板ABC（∠ACB＝90°）放在平行线上，两直角边分别与l1、l2交于点D、E，现测得∠1＝75°，则∠2的度数为（ ）
A．15° B．25° C．30° D．35°
【分析】直接利用平行线的性质得出内错角的关系，进而根据直角三角形的性质得出答案．
【解答】解：延长AC交l2于点F，
∵l1∥l2，
∴∠AFE＝∠1＝75°，
∴∠2＝90°﹣75°＝15°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确把握平行线的性质得出内错角的关系是解题关键．
6．（3分）若是方程2x+ay＝3的解，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7
【分析】把方程的解代入方程，把关于x和y的方程转化为关于a的方程，然后解方程即可．
【解答】解：∵是方程2x+ay＝3的解，
∴满足方程2x+ay＝3，
∴2×（﹣2）+a＝3，
即﹣4+a＝3，
解得：a＝7．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的解．解题的关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数a为未知数的方程．
7．（3分）下列各数中，不能整除803﹣80的是（ ）
A．78 B．79 C．80 D．81
【分析】直接利用提取公因式以及平方差公式分解因式，进而得出答案．
【解答】解：803﹣80
＝80×（802﹣1）
＝80×（80+1）×（80﹣1）
＝80×81×79，
故不能整除803﹣80的是78，
故选：A．
【点评】此题主要考查了提取公因式以及平方差公式分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
8．（3分）若代数式x2+mx+25通过变形可以写成（x+n）2的形式，则m的值是（ ）
A．5 B．10 C．±5 D．±10
【分析】根据题意，利用完全平方公式配方，进而确定出m的值即可．
【解答】解：根据题意得：x2+mx+25＝（x+n）2，
整理得：x2+mx+25＝x2+2nx+n2，
∴m＝2n，n2＝25，
解得：n＝±5，m＝2n＝±10．
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方式，因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．（3分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤＝16两）．雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x两，燕重y两，可列出方程组（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”，即可得出关于x，y的二元一次方程组．
【解答】解：∵五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤＝16两），
∴5x+6y＝16，
∵雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，
∴5x﹣x+y＝6y﹣y+x，即4x+y＝5y+x，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（3分）已知方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】用换元法求解方程组的解．
【解答】解：方程组可以变形为：方程组，
设x＝m，y＝n，则方程组可变为，
∴m＝3，n＝4，
即，，
解得．
故选：D．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．弄清题意是解本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11．（3分）计算＝ 3 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝1+2
＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝ x（y+2）（y﹣2） ．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），
故答案为：x（y+2）（y﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（3分）若分式没有意义，则x的值是 1 ．
【分析】根据分式的分母等于0即可得出答案．
【解答】解：∵x﹣1＝0，
∴x＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母等于0时，分式无意义是解题的关键．
14．（3分）已知x+y＝5，xy＝3，则x2+y2＝ 19 ．
【分析】将x+y＝5两边平方，利用完全平方公式化简，把xy的值代入即可求出所求式子的值．
【解答】解：将x+y＝5两边平方得：（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25，
把xy＝3代入得：x2+y2＝19．
故答案为：19．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15．（3分）一组数共含有40个，把它分成5组，若第2，3，4组的频数之和为28，第1组的频率为0.2，则第5组的频数是 4 ．
【分析】根据频数＝总次数×频率，先求出第一组的频数，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
40×0.2＝8，
∴40﹣28﹣8＝4，
∴第5组的频数是4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了频数与频率，熟练掌握频数＝总次数×频率是解题的关键．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于 8 ．
【分析】根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，可得四边形ABED是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，平移距离为2，
∴AD∥BE，AD＝BE＝2，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴四边形ABED的面积＝BE×AC＝2×4＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等．
17．（3分）将一条两边沿互相平行的纸带按如图折叠，若∠1＝50°，则∠2＝ 65° ．
【分析】根据平行线的性质可得∠BEF＝180°﹣∠1＝130°，再利用折叠的性质可得∠BEG＝∠BEF＝65°，然后利用平行线的性质即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠BEF＝180°，
∵∠1＝50°，
∴∠BEF＝180°﹣∠1＝130°，
由折叠得：
∠BEG＝∠FEG＝∠BEF＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEG＝65°，
故答案为：65°．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
18．（3分）已知长方形ABCD，AD＞AB，AD＝10，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当S2﹣S1＝3b时，AB＝ 7 ．
【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差，再由S2﹣S1＝3b，AD＝10，列出方程求得AB便可．
【解答】解：S1＝（AB﹣a）•a+（CD﹣b）（AD﹣a）＝（AB﹣a）•a+（AB﹣b）（AD﹣a），
S2＝AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a），
∴S2﹣S1＝AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）•a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）
＝（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）
＝b•AD﹣ab﹣b•AB+ab
＝b（AD﹣AB），
∵S2﹣S1＝3b，AD＝10，
∴b（10﹣AB）＝3b，
∴AB＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了列代数式，整式的混合运算，整体思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．
三、解答题（本大题共6小题，共46分）
19．（9分）解方程（组）：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1），
②﹣①得：4x＝28，
解得：x＝7，
把x＝7代入①得：7﹣3y＝﹣8，
解得：y＝5，
则方程组的解为；
（2）去分母得：3（x+1）﹣4x＝x﹣1，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝2．
【点评】此题考查了解分式方程，以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
20．（8分）学生对小区居民的健身方式进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据所给信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 50 人；
（2）补全条形统计图，扇形统计图中“跑步”所对应的扇形的圆心角的度数是 36° ；
（3）估计小区居民2000人中喜欢打太极的有多少人．
【分析】（1）根据条形图和扇形图得到喜欢广场舞的人数、喜欢广场舞所占的百分比，计算即可；
（2）根据调查人数，求出球类人数，根据圆心角的计算方法求出“跑步”所在扇形对应的圆心角度数；
（3）样本估计总体即可．
【解答】解：（1）从条形图可知，喜欢广场舞的人数是18人，从扇形图可知喜欢广场舞所占的百分比是36%，
则本次调查人数为：18÷36%＝50（人）；
故答案为：50；
（2）球类人数为：50﹣3﹣17﹣18﹣5＝7（人），
补全条形统计图如下：
“跑步”所在扇形对应的圆心角度数为：×360°＝36°；
故答案为：36°；
（3）2000×＝120（人）．
答：2000人中喜欢打太极的人数大约有120人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（6分）先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣（2a﹣3b）（2a+3b），其中，a＝，b＝1．
【分析】原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4a2﹣4ab+b2﹣4a2+9b2
＝﹣4ab+10b2，
当a＝，b＝1时，原式＝﹣4××1+10×12＝﹣2+10＝8．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（7分）根据疫情防控工作需要，某社区组织甲、乙两支医疗队开展疫苗接种工作，甲队比乙队每小时多接种30人，甲队接种2250人与乙队接种1800人用时相同．问甲队每小时接种多少人？
【分析】设甲队每小时接种x人，则乙队每小时接种（x﹣30）人，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲队接种2250人与乙队接种1800人用时相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设甲队每小时接种x人，则乙队每小时接种（x﹣30）人，
依题意得：＝，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意．
答：甲队每小时接种150人．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．（6分）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y①，2x+3y②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝ ﹣1 ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需 30 元．
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝ ﹣11 ．
【分析】（1）利用①﹣②可求出x﹣y的值；
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，利用①×10﹣②×5，即可求出结论；
（3）根据“3*5＝15，4*7＝28”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，利用①×3﹣②×2，即可求出1*1的值．
【解答】解：（1），
由①﹣②可得x﹣y＝﹣1．
故答案为：﹣1．
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
依题意得：，
由①×10﹣②×5可得5m+5n+5p＝30，
即购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
故答案为：30．
（3）依题意得：，
由①×3﹣②×2可得a+b+c＝﹣11，
即1*1＝﹣11．
故答案为：﹣11．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）利用整体思想，求出x﹣y的值；（2）（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组．
24．（10分）如图①，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连结AE，∠B＝∠E＝60°．
（1）请说明AE∥BC；
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连结DQ．
a．如图②，当DE⊥DQ时，则∠Q的度数＝ 30° ；
b．在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，∠Q＝ 40°或120° ．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAE+∠E＝180°，等量代换得到∠BAE+∠B＝180°，于是得到结论；
（2）a．如图2，过D作DF∥AE交AB于F，b．如图3，过D作DF∥AE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵DE∥AB，
∴∠BAE+∠E＝180°，
∵∠B＝∠E，
∴∠BAE+∠B＝180°，
∴AE∥BC；
（2）a．如图2，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∵∠E＝60°，
∴∠EDF＝120°，
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ＝90°，
∴∠FDQ＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
∴∠DPQ+∠QDP＝150°，
∴∠Q＝180°﹣150°＝30°；
故答案为：30°；
b．如图3，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠QDF＝180°﹣∠Q，
∵∠Q＝2∠EDQ，
∴∠EDQ＝∠Q，
∵∠E＝60°，
∴∠EDF＝120°，
∴180°﹣∠Q﹣Q＝120°，
∴∠Q＝40°．
如图4，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠QDF＝180°﹣∠Q，
∵∠Q＝2∠EDQ，
∴∠EDQ＝∠Q，
∵∠E＝60°，
∴∠EDF＝120°，
∴180°﹣∠Q+Q＝120°，
∴∠Q＝120°，
综上所述，∠Q＝40°或120°，
故答案为：40°或120°．
【点评】本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
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